2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题练习05 等腰三角形的判定和性质(含详解)

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题05等腰三角形的判定和性质

考试时间：120分钟试卷满分：100分

姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

评卷人得分

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2021八上.海曙期末）如图，CD是等腰三角形AABC底边上的中线，BE平分/ABC,交CD

于点E,AC=8,DE=2,则△BCE的面积是（）

C.8D.12

2.（2分）（2021八上•高县期末）等腰三角形的一个内角是70。，则它底角的度数是（）

A.70°B.70°或40°

C.70°或55°D.55°

3.（2分）（2021八上•凉山期末）如图，&MNP中，NP=60°，MN=NP,MQA.PN,垂足

为Q,延长MN至G,取NG=NQ，若&MNP的周长为12,MQ=m，则&MGQ周长是（）

A.8+2mB.8+mC.6+2mD.6+m

4.（2分）（2020八上•东海期末）如图，aABC中，AB=AC,作^BCE,点A在^BCE内，点D在BE

上，AD垂直平分BE,且NBAC=m。，贝iJ/BEC=（

1

A.90°--m°B.180°-2m°

2

C.30°+-m°D.-m°

22

5.（2分）（2021八上.如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD,点B关于AC的对称点恰好落在

CD±,若NB4）=a，则NACB的度数为（）

1

45°B.a-45°C.—aD.90°--a

22

6.（2分）（2021八上•盐湖期中）有一题目：“如图，ZABC=40°,B力平分NA8C,过点。作。E〃48交

8C于点E,若点F在A8上，且满足。F=£>E,求/QFB的度数.”小贤的解答：以。为圆心，QE长为半

径画圆交AB于点F,连接。F,则OE=QF,由图形的对称性可得结合平行线的性质可求

得尸8=140。.而小军说:“小贤考虑的不周全，ZDFB还应有另一个不同的值”.下列判断正确的是（）

B.小军说的不对，/OFB只有140。一个值

C.小贤求的结果不对，NOF8应该是20°

D.两人都不对，N。尸B应有3个不同值

7.（2分）（2021八上•江津期中）如图，D为NBAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD,ZDBC-Z

DCB,过D作DE_LAC于E,DF±AB交BA的延长线于F,则下列结论:①4CDE岭Z\BDF；②CE=AB+AE；

③NBDC=NBAC；④/DAF=NCBD.其中正确的结论有（）个

D

A.1B.2C.3D.4

8.（2分）（2021八上•江阴期中）如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=46°,NBAC的平分线与AB的

垂直平分线OD交于点O,点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将NC沿EF折叠，点C与点O恰好重

B.92°C.95°D.98°

9.（2分）（2021八上♦崇阳期中）如图，己知/MON=30。，点、A2、、…在射线ON上,

点、§2、层、…在射线OM上，的84、AA282A3、A4383A4…均为等边三角形，若

。4=1,则A4&4的边长为（）

16B.64C.128D.256

10.（2分）（2018八上•北京月考）若（a-2）2+|b-3|=0,则以〃、b为边长的等腰三角形的周长为（）

A.6B.7C.8D.7或8

评卷人得分

填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2021八上•长沙期末）如图，ZABC、ZACB的平分线相交于点F,过F作DE//BC，

交AB于点D,交AC于点E,BD=3cm,EC-2cm，则DEcm

12.（2分）（2021八上•句容期末）如图，AMON=35°，点P在ZMON

DE

B

的边ON上，以点P为圆心，PO为半径画弧，交OM于点A,连接AP,贝iJZAPN=

13.（2分）（2021八上•句容期末）如图,ZAOB是一角度为a的锐角木架,

要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件EF、FG、GH....且

OE=EF=FG=GH...»在。4、03足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6

根，则锐角a的范围为.

14.（2分）（2021八上•淳安期末）如图，在^ABC中，ZABC=ZACB,D为

0

BC的中点，连接AD,E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP,AC=10,BC=12,则EP+BP的

最小值是.

15.（2分）（2021八上•宁波期末）如图，在R3ABC中，AC=BC=1,D

是斜边AB上一点（与点A,B不重合），将4BCD绕着点C旋转90。到^ACE,连结DE交AC于点F,若

△AFD是等腰三角形，则AF的长为.

16.（2分）（2021八上•中山期末）如图，AB=AC=5，NBAC=110°,

AD是NBAC内的一条射线，且/BAD=25°,P为AD上一动点，则-的最大值是

17.（2分）（2021八上•建华期末）小聪在研究题目“如图,在等腰三

角形ABC中，AB^AC,NB4C=50°,ZBAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O,

点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①NOE五=5（）。；

②图中没有60。的角；③D、0、C三点共线.请你直接写出其中正确的结论序号：

（2分）（2021八上•铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点M

在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN,DN,且NDNM=NDBC,当ADMN是等腰三角

M为线段AD上一点且AM=8,点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC-CD的方向运动，至点D

停止，设运动时间为t秒，当AAMP为等腰三角形时，t的值为

（2分）（2021八上•武昌期中）如图，已知AABC中，OE、OF分别是AB、AC的

垂直平分线，ZOBC,NOCB的平分线相交于点I,有如下结论：①AO=CI；②NABC+/ACO=90。：③

ZBOI-ZCOI；④OI_LBC.其中正确的结论是

A

评卷人得分

三.解答题（共8小题，满分60分）

21.（5分）（2021八上.顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一.如图1

所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的.这个仪器由两根有槽的棒PA,PB组成，两根棒在P点相

连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A,O可在棒PA,PB内的槽中滑动，且始终保持

1

OA=OC=PC.NAOB为要三等分的任意角.则利用“三等分角仪”可以得到NAPB=-ZAOB.

3

我们把“三等分角仪“抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明.

已知：如图2,点O,C分别在NAPB的边PB,PA±,且OA=OC=PC.

求证：ZAPBZAOB.

3

图2

22.（5分）（2021八上•营口期末）如图，在等腰AABC和等腰AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=Z

DAE且C、E、D三点共线，作AM_LCD于M.若BD=5,DE=4,求CM.

（7分）（2021八上•松桃期末）如图，在AABC中,ABAC=30°,AB边

的垂直平分线分别交AB于点E,交AC于点F,点D在EF上，且BD=CD,G是AC的中点，连接

DG.

-----------C

（1）（3分）求证：DG1AC；

（2）（4分）判断△BCD是否是等边三角形，并说明理由.

24.（9分）（2021八上.平凉期中）探究与发现：如图①，在RMABC中，NBAC=90。，AB=AC,点D在

底边BC上，AE=AD,连结DE.

:A

图①图②（1）（3分）当/BAD=60。时，求NCDE的

度数；

（2）（3分）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究NBAD与NCDE的数量关系；

（3）（3分）深入探究：若NBAC户90。，试就图②探究NBAD与NCDE的数量关系.

25.（7分）（2020八上•松北期末）已知在AABC中，AB=AC,射线BM、BN在NABC内部，分别交

①求证：/1=N2；

②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证：BF1CF；

（2）（3分）如图3,点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF,若NBFE=NBAC=2NCFE,求

q

的值.

2AAeF

（1）（5分）如图①，在AABC中，D为AABC外一点，若AC平分/BAD,CE_LAB于点E,ZB+Z

ADC=180°,求证：BC=CD；

琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F,使得AD=AF,连结CF,先证明AADC会4AFC得到DC=FC,

再证明CB=CF,从而得出结论；

宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG,由角平分线的性质得出CG=CE,再证明AGDCg

△EBC,从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.

（2）（5分）如图②，D、E、F分别是等边AABC的边BC、AB、AC上的点，AD平分NFDE,且/

FDE=120°.求证：BE=CF.

27.（10分）（2021八上•包河期末）在等腰aABC中，AB=AC,点D是AC上一动点，点E在BD的延

长线上，且AB=AE,AF平分NCAE交DE于点F,连接

（1）（3分）如图1,求证：ZABE=ZACF；

（2）（3分）如图2,当NABC=60。时，在BE上取点M,使BM=EF,连接AM.求证：ZkAFM是等边

三角形；

（3）（4分）如图3,当NABC=45。，且AE||BC时，求证：BD=2EF.

28.（7分）（2021八上•虎林期末）在等腰AABC中，AB=BC,点D,E在射线BA上，BD=DE,过点

(1)(3分)当点E在线段AB上，CD是AACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC=CF；(提示:

延长CD,FE交于点M.)

(2)(4分)当点E在线段BA的延长线上，CD是AACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延

长线上，CD是AACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE,BC,CF之间的数量关系，不需要

证明；

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题05等腰三角形的判定和性质

考试时间：120分钟试卷满分：100分

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2021八上.海曙期末）如图，CD是等腰三角形AABC底边上的中线，BE平分NABC,交CD

于点E,AC=8,DE=2,则ABCE的面积是（）

【完整解答】解：过点E作EFLBC于F,

：AC=BC=8,CD是等腰三角形AABC底边上的中线,

/.CD1AB,

：BE平分/ABC,EDXAB,EF±BC,

，EF=DE=2,

/.△BCE的面积=-xBCxEF=-x8x2=8.

22

故答案为：C.

【思路引导】过点E作EF_LBC于F,利用等腰三角形的性质可证得CD_LAB,利用角平分线上的点到角

两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出ABCE的面积.

2.（2分）（2021八上•嵩县期末）等腰三角形的一个内角是70。，则它底角的度数是（）

A.70°B.70°或40℃,70°或55°D.55°

【答案】C

【完整解答】解：当70。角为顶角时，它的底角为1（180°-70°）=55°,

当70。角为底角时，它底角的度数是70。

故答案为：C.

【思路引导】分情况讨论：当70。角为底角时；当70。角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的

度数，即可求解.

3.（2分）（2021八上•凉山期末）如图，AMNP中，NP=60°,MN=NP，MQLPN,垂足

为Q,延长MN至G,取NG=NQ，若^MNP的周长为12,MQ=〃?,则AMGQ周长是（）

8+2mB.8+mC.6+2mD.6+m

【答案】C

【完整解答】解：：NP=60°，MN=NP,

/.△PMN是等边三角形,

•；MQ工PN,

，NGQN=NG=30。，QN=NG=；MN,

.♦.NQMN=NG=30°,

；.QM=QG,

,:&MNP的周长为12,MQ=m,，MN=4,QN=NC=2,QM=QG=m,

：.AMGQ周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.

故答案为：C.

【思路引导】易得APMN是等边三角形，得QN=PQ=-MN,NQMN=30。，/QNM=60。，根据等腰三

2

角形的性质可得ZGQN=ZG=30°,QN=NG='MN,推出QM=QG,根据ZkMNP的周长可得MN=4,QN=NC=2,

2

QM=QG=m,据此求解.

4.（2分）（2020八上•东海期末）如图，ZkABC中，AB=AC,作ABCE,点A在ABCE内，点D在BE上,

AD垂直平分BE,且NBAC=m。，贝l]NBEC=（

B.180°-2m°

C.30°+-m°D.-m°

22

【答案】D

【完整解答】解：〈AD垂直平分BE,

/.ZABE=ZAEB,

VAB=AC,

.♦.AE=AC,

AZAEC=ZACE,

AZBEC=ZBEA+ZACE,VZBAC=m°,

・・・ZABC+ZACB=180°-m°,

1、1I

:.ZBEC=-(180°-ZABC-ZACB)=-(180°-(ZABC+ZACB)]=-[1800-(180°

222

-m°)1=-m。，

2

故答案为：D.

【思路引导】由AD垂直平分BE可得AB=AE,从而得出AB=AE=AC,利用等边对等角可得ZABE=

ZAEB,ZAEC=ZACE,即得NBEC=NBEA+NACE,由三角形内角和可得NABC+/ACB=180。-m。，

由NBEC=-（180。-/ABC-NACB）即可求解.

2

5.（2分）（2021八上.如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD,点5关于AC的对称点B，恰好落在

CD上，若N84D=a，则NACB的度数为（）

A.45°B.a-45°D.90°——a

2

【答案】D

【完整解答】解：如图，连接AB，，BB\过A作AE_LCD于E,

:点B关于AC的对称点B"恰好落在CD匕

.♦.AC垂直平分BB-

.,.AB=AB\

.../BAC=NB，AC,

VAB=AD,.*.AD=AB,,

XVAE±CD,

.•.NDAE=/B'AE,

II

/CAE=—NBAD=—a,

又•.•/AEB'=/AOB'=90°,

NACB'=/EB'O-/COB'=180°--a-90°=90°--a,

二NACB=NACB'=90°——a，

2

故答案为：D.

【思路引导】连接AB，,BB\过A作AELCD于E,利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB，，ZBAC

=/B，AC,利用垂直平分线的性质可推出AB=AB1由此可推出AD=AB1利用等腰三角形的性质可得到

NDAE=/BAE,由此可表示出/CAE及NEB，O；然后根据/ACB，=NEBD-NCOB，，代入计算可表示出

ZACB的度数.

6.（2分）（2021八上•盐湖期中）有一题目：“如图，ZABC=40°,BE>平分NA8C,过点力作。E〃AB交

BC于点E,若点尸在4B上，且满足。尸=£>E,求NDFB的度数.”小贤的解答：以。为圆心，DE长为半

径画圆交AB于点凡连接QF,则。E=QF,由图形的对称性可得NQFB=/D£B.结合平行线的性质可求

得/OF8=140。.而小军说：“小贤考虑的不周全，/OFB还应有另一个不同的值”.下列判断正确的是（）

B.小军说的不对，/CFB只有140。一个值

C.小贤求的结果不对，/OF8应该是20。

D.两人都不对，/OFB应有3个不同值

【答案】A

【完整解答】解:

如图，以点D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F,尸'，连接,则DE=DF=DF'

：.ZDFF'=ZDF'F，

,BD平分ZABC,

由图形的对称性可知：ZDFB=ZDEB，

DE\\AB,ZABC=40°,

:.ZDEB=180°—40°=140°,

.-.ZDFB=140°,

当点F位于点F,处时，

;DF=DF'，

ZDF'B=ZDFF=180°-140°=40°.

故答案为：A.

【思路引导】以点D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F,F',连接DF.DF'.则

DE=DF=DF'.由图形的对称性可知N£>£8=ND石5，结合平行线的性质求/DFB=140。，当点F

位于点F'处时，由DF=DF可求出NDFB的度数.

7.（2分）（2021八上•江津期中）如图，D为NBAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD,ZDBC=Z

DCB,过D作DE_LAC于E,DFJ_AB交BA的延长线于F,则下列结论:①ACDE且△BDF：②CE=AB+AE；

③/BDC=NBAC；④NDAF=/CBD.其中正确的结论有（）个

【答案】D【完整解答】解：YAD平分ZC4F,DE1AC,DF1AB,

:•DE=DF，

在Rt^CDE和Rt^BDF中，

BD=CD

DE=DF'

/.Rt^CDE^Rt^BDF，故①正确；

：.CE=AF,

在Rt/iADE和RtAADF中，

AD^AD

DE=DF'

/.Rt^ADE=Rt^ADF，

/.AE=AF,

：.CE^AB+AF=AB+AE,故②正确：

,:RMCDE合RsBDF，

:./DBF=NDCE,

D

A

\又•：ZAOB=NDOC,

BC

.\ZBDC=ZBAC,故③正确；

•；AD平分ZCAF，

:.NDAF=/DAE，

,:BD=CD,

:.NDBC=NDCB,

•••ABAC+ZDAF+ZDAE=]80°，ZBDC+ZDBC+ZDCB=180°,NBDC=NBAC,

/.ZDAF+ZDAE=ZDBC+ADCB,

.,.ZDAF=ZCBD,故④正确；综上所述，正确的有①②③④；

故答案为：D.

【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF,根据HL证明府△CDEMH△%*，可得CE=AF,

ZDBF=NDCE,根据HL证明H〃ADEMEMADF,可得AE=A/，从而得出

CE=AB+AF=AB+AE,据此判断①②；在AAOB和ADOC中，NDBF=ZDCE,ZAOB=ZDOC,

可得NBDC=/BAC,据此判断③；利用三角形的内角和可求/DAF+/DAE=NDBC+NDCB

,从而得出NDAF=NCBD,据此判断④.

8.（2分）（2021八上•江阴期中）如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=46°,/BAC的平分线与AB的

垂直平分线OD交于点。，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将/C沿EF折叠，点C与点O恰好重

合时，则NOEC的度数（）

【完整解答】解：连接BO,CO.

Dt•・•ZBAC=46°,ZBAC的平分线与AB的中垂线交于点O,

AZOAB=ZOAC=23°,

TOD是AB的垂直平分线，

AOA=OB,

VOA=OB,ZOAB=23°,

AZOAB=ZABO=23°,

VAB=AC,/.ZABC=ZACB=67°,

:.ZOBC=ZABC-ZABO=67°-23°=44°,

VAB=AC,ZOAB=ZOAC,AO=AO,

AAABO^AACO（SAS）,

ABO=CO,

・・・ZOBC=ZOCB=44°,

・・•点C沿EF折叠后与点O重合，

AEO=EC,

:.ZEOC=ZOCE=44°,

・♦・ZOEC=180°-ZEOC-ZOCE=180°-2x44°=92°.

故答案为：B.

【思路引导】连接BO,CO,由角平分线的概念可得/OAB=NOAC=23。,根据垂直平分线的性质可得OA=OB,

结合等腰三角形的性质可得NOAB=NABO=23。，ZABC=ZACB=67°,然后求出NOBC的度数，证明ZkABO

/△ACO,得到BO=CO,则NOBC=NOCB=44。，根据折叠的性质可得EO=EC,则NEOC=NOCE=44。，

然后在^OEC中，应用内角和定理进行求解.

9.（2分）（2021八上•崇阳期中）如图，已知ZMON=30°，点A、&、A3、…在射线ON上，

点B］、B?、B3、…在射线OM上，的g4、A4282A3、A4333A4…均为等边三角形，若

。4=1，则的边长为（）

C.128D.256

•.'△A|B|A2是等边三角形，

.,.A|B|=A2B1,Z3=Z4=Z12=60°,

.\Z2=120°,

■:ZMON=30°,

.\Zl=180o-120o-30o=30°,

XVZ3=60°,

.,.Z5=180o-60°-30o=90°,

VZMON=Z1=30°,

/-OAi=AiBi=l,

/.A2BI=1,

•.,△A2B2A3.ZiA3B3A4是等边三角形,

.\Zll=Z10=60°,Z13=60°,

Z4=Z12=60°,

I.A1B1〃A2B2〃A3B3,BiA2//B2A3,

.*.Zl=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°,

/.A2B2=2B|A2,B3A3=2B2A3,

/.A3B3MBIA2M,

A4B4=8BIA2=8,

A5B5=16BIA2=16,

77

以此类推：ASB8=2BIA2=2=128.

故答案为：C.

【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得AB尸A2B1,Z3=Z4=Z12=60°,根据邻补角

的性质可得/2=120。，由内角和定理可得N1的度数，然后由平角的概念求出N5的度数，推出

OAI=AIBI=A2B1=1,根据等边三角形的性质以及角之间的关系可得A山i〃A2B2〃AaB3,BIA2〃B2A3,由平

行线的性质可得/l=N6=N7=30。，N5=/8=9O。，然后根据含30。角的直角三角形的性质可得A?B2=2BIA2,

B3A3=2B2A3,进而求出A3B3,A4B4,A5B5的值，据此解答.

10.（2分）（2018八上•北京月考）若-2）2+\b-3|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）

A.6B.7C.8D.7或8

【答案】D

【完整解答】解：；（a-2）2+|b-3|=0,

：.a-2=0,b-3=0,

解得a=2,b=3,

①当腰是2,底边是3时，三边长是2,2,3,此时符合三角形的三边关系定理，

即等腰三角形的周长是2+2+3=7；

②当腰是3,底边是2时，三边长是3,3,2,此时符合三角形的三边关系定理，

即等腰三角形的周长是3+3+2=8.

故答案为：D.

【思路引导】首先根据非负数的性质可以得到a,b的长度，再分类讨论:腰为2,底为3；和腰为3,底为2,

分别求出即可

二.填空题（共10小题，满分2（）分，每小题2分）

11.（2分）（2021八上•长沙期末）如图，ZABC、ZACB的平分线相交于点F,过F作DE//BC,

交AB于点D,交AC于点E,B£>=3cm,£C=2cm,则DE=cm.

B【答案】5

【完整解答】解：',-BF是ZABC的平分线,

；.NDBF=NCBF

•/DEIIBC，

：.ZDFB=ZCBF,

ZDBF=ZDFB,..OF=3。=3cm，

同理可得：EF=EC=2cm,

.1.DE=DF+EF-5cm，

故答案为：5.

【思路引导】由角平分线的定义得/DBF=NCBF,由平行线性质得NDFB=NCBF,即得NDBF=NDFB,

根据等角对等边得出DF=DB=3cm,同里得出EF=EC=2cm,利用DE=DF+EF计算即可.

12.（2分）（2021八上•句容期末）如图，NMON=35°，点P在ZMON的边ON上，以点P为圆

心，PO为半径画弧，交OM于点A,连接AP，则ZAPN=°.

【完整解答】解：由作图可知，PO=PA,

ZPAO=ZO=35°,

:.ZAPN=ZO+ZPAO=70°.

故答案为：70.

【思路引导】由作图可知：PO=PA,根据等边对等角得/PAO=/O=35。，由三角形的任意一个外角等于与

之不相邻的两个内角的和可得NAPN=NO+NPAO,据此计算.

13.（2分）（2021八上•句容期末）如图，ZAOB是一角度为a的锐角木架，要使木架更加牢固，需在

其内部添加一些连接支撑木件EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB

足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角«的范围

为,

【答案】0°<a<

【完整解答】解：；OE=EF,

...NEOF=/EFO=a,

/.ZGEF=ZEOF+ZEFO=2a,同理可得/GFH=3a,ZHGB=4a,

•••最多能添加这样的钢管6根,

.,.7a<90°,

【思路引导】根据等腰三角形的性质得NEOF=NEFO=a,由外角的性质可得/GEF=NEOF+NEFO=2a,

同理可得NGFH=3a,NHGB=4a,由题意可得7a<90。，求解即可.

14.（2分）（2021八上.淳安期末）如图，在AABC中，ZABC=ZACB,D为BC的中点，连接AD,E是

AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP,AC=10,BC=12,则EP+BP的最小值是.

；.AB=AC,

,.•D为BC的中点，

，AD垂直平分BC,BD」BC=6

2

.♦.BP=CP,AD7AB2-Bb2=J1（）2_62=8

.♦.EP+BP=EP+CP

要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E,P,C在同一直线上时，且CE

_LAB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；

S△/AiInIvC=-2ABCE=-2CBAD,

A10CE=12x8

解之：CE=9.6.

故答案为：9.6.

【思路引导】连接PC,利用已知易证AABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用

勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得至EP+BP=EP+CP,要使EP+BP

的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E,P,C在同一直线上时，且CE1AB时，EP+BP

的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.

15.（2分）（2021八上•宁波期末）如图，在RJABC中，AC=BC=1,D是斜边AB上一点（与点A,B

不重合），将ABCD绕着点C旋转90。到AACE,连结DE交AC于点F,若AAFD是等腰三角形，则AF的

长为.

【完整解答】解：；RtAABC中,AC=BC=1,

.♦./CAB=/B=45°,

VABCD绕着点C旋转90。到AACE,

/.ZECD=90°,NCDE=NCED=45。，

①AF=FD时，

ZFDA=ZFAD=45°,

ZAFD=90°,

ZCDA=45。+45。=90。=ZECD=ZDAE,

VEC-CD,

二四边形ADCE是正方形，

I1I

，AD=DC,；.AF=-AC=-xl=-；

222

②AF=AD时，

ZADF=ZAFD=67.5°,

/CDB=180°-ZADE-ZEDC=180o-67.50-45o=67.5°，

ZDCB=180o-67.50-45o=67.5°,

.♦.NDCB=NCDB,

，BD=CB=1,

；.AD=AB-BD=V2-l)

/.AF=AD=72-1•

故答案为：万或yfl-i.

【思路引导】R3ABC中，AC=BC=1,可得/CAB=/B=45。，由旋转的性质可得NECD=90。，ZCDE

=NCED=45。，分两种情况①AF=FD时，②AF=AD时，根据等腰三角形的性质分别解答即可.

16.（2分）（2021八上•中山期末）如图，AB=AC=5,ZBAC=U0°,AD是NBAC内的一条射线,

且NBW=25°,P为AD上一动点，贝“PB—Pq的最大值是.

AB-AC=5,

二AB'=AC=5.

...AAB'C是等边三角形,

•••B'C=5，

在dB'C中，

当P、B'、C在同一直线上时，|PB'—PC|取最大值B'C,即为5.

—的最大值是5.

故答案为：5.

【思路引导】作点B关于射线的对称点3',连接A5'、CB\BP.易证△AB'C是等边三角形，可

得8C=5,在APB'C中，由于|~B'—PqV3'C,所以当P、B'、C在同一直线上时，|PB'-PC|取最

大值，即为的长.

17.（2分）（2021八上.建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,

ZR4C=50°,ZBAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点。，点C沿直线EF折叠后与点O重

合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①NOEF=50°；②图中没有60。的角；③D、0、

C三点共线.请你直接写出其中正确的结论序号：

【完整解答】解：：NBAC=50。，AO为NBAC的平分线，

I1

，NBAO=-ZBAC=-x50°=25°.

22

又：AB=AC,.,.ZABC=ZACB=65°.

：DO是AB的垂直平分线，

/.OA=OB,

AZABO=ZBAO=25°,

二ZOBC=ZABC-ZABO=65°-25°=40°.

,.•AO为NBAC的平分线，AB=AC,

直线AO垂直平分BC,

/.OB=OC,

:.NOCB=N()BC=40。，

•.•将NC沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合,

；.OE=CE.

.*.ZCOE=ZOCB=40°；

在AOCE中，ZOEC=180°-ZCOE-ZOCB=180°-40°-40°=100°,

/.ZOEF=-ZCEO=50°,①符合题意；

2

,/ZOCB=ZOBC=ZCOE=40°,

:.ZBOE=180°-ZOBC-ZCOE-ZOCB=180°-40o-40o-40o=60°,②不符合题意；

ZABO=ZBAO=25°,DO是AB的垂直平分线，

ZDOB=90°-ZABO=75°,

VZOCB=ZOBC=40°,

ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=180°-40°-40°=100°,

AZDOC=ZDOB+ZBOC=75°+100°=175°,即D、0、C三点不共线，③不符合题意.

故答案为：①.

【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。

18.（2分）（2021八上•铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点M在对角线BD上，点

N为射线BC上一动点，连接MN,DN,且/DNM=/DBC,当ADMN是等腰三角形时，线段BN的长

【完整解答】解：①如图1中,

当NM=ND时,

:.ZNDM=ZNMD,

*：NMND=NCBD,

AZBDN=ZBND,

BD=BN=^BC2+CD2=A/122+92=15；

②如图2中,

D

当DM=DN时,

此时M与B重合,

ABC=CN=12,

.*.BN=24；

③如图3中,

.\ZNDM=ZMND,

VZMND=ZCBD,

・♦・ZNDM=ZMND=ZCBD,

ABN=DN,

设BN=DN=x,

在RtADNC中，DN2=CN2+CD2,

Ax2=（12-x）2+92,

.75

..x=—，

8

75

综上，当ADMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或一.

8

75

故答案为：15或24或一.

8

【思路引导】分三种情况：①当NM=ND时，②当DM=DN时,③当MN=MD时，根据等腰三角形的性质

及勾股定理分别求解即可.

19.（2分）（2021八上•沈阳期中）已知长方形ABCD,AB=6,BC=10,M为线段AD上一点且AM=8,

点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC-CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当△

AMP为等腰三角形时，t的值为

【答案】4-77或2或V7

【完整解答】解：四边形ABCD是矩形,

.-.AB=CD^6，BC=AD=\O,/BAD=NB=NC=/D=90。,

当^AMP为等腰三角形时，分三种情况：

①当PA=PM时，点P在A"的垂直平分线上，

取AM的中用N，过百N作NPVAM交BC于P,如图1所示:

图1

则四边形ABPN是矩形，

.-.BP=AN^-AM=4,

2

f=4+2=2；

②当A〃=AP=8时，如图2所示:

RtAABP中，由勾股定理得:BP=>JAP2-AB2=782-62=2A/7，

t=2币+2=y/1；

③M4=MP=8时，过点M作MH1BC于H，如图3所示:

D

NT

则四边形ABHM为矩形，

图3

:.MH=AB=6，BH=AM=8,/MHP=90。，

在RtAMHP中，由勾股定理得：HP=\JMP2-MH2=V82-62=277

:.BP=BH-HP=8-2yli，

.•:=（8-2近）+2=4-77:

综上所述，t的值为：4-#i或2或不

故答案为：4一币或2或币.

【思路引导】由四边形ABCD是矩形，.•./W=C£>=6，BC=AD=10,

4BA。=48=NC=ZD=90°，当^AMP为等腰三角形时，分三种情况：①当PA=PM时，点

P在40的垂直平分线上，②当AM=AP=8时，③当M4=MP=8时，过点M作

MHLBC于H，分类讨论即可。

20.（2分）（2021八上•武昌期中）如图，已知AABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，ZOBC,

NOCB的平分线相交于点I,有如下结论：①AO=CI；②/ABC+/ACO=90。；③/BOI=/COI；®OI

_LBC.其中正确的结论是.

【答案】②③④

【完整解答】解：：OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，

：.AO=BO,AO=CO.•.3O=CO设①AO=CI成立，则CO=CI,即点C在01的垂直平分线上,

这与CI是/OCB的角平分线互相矛盾，

故①错误，

AO=BO=O