2023年约数与倍数竞赛辅导

一.选择题(共31小题)1.在1，2，３,…,９９,１0０这100个自然数中，不是２的倍数,不是3的倍数，且不是5的倍数的数共有ｋ个，则k=(）A．25ﻩB．2６ C．27ﻩD.2８2．若非零自然数a，ｂ的最大公约数与最小公倍数之和恰等于ａ,b的乘积,则(）１０=(）Ａ.1ﻩB.1024ﻩＣ.２104 D.20233.从１,2，３,…，100０中找n个数,使其中任两个数的和是3６的倍数,则n的最大值为()A.2５ﻩB．26ﻩC．27ﻩD.2８４.将2,6,１0，14，…中３或５的倍数删去后，剩下的数列(串)中，第90个是()A．3５4 B.６７4ﻩC.866ﻩD.9345．13个不同的正整数的和为１6１５，则它们的公约数的最大值是()A.25ﻩB.21 C.１7 D．1３6．２０2３的所有正约数的和是()A.3528ﻩＢ．2607 Ｃ.252１ﻩＤ．20237.1998的不同约数的个数是(）A.20 B．16ﻩC．１４ D.128.已知自然数a,b,ｃ的最小公倍数为48，而a和b的最大公约数为４，b和的c最大公约数为３,则a+b+c的最小值是（)A．55 B.35 C．31ﻩＤ.3０9．已知自然数a、ｂ、c满足：①ａ和ｂ的最小公倍数为24;②a和b的最大公约数为6；③c和a的最小公倍数为36,则满足上述条件的（a,b,c）共有()组.A．4ﻩB．3 Ｃ.2ﻩD.１１0.在正整数范围内,方程组（x，y)=６0，(y，z）＝90,[z,x]＝360,y≤1000有多少组解？其中（）、[]分别表达最大公约数和最小公倍数.Ａ．3 Ｂ.6ﻩC．12ﻩD．2411．把1，2,3，…，１9提成几个组，每组至少１个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，则至少要分多少组（)A.9 B.7ﻩC.6 Ｄ．5１２.已知两个自然数ａ＜b，a+b=７８,a、b的最小公倍数是[ａ、b]=25２,则b﹣ａ＝(）Ａ．50ﻩB．22ﻩＣ.１４ﻩD．61３．已知x和y都是自然数,x和ｙ的最大公约数是2，最小公倍数是１00，则x2+y２=(）A.2516ﻩB．100０4ﻩC．2５16或1000４ D.无法计算14.两个失准的时钟上，一昼夜第一个钟快8分钟,第二个钟慢4分钟，当两个时钟都指向标准时间中午12点时,通过T个昼夜之后,它们又同时指向中午12点钟,则T的最小值为()个昼夜.A.１２0 Ｂ．180 C.2４0 D.３6０15．某班学生局限性50人,在一次数学测验中,有的学生得优，的学生得良,的学生得及格,则不及格的学生有（)A.０人ﻩB.１人ﻩC.３人 Ｄ.8人16．古人用天干和地支记序，其中天干有１0个;甲乙丙丁戊己庚辛壬癸,地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的1０个汉字和地支的12个汉字相应排列成如下两行;甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…,我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2０23年是农历丁亥年,那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中()A.是２０23年ﻩB.是2０31年ﻩC.是2０43年ﻩD．没有相应的年号17．用(ａ,ｂ)表达a,b两数的最大公约数,［a,b]表达a，b两数的最小公倍数,例如(4，6）＝2,(4,4)＝4．[4,６]=12，［４，4]=４,设a，b,c，d是不相等的自然数,(a,b)=P，(c，ｄ）=Q,[P,Ｑ]=X；[2，6]=Ｍ,［c，d]=N，(M,N)=Y．则（)Ａ.Ｘ是Y的倍数，但X不是Y的约数 Ｂ．Ｘ是Y的倍数或约数都有也许，但X≠YﻩC.X是Y的倍数、约数或X＝Y三者必居其一 Ｄ.以上结论都不对１8.2０23和30０2的最大公约数是(）A.1ﻩB.7 Ｃ.１1 D.1319.360×473和172×36１这两个积的最大公约数是（)A．43 B．８６ C.1７2 D.4２0.在正整数１，2,3，…,10０中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是()A.３３ B．3４ Ｃ．35 D.3７２1.用长为45cm,宽为30ｃm的一批砖,铺成一块正方形,至少需要(）块.A．6 B.８ C.12ﻩＤ．162２.20２３的正约数的个数是（)A.3 B.4 C．6ﻩD.823．所有形如的六位数（a,b,c分别是0~9这十个数之一，可以相同,但a≠0)的最大公约数是()Ａ.1001ﻩB．１01ﻩＣ．13ﻩD．1１２4．设a与b是正整数，且a+b=３3，最小公倍数[a，ｂ]＝90，则最大公约数（a，b）＝(）A.1 Ｂ.3ﻩＣ．1１ﻩD．９25.三角形三边长a，b,c都是整数,且[a，b，c]＝60,（a，ｂ）=4,(b，c）=3（注:［ａ,ｂ，c]表达ａ，b,c的最小公倍数，(ａ,b）表达a,ｂ的最大公约数)，则a+b+c的最小值(）A．３0ﻩB．31 Ｃ.3２ D．3326．若三个连续自然数的最小公倍数为６６0,则这三个数分别是()A．9，10，１1ﻩB．10，１1，１2ﻩC.1１,1２，13ﻩD.12,13,1４２7.10５的负约数的和等于（）A．﹣105 Ｂ．﹣87 C.﹣8６ﻩＤ.﹣19228.设a、ｂ为正整数（a＞b），ｐ是a、b的最大公约数,ｑ是ａ、ｂ的最小公倍数,则p，q,ａ,ｂ的大小关系是()Ａ.p≥q≥a＞bﻩB．q≥a>b≥ｐ C.ｑ≥ｐ≥a＞b D.ｐ≥a>b≥q29.两个正数的和是60,它们的最小公倍数是２73，则它们的乘积是（）A.273ﻩB．81９ C.119９ﻩD．19113０．下面的四句话中对的的是（）A.正整数ａ和b的最大公约数大于等于ａﻩB．正整数a和b的最小公倍数大于等于ab C．正整数a和ｂ的最大公约数小于等于a D．正整数a和b的公倍数大于等于ａb31．祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是１610,那么祖孙两人今年的年龄分别是（）Ａ．７0岁、23岁ﻩB.69岁、22岁ﻩC．１15岁、１４岁ﻩD．11４岁、１3岁二．填空题（共1０小题）32.记202３２的所有正约数为d１,d2，…,dm,则+＋…＋=．３3．清溪汽车站开设三条线路的公共汽车,①路车每4分钟开出一趟,③路车每６分钟开出一趟,⑦路车每９分钟开出一趟,假如他们是上午７点在汽车站同时开出,则他们下次同时开出的时间是.34．锐角三角形ABC的三边长BC＝a,CA＝b，AB＝c.a、b、c均为整数，且满足如下条件：ａ、b的最大公约数为2,ａ+b+c=，则△ABC的周长为.35.记者向五羊初级中学校长询问学生人数,校长回答说局限性5０00人,其中初一、初二、初三分别占，,,余下的是特别设立的“奥林匹克班”的学生,学校在学生中成立了数学爱好者协会，会员包含了初一学生的，初二学生的,初三学生的,而会员的是“奥林匹克班”的学生，则数学爱好者协会总人数为．３6．以(）、［]分别表达最大公约数和最小公倍数,则（[［(2４,60,84)，1,２0]，7，5，3]，1９）＝.37.(199４19９4+199419９5，199４×1９95）＝.3８.设m和ｎ为大于0的整数,且3m+2n＝２２５，假如m和n的最大公约数为15,m+ｎ=.3９.用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7,最小公倍数是7×２0.则围成这个长方形最少需要条长为1的线段,它的面积是.40．已知a、b和9的最大公约数为１，最小公倍数为７2,则a＋b的最大值是４1．已知m，n,l都是两位正整数,且它们不全相等，它们的最小公倍数是385,则m+n＋l的最大值是，最小值是．ﻬ参考答案与试题解析一.选择题（共31小题)1.在１，2，3，…,9９，100这100个自然数中,不是2的倍数,不是3的倍数,且不是5的倍数的数共有k个，则k＝(）A.25ﻩＢ．26 Ｃ.27 D.28【分析】一方面求出在1～10０的自然数中，2、3、5的倍数分别有多少个，然后求出2和3的公倍数、2和5的公倍数、3和5的公倍数、2、3和5的公倍数分别有多少个,再求出1~100中既不是２的倍数又不是3的倍数也不是5的倍数共有多少个即可．【解答】解：在１～1０0的自然数中，2的倍数有:100÷2=５0（个)，3的倍数有:1００÷3=３3(个)…１，5的倍数有:1０0÷5=20(个),2和3的公倍数有:１00÷6＝16(个）…4,2和5的公倍数有：100÷10=10（个),3和5的公倍数有：1０0÷15＝６（个）…1０，2、3和５的公倍数有：100÷30=3(个)…10，所以１~100中既不是２的倍数又不是3的倍数也不是5的倍数共有：100﹣(50+３３＋20）+(１6＋10+6）﹣3=1０0﹣１０３+32﹣3=26（个），即k＝2６．故选:B．【点评】此题重要考察了约数与倍数，数的整除的特性问题的应用，解答此题的关键是纯熟掌握是2、3、5的倍数的特性．２．若非零自然数a,b的最大公约数与最小公倍数之和恰等于ａ,b的乘积,则（)１０＝（)A.1 B．10２4 C.210４ﻩＤ．2０２３【分析】此题设这两个非零自然数a,b为mｘ,ｎx（其中ｍ,n，ｘ都是正整数，且m，n互质),然后根据题意可得mx•nｘ＝mnｘ+x,再变形为x=1＋，再根据x是正整数进行分析论证得出答案．【解答】解:设这两个非零自然数a，b为ｍx,nｘ(其中ｍ,n，x都是正整数，且m，n互质）,所以mx•ｎx=mnｘ+x，所以x＝1＋，∵m,n，x都是正整数,且m，ｎ互质，∴ｍ＝n＝1，∴x＝1+1＝2,∴ａ=b＝2，∴()10＝(）10=２１0=10２4．故选:B．【点评】此题重要考察了学生对最大公约数与最小公倍数之和的理解和掌握．规定学生能对的运用其解答问题．此题较难，是好题.3.从1,2,3,…,１０00中找n个数,使其中任两个数的和是3６的倍数,则ｎ的最大值为（)Ａ．25 B.26ﻩＣ．2７ﻩD.28【分析】不妨设找出的任意三个数为ａ、b、ｃ，根据条件可推出a、ｂ、c都是18的倍数,进而可得到找出的ｎ个数都是18的倍数．由于找出的任意两个数的和是３6的倍数,因此找出的n个数都是1８的奇数倍或都是18的偶数倍.然后分别讨论就可解决问题.【解答】解:不妨设找出的任意三个数为a、ｂ、c,由题可得:ａ＋b＝36n1①，a+c＝36n2②，b＋ｃ=36n3③,其中ｎ1、n2、ｎ3是正整数.由①+②﹣③得:２ａ=36(ｎ1+n2﹣n3)，即a＝1８(n1+n2﹣n3)．则ａ是１8的倍数.同理可得:b、ｃ都是１8的倍数．由于ａ、b、c表达任意的三个数，因此找出的n个数都是１8的倍数.由于找出的任意两个数的和是36的倍数，因此找出的ｎ个数都是１8的奇数倍或都是18的偶数倍．①若找出的ｎ个数都是18的奇数倍，则找出的最大的数可表达为18（2n﹣1)．解18（２n﹣１)≤10００得:ｎ≤．所以n取到最大值，为2８．②若找出的ｎ个数都是１8的偶数倍，则找出的最大的数可表达为18×2ｎ即3６n．解36n≤10０0得：n≤．所以n取到最大值，为2７．综上所述:n的最大值为28.故选:D．【点评】本题注重对推理能力的考察,而证到找出的n个数都是１8的倍数是解决本题的关键．4．将2，6,1０，１4,…中3或5的倍数删去后,剩下的数列(串)中，第90个是（)A．354 B.６74 C.8６６ﻩD．934【分析】在数列2,6，10，14,…中3的倍数是３个一循环,5的倍数是５个一循环，3和５的倍数是15个一循环,依此可知1５个一循环中3或5的倍数删去后，剩下8个，由于90÷8=1１…2,可知是第11个循环的第4个，依此即可求解.【解答】解:观测数列２,6,10，14,…中3的倍数是３个一循环，5的倍数是5个一循环,３和５的倍数是15个一循环，依此可知15个一循环中3或5的倍数删去后，剩下8个,由于９0÷8＝11…2，是第11个循环的第4个,1５×１1+4=1６５+４=169,则第9０个是１69×4﹣2=676﹣2=674.故选：B．【点评】考察了约数与倍数，本题关键是熟悉3或5的倍数的特点，难点是得到第9０个是第1１个循环的第４个.５.１3个不同的正整数的和为16１5,则它们的公约数的最大值是（)A.25ﻩB.2１ﻩC．17 D.13【分析】应先把1615分解,找到约数也许的数.再设出最大公约数，找出13个数最小值,进而求得最大公约数.【解答】解:设13个不同的正整数的最大公约数为ｄ，则，１3个不同的正整数为：da1、da２、…、da13为互不相同正整数,1615=dａ1+da２+…+ｄａ13=d（a１+a2+…+a13)a1+a2+…＋a１3最小为１+２+…+13＝（1３+1)×13÷2=９1,16１5=5×17×19,1６15的约数中,大于９1的最小约数是５×19＝95，即:a1＋a2+…＋ａ23最小为95,故最大公约数d也许达成的最大值=1615÷95=17．故选:Ｃ.【点评】解决本题的关键是先得到161５也许的约数，再求得13个数除去约数外最小的和．6．20２3的所有正约数的和是(）Ａ．3５28ﻩＢ.2６07ﻩC.2521ﻩＤ．20２３【分析】将2023表达成几个数相乘的形式,然后得出202３的所有约数，继而求和即可得出答案.【解答】解：２０2３=1×2０2３=2×1006＝4×5０3,由于503是质数，∴20２3的约数有：1、2023、2、１006、4、503,∴２023的所有正约数的和是1＋2＋4+503+1006+20２3＝35２8．故选：Ａ．【点评】此题考察了最大公约数和最小公倍数的知识，解答本题的关键是将２０23表达成几个因数相乘的形式,得出2023的约数，难度一般．７.199８的不同约数的个数是()A．20 B．16 Ｃ.１4ﻩD.1２【分析】由于19９8=2×33×37,于是可以分别求出单个质因数组成的约数、有两个质因数的约数、有三个质因数组成的约数个数,然后求和即可．【解答】解：19９8＝2×３3×37，单个质因数组成的约数有：2、３、9、２7、３7，有两个质因数的约数有:6、18、５4、7４、111、3３3、999,有三个质因数组成的约数有:２2２、66６、1998,再加上约数1,共有16个约数，故选：B.【点评】本题重要考察最大公约数与最小公倍数的知识点,解答本题的关键是纯熟掌握质因数的知识,此题难度不大．８.已知自然数ａ,ｂ,c的最小公倍数为４8，而a和b的最大公约数为4，b和的c最大公约数为3，则a＋b+ｃ的最小值是()A.５５ﻩB．3５ C.３1ﻩＤ．30【分析】根据ａ，ｂ,c的最小公倍数为4８拟定a，b，c的取值范围，然后根据3和4分别是b的约数得出b的最小值，继而可分别得出c及ａ的最小值，代入计算即可得出答案.【解答】解：a,b,c最小公倍数是48,所以它们都是48的约数，则a,ｂ，c只能在1,２，３，4,6，８，12，16,24,48中取值，又∵a，ｂ最大公约数是４；b，c最大公约数是３；∴b的最小值是１2，c最小值为3，a的最小值是16，则a+ｂ+ｃ的最小值=１2+３+１6=３1.故选:C.【点评】本题考察了最大公约数及最小公倍数的知识，关键是先求出ａ,b,c的取值范围,根据3和4分别是b的约数得出b的最小值，难度一般.9.已知自然数a、ｂ、c满足：①a和b的最小公倍数为24;②ａ和b的最大公约数为6;③c和ａ的最小公倍数为36，则满足上述条件的(ａ，b,c）共有()组．A.4 Ｂ．3 Ｃ．2 D．1【分析】根据a和ｂ的最小公倍数为24,ａ和b的最大公约数为6可得出ａ、b只能在６，１2，２４中取值,再由c和a的最小公倍数为36，可拟定符合题意的a,b,c的组合,进而得出答案．【解答】解：∵ａ和ｂ的最小公倍数为2４,∴a、ｂ可取1，2,3,４，6,8,12,24,又∵a和b的最大公约数为6，∴a、ｂ只在6，12，２4中取值,若要满足ｃ和a的最小公倍数为3６,则只有a=６,ｃ＝３６，b＝2４时成立．故（a，ｂ，ｃ）=(6,24,3６),共一组.故选：D．【点评】本题考察了最大公约数及最小公倍数的知识,难度一般,解答本题的关键是根据①②的条件得出ａ、b的取值范围.１0．在正整数范围内，方程组（x,y）=60，(y,z)＝９0,[z,x]＝360，y≤10０0有多少组解？其中（)、[]分别表达最大公约数和最小公倍数．Ａ．３ﻩＢ．6 C．1２ﻩD.24【分析】根据60、9０分别是y的约数可得出y=180k(ｋ取正整数）,结合y≤１000讨论ｋ的值，然后每一个y值可得出符合题意的x、ｚ的组合，继而可得出答案.【解答】解：由题意得,60、90都是y的约数，∴y=180ｋ(k取正整数），又∵y≤1000，则ｋ≤5;①当ｋ＝1时,y＝18０,∵（x，ｙ)＝60,(y,z）=90,[z，x]=360，∴可得x＝1２0,ｚ＝９０,则（x,z)＝(120,90),此时有１组解.②当k＝2时，y＝36０,∵(ｘ,y）＝60，(y，z)=90,［z，x］＝３60，没有符合题意的x和ｚ,此时没有解.③当ｋ＝3时,ｙ=５４0,∵（x，y）=60,(y，z）=90，[z，ｘ]=36０,则(x,z）=（120，90）,此时有1组解．④当k=４时,y=7２0,∵(x，y）=60，(y,z）=９0，∴可得ｘ＝60,z=90,又∵[ｚ,ｘ]＝360,∴没有符合题意的x和z，此时没有解．⑤当k=5时,y=90０，∵(x，y）=６0,（y,z）＝９0,∴可得x=60或１20或360,z=9０或360,又∵[ｚ，x］＝3６0,则(x,z)=(120，９０），此时有1组解．综上可得共有3组解.故选：A．【点评】本题考察了最大公约数及最小公倍数,根据题意得出y＝1８0k是解答本题的关键,难点在于分类讨论ｋ的值时，判断符合题意的x、z的组合,难度较大,规定细心解答．１１．把1,2,3，…,19提成几个组，每组至少1个数，使得有２个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组,则至少要分多少组（)Ａ．9 B．７ C.６ D.5【分析】一方面１不能和任何一个数一组,然后根据2、4、８、1６不能在一组,故以这四个数自立一组，先尽量往2所在的组填数,依次填写4、8、16，假如有不兼容的就再另行分组,由此可得出答案.【解答】解：①１不能和任何一个数一组，故1自立一组；②第二组可为:2，3,5,7,1１，１3,１7，１9；③第三组为：4,6，９，１0,14,1５，④第四组为:8，12，18,19；⑤第五组为:16；以上分组中的数在符合题意的基础上可以不固定,但是1、２、4、8、16需要各自一组，即至少分5组.故选：D.【点评】本题考察了最大公约数及最小公倍数的知识,解答本题的关键是得出2、４、8、16不能在一组,难点在于往这四个数所在的组瑱数．１2.已知两个自然数a＜b,a+b=78,a、ｂ的最小公倍数是[ａ、b]=25２，则ｂ﹣a＝（)A.50ﻩB．22ﻩC.14 Ｄ．6【分析】此题为选择题，可运用排除法进行求解．【解答】解:A、若b﹣ａ＝50,b＝６4，ａ=1４,a，b的最小公倍数是[a、b］=448，故本选项错误；Ｂ、若b﹣a=22,b=５0，a=２8,a，b的最小公倍数是［a、b]=７0０，故本选项错误；C、若b﹣ａ＝14,ｂ＝4６，a=3２,a，b的最小公倍数是[ａ、b]=73６,故本选项错误；Ｄ、若b﹣a=6,b=4２,ａ=3６，a,ｂ的最小公倍数是[a、b]=25２,故本选项对的．故选：Ｄ.【点评】本题考察最小公倍数的知识,注意对这一概念的纯熟掌握,同时要注意排除法在选择题中的灵活运用.13．已知x和y都是自然数,ｘ和y的最大公约数是2，最小公倍数是1００，则ｘ２+y２=（)A.25１6ﻩＢ．100０4 C．25１6或10004 Ｄ.无法计算【分析】根据题意可得ｘ和y的乘积是20０，又由于x和y的最大公约数是2,可知200=2×100＝4×5０,所以分情况讨论即可.【解答】解:∵最小公倍数是１00,∴x和y的乘积是2０0，∵200＝2×1００＝4×5０(因有最大公约数2,两者均为偶数)，∴①x=4，y=5０,或②x＝２，y＝100,∴①x2+y2=2５16；②x2＋ｙ2=100０４．故选:Ｃ．【点评】此题重要考察了最大公约数和最小公倍数的知识,解题的关键是认真审题,弄清题意．14．两个失准的时钟上,一昼夜第一个钟快8分钟,第二个钟慢４分钟,当两个时钟都指向标准时间中午12点时,通过T个昼夜之后，它们又同时指向中午12点钟，则Ｔ的最小值为(）个昼夜.A.120ﻩB.１80 Ｃ.240 D．360【分析】分别得到快钟和慢钟在标准时间里回到12点的时间，求出其最小公倍数即可．【解答】解:24×60÷８=180(个)；﹣﹣﹣﹣快钟每隔180个昼夜在标准时间里回到12点；２4×６0÷４=36０（个）;﹣﹣﹣﹣慢钟每隔36０个昼夜在标准时间里回到1２点；180和360的最小公倍数为360.故选：Ｄ．【点评】本题通过实际问题考察了最小公倍数,得到两个失准的时钟再次回到标准时间的时间是解题的关键．15.某班学生局限性50人,在一次数学测验中，有的学生得优,的学生得良,的学生得及格，则不及格的学生有(）A.０人 B．1人 C.3人ﻩＤ．８人【分析】在一次数学测验中有的学生得优,的学生得良，的学生得及格,则总人数一定能被2、3、7整除,求出2、３、7的最小公倍数,再找出小于5０的即可解答.【解答】解：2、3、7的最小公倍数为４2，42的倍数中小于５０的只有４2，故全班有42人,4２×（1﹣)＝1人．故选：B.【点评】本题重要考察3个数的最小公倍数的求法,纯熟掌握求最小公倍数的方法是解题的关键．16．古人用天干和地支记序，其中天干有１0个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有1２个;子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的１０个汉字和地支的12个汉字相应排列成如下两行;甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数,第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的,如公历２0２3年是农历丁亥年,那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中()Ａ.是20２3年 B．是2０31年 C.是2０43年 D．没有相应的年号【分析】一方面求得10与1２的最小公倍数６0.因而从丁亥年开始算，即可鉴定是否有甲亥年,具体是哪年.【解答】解:∵10与１2的最小公倍数为6０，∴按照天干与地支组合循环60次后又开始循环.故只要检测这60年即可．可知没有甲亥年．故选：D.【点评】本题考察最小公倍数.解决本题的关键是理解题意，天干地支循环是６０年（天干２02３与地支的最小公倍数),再重新循环．17．用(a，b)表达a,b两数的最大公约数，[a，b]表达a,b两数的最小公倍数,例如（4,６）=2，（4，4）=4.[４,6]=12，[４,４]＝4，设ａ,b，c，d是不相等的自然数，（a，b）＝P，(c,d)=Ｑ,［P，Q]=X；[2，6]=M，[c,ｄ]＝N，(Ｍ，N）=Y．则(）A.X是Y的倍数，但Ｘ不是Y的约数 B.X是Ｙ的倍数或约数都有也许,但X≠YﻩＣ.X是Y的倍数、约数或X=Ｙ三者必居其一 Ｄ．以上结论都不对【分析】根据题意和最大公约数和最小公倍数的相关知识依次判断即可．【解答】解：A、取a，b，c,d为4，3，2,1,则X＝1,y＝２，X是y的约数，取a，b，ｃ,d为4,2,３，1，则X＝２,y＝1,X是ｙ的倍数，故本选项错误；Ｂ、再取a,b，ｃ，d为5，3,2，1，则X=ｙ＝1，故本选项错误;C、再取a,b,c，d为6，3,2，1,则X＝3,y＝２，Ｘ既不是y的倍数也不是y的约数,故本选项错误;故选：D．【点评】本题考察了最大公约数和最小公倍数，牢记概念是关键．18．2023和3０02的最大公约数是（)A．1 B.7 Ｃ．1１ﻩD.13【分析】先把两数的公约数找出来，再找出最大公约数即可.【解答】解:∵20２3和30０2的公约数是1,∴2０23和30０2的最大公约数是1.故选：Ａ.【点评】本题考察了最大公约数的概念以及两个数最大公约数的求法，牢记概念是解题的关键．19.３60×47３和1７2×361这两个积的最大公约数是（）Ａ．４3ﻩB．86ﻩＣ．172 D.4【分析】解决此类问题一般需要将这两个式子分解质因数,但由于36１是一个质数，我们只要将172分解,再看一看前面的式子中有没有这几个质因数就不难得出答案．【解答】解：∵3６１是质数且不能被４73整除，１72＝2×2×4３，４73=４３×11,3６0=4×90，∴３6０×4７3和172×3６１这两个积的最大公约数是４×43＝172．故选：Ｃ．【点评】此题重要考察最大公约数的求法,纯熟掌握特殊的最大公约数的求法是解题的关键．20.在正整数1,2,３，…，100中，能被2整除但不能被３整除的数的个数是（)A.３3ﻩB．34 Ｃ．35 Ｄ．３7【分析】在1﹣n之间，能被2整除的数有个,能被3整除的数有个,同时能被２和3整除的数有个.【解答】解:在正整数1,２，3,…，100中,能被2整除的数有1０0÷2=5０（个）;能被２整除又能被3整除,即能被6整除的数有1０0÷６≈１6(个),所以，能被2整除但不能被3整除的数的个数是50﹣１6＝34(个）．故选:B．【点评】本题重要考察了有关于最大公约数与最小倍数的一道题.最小公倍数:①６及6的倍数能同时被2和３整除;②10及10的倍数能同时被2和5整除；③15及15的倍数能同时被3和5整除；④30及30的倍数能同时被2、3和5整除.21．用长为４5cｍ，宽为30ｃｍ的一批砖,铺成一块正方形，至少需要(）块.A.6ﻩB．８ C.12ﻩD．１6【分析】４5与30的最小公倍数90就是所求正方形的边长，然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求．【解答】解:∵[45，30]=9０(cm),∴所求正方形的面积是：90×90＝８１0０(cｍ)２，∴铺成该正方形所需的砖的块数为:810０÷（４5×30)=６(块);故选：A．【点评】本题重要考察了最小公倍数在实际生活中的应用.22.202３的正约数的个数是(）A.3ﻩB.4 C.６ﻩD.8【分析】先分解质因数20２3＝3×2３×29,然后根据约数个数定理来解答．【解答】解：∵２０２3=３×23×２９,∴２023的约数应为8个:1,3,2３，２9,3×23，3×29,23×29,2023．故选：D.【点评】本题考察了最大公约数与最小公倍数的知识点，在解答此题时,用到了约数个数定理:对于一个数a可以分解质因数:ａ＝a1•a22a3３…则ａ的约数的个数就是(ｒ１+1）(ｒ2＋1）（ｒ3+1)…需要指出来的是，a1，ａ2,a3…都是ａ的质因数.r1,r2，r3…是a1，a2，ａ3…的指数.比如,３60=２3×３2×５，所以3６０约数的个数是(3+1）×（2＋1)×(1+1）＝24个．2３.所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一,可以相同，但a≠0）的最大公约数是（）A．１001ﻩＢ．10１ﻩＣ．1３ﻩD.11【分析】一方面表达出这个六位数，10０００0ａ+10000b+1０00c+100a+10ｂ+c,再进行分解因数，得出它们的最大公约数．【解答】解:∵１00000a+１00０0b+100０c+100a＋10b+c＝10０1０0a+1001０b+1001c＝1001（100a＋10ｂ+c)1001是四位数，比100a+１０b+c大,∴最大公约数一定是10０１．故选：Ａ．【点评】此题重要考察了最大公约数，以及对的表达一个六位数,将这个六位数对的分解成两个因数是解决问题的关键．2４．设a与ｂ是正整数,且a＋b=３３,最小公倍数[a,b]=9０，则最大公约数(ａ,b）=（）Ａ.1 B.3 C．11ﻩD.9【分析】假设出(a,b）=x,得出x是a，ｂ,a+ｂ及[a,b］的公约数，得出x的值是x=1或x＝3，进一步运用数的整除性知识进行分析,得出符合规定的答案.【解答】解:令(a,ｂ）＝x，则x是ａ,b,ａ+b及[a，ｂ］的公约数，故x是３3和90的公约数，知x＝１或x=3．当x＝1时,ａ与b互质，而a+ｂ=33，当a不能被３整除,则b不能被３整除,而［a，b］=90,说明a、ｂ至少有一个能被3整除.当a能被3整除，由a+b＝3３,则b也能被3整除,故(a，b)≠１,即x≠1．当x=３时,即有(a，b）=3,∴ab=x[ａ,b]，ab＝3×90=３2×５×6，而a+ｂ＝33,∴a=15，b＝18，（ａ,b)＝3．故选:B．【点评】此题重要考察了数的整除性以及最大公约数和互质等知识，运用整除性得出ａ,b的关系是解决问题的关键．25.三角形三边长a,b，c都是整数,且[a，ｂ，ｃ]＝60,(a,b)＝4，(ｂ,c）=3(注：[a,ｂ,c]表达a,b，c的最小公倍数,(ａ,ｂ）表达ａ,b的最大公约数)，则a+b+c的最小值（）A.30ﻩB.31 C．3２ Ｄ.33【分析】一方面分解60=3×4×5，得出ａ,b,ｃ中含的因数有4，３,５,由（ａ,b)=４,(ｂ，c)＝3得出a的最小值是4,ｂ的最小值是３×4，进而得出c的最小值是３×5,从得出ａ＋b+c的最小值．【解答】解:∵６０=2×2×3×5，∵(a,ｂ）=4，（ｂ，c）=3,∴a与b是4的倍数，ｂ,ｃ是3的倍数，∵[a，ｂ，c]=60，即a,b,c的最小公倍数是60,∴a，b,c中含的因数有4，３,5，∴当a＝4，b＝4×３=12，c=３×5=１5时,a+ｂ+ｃ的最小值是：4+4×３＋3×５=31.故选:B.【点评】此题重要考察了最大公约数与最小公倍数,得出a,ｂ,c的最小值,是解决问题的关键.26．若三个连续自然数的最小公倍数为6６0,则这三个数分别是(）Ａ.９,10,１1 Ｂ.1０，11,12 C.1１，１2，13ﻩD．1２，1３,１4【分析】设这三个数为ｘ，x＋１，ｘ＋2,根据三个连续自然数的最小公倍数为６60,可得x|６６0，(ｘ+１)|６60，（x＋２)|６60,又由660=２×2×３×5×11,即可得出答案．【解答】解：设这三个数为x，ｘ+1,x+2,∵三个连续自然数的最小公倍数为6６0,∴ｘ|6６０，(ｘ+1）|６６0,（ｘ+2）|660,又∵６６0=2×２×３×5×11,∴这三个数分别10，１1,１2,故选：B．【点评】本题考察了最小公倍数，难度一般,关键是把６60分解成几个质数的乘积，然后根据题意求解.27．105的负约数的和等于（）A．﹣１0５ B.﹣87 C.﹣86 D.﹣192【分析】只要考虑105的负约数肯定有﹣1和﹣１0５,两个加起来就﹣１06,所以A、B、Ｃ肯定不符合答案.【解答】解:∵105＝（﹣1）×(﹣10５),=（﹣3)×(﹣35)，＝(﹣5)×(﹣21)，＝(﹣７）×(﹣１5)，∴105的负约数有﹣1、﹣105、﹣3、﹣35、﹣５、﹣21、﹣７、﹣15，∴﹣1﹣105﹣３﹣35﹣5﹣21﹣７﹣15＝﹣192.故选：D．【点评】本题考察了一个数的公约数,即将这个数写成几个数的积的形式，这几个数为它的因数．28．设a、b为正整数(a>ｂ)，p是a、ｂ的最大公约数，ｑ是a、b的最小公倍数,则ｐ，ｑ，ａ,ｂ的大小关系是（）A.p≥q≥a＞ｂﻩB．q≥a＞b≥pﻩC．q≥p≥a＞bﻩD．p≥a＞b≥q【分析】根据两个数的最大公约数与最小公倍数的关系鉴定即可．【解答】解：∵（a，b)=p且[ａ，b]＝q，∴p|a且ｐ|b，即a|q且b|q．∴q≥a>b≥p.故选B．【点评】本题重要考察最大公约数与最小公倍数，两个数的最大公约数最小是一,最大是其中较小的数，两个数的最小公倍数最大是他们的积,最小是其中较大的数．29.两个正数的和是6０,它们的最小公倍数是273,则它们的乘积是（)A．２73 B.８19 C．１1９9ﻩＤ．１９1１【分析】先对2７3分解质因数２73＝3×７×１3，所以,两个数为3,７，１3中的任意两数的乘积．【解答】解：∵273＝3×7×13,∴这两个数为３,7,13中的任意两个数的乘积,∴有3,7，1３,２1,3９，９1,27３这七个数,又∵两数和为６0，∴这两个数为2１,39，所以乘积为21×39=８19．故选：B．【点评】本题重要考察了有关于最大公约数与最小公倍数的题目，解答此题时,先用27３分解质因数，然后运用“凑项法”解答.30．下面的四句话中对的的是（）A．正整数a和b的最大公约数大于等于ａ Ｂ．正整数ａ和b的最小公倍数大于等于abﻩC.正整数a和ｂ的最大公约数小于等于aﻩＤ．正整数ａ和b的公倍数大于等于ａｂ【分析】运用特殊值法进行排除，例如３是6和9的公约数，小于6,所以正整数a和b的最大公约数大于等于a，同理可得出符合规定的答案.【解答】解：A、3是6和9的公约数,小于6，所以排除A；B、6和9的最小公倍数是18,小于５4，所以排除B；C、正整数a与b的最大公约数小于等于a是成立的；故C对的;D、6和9的最小公倍数是１8,小于5４,所以排除D；故选：C．【点评】此题重要考察了最大公约数与最小公倍数,运用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法.31.祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是16１0,那么祖孙两人今年的年龄分别是（)A.70岁、23岁ﻩB．69岁、22岁ﻩＣ.11５岁、14岁 Ｄ．11４岁、1３岁【分析】一方面先了解下合数质数的概念质数：除了1和它自身外，没有别的因数的数是质数．合数:除了1和它自身外,尚有别的因数的数是合数.再据题意把1610写成几个质数的及的形式，然后拟定其答案．【解答】解：16１0/2=80５,80５/5=161,161/7＝２3，所以由明年他们的岁数相乘是1610，可得1610=2×５×７×2３．这里可以拟定孙子的年龄和爷爷的年龄不能分别是（1）2和805，（２）5和322,(3）7和230,（4)35和46.假设孙子明年的年龄是2×7＝14,那么今年孙子明年的年龄是１4﹣１＝1３（质数)与已知矛盾，不成立.假如由1610＝2×5×７×23，设孙子明年的年龄是23，那么爷爷明年的年龄是２×5×７=70．又23﹣1＝22，7０﹣１＝6９,２2、69都是合数符合题意.故选：B．【点评】此题重要考察了学生对质数、合数意义的理解和掌握.此题关键是把1610写成几个质数的积的形式．二．填空题(共１0小题）32.记２0232的所有正约数为d１,d2，…,dｍ，则+＋…＋=．【分析】先针对于22的3个正约数,对于32的3个正约数，对于４2的5个正约数,对于52的３个正约数,对于62的9个正约数分别计算,找出ｎ2的正约数的个数的规律（假如n2分解质因数为aｅ×bf×ｃh,那么正约数的个数为（e+1)（ｆ＋1)(h+１)，和所求结论的规律则＋+＋…＋=，规律,即可得出结论．【解答】解：对于22的(2＋1）=３个正约数1，2，2２，有++＝；对于３2的（２+1）＝3个正约数1,3，３２，有＋+＝＝；对于4２＝2４的（4+1）﹣５个正约数１，２，22,23,2４,有＋+++＝．对于52的（2＋１）＝3个正约数1，5,５2,有＋+＝,对于62=２2×32的（2+1）（2+1）=9个正约数1,2，2２,3，３2，2×３，22×3，2×3２,22×32，有+＋+++＋+＋=,……即：若n2的所有正约数为d1，ｄ２,ｄ3，d4，…，dｍ,则++＋…+＝∵20232=210×34×72∴m＝（10＋1）（4＋1）（2+１)=m＝16５,∴当ｎ＝２０23时,++…＋＝=,故答案为.【点评】此题是约数与倍数，重要考察了一个正整数的平方的正约数的拟定，以及正约数的个数的拟定,找出规律是解本题的关键,也是难点.是一道比较难度比较大的规律题．33.清溪汽车站开设三条线路的公共汽车,①路车每4分钟开出一趟,③路车每6分钟开出一趟，⑦路车每9分钟开出一趟，假如他们是上午7点在汽车站同时开出，则他们下次同时开出的时间是7点36分．【分析】要解答本题只规定出4、6、９的最小公倍数就可以了，也就是说4、6、9的最小公倍数就是同时开出的循环时间，而4、6、9的最小公倍数是36,则下次同时开出的时间是36分钟时,这样就可以得出结论．【解答】解:∵①路车每4分钟开出一趟，③路车每6分钟开出一趟,⑦路车每９分钟开出一趟,而４、6、9的最小公倍数是36，∴同时开出的时间是7点36分．故答案为：7点36分.【点评】本题考察了最大公约数和最小公倍数的知识,重点是解答中拟定最小公倍数的方法“短除法”的运用．34.锐角三角形AＢC的三边长ＢC＝a,CA=ｂ,AＢ=c.a、b、c均为整数,且满足如下条件:a、b的最大公约数为2，a+b＋c＝,则△ＡＢC的周长为６或35.【分析】由题目可知，c＝﹣（a+b）＝，由于三角形中，有a+b>c，则﹣（a+b)=<a+b，整理得:3aｂ<(a+ｂ)2<６ab，由于ab≤（)2，所以（a+b)2≥4aｂ,假设(a+b)２=4ａb,则ａ＝ｂ,由于a，b的最大公约数为2，所以a=ｂ=2，代入ａ+b＋c=,得c＝2，符合题意.当△ＡBC为非等边三角形,三边为10，１4，11，从而求出△AＢC的周长．【解答】解:三角形中,有a＋b＞c，则﹣（a＋b）=<a+b,整理得:3ａb<（a＋ｂ)2＜６ab，由于aｂ≤（）2,所以（a+ｂ）2≥4ab,假设（a+b)2＝4ab，则ａ=b，由于a,b的最大公约数为２，所以ａ＝b=２，代入a+b＋c＝，得c＝２,符合题意.则△ABＣ的周长=2+２+２=6．当△ＡBＣ为非等边三角形，三边为１0，1４，11，满足a+b+c=,则△AＢC的周长=１0+1４+11＝35．故答案为:６或35．【点评】考察了最大公约数与三角形三边关系，本题得到ａ＝ｂ,根据a，ｂ的最大公约数为2，得到a=b＝2是解题的关键,题目较难.35.记者向五羊初级中学校长询问学生人数，校长回答说局限性５000人，其中初一、初二、初三分别占,，,余下的是特别设立的“奥林匹克班”的学生,学校在学生中成立了数学爱好者协会，会员包含了初一学生的，初二学生的,初三学生的，而会员的是“奥林匹克班”的学生，则数学爱好者协会总人数为183.【分析】设五羊初级中学中有x名学生,则数学爱好者协会中初一学生为×x＝x，初二学生为×ｘ＝x，初三学生为×x＝x，找到1２0,5６，4５的最小公倍数，根据学生人数局限性5000人,求解即可．【解答】解：设五羊初级中学中有x名学生,则数学爱好者协会中初一学生为×x=ｘ,初二学生为×x=x，初三学生为×x＝x,∵１20,56,45的最小公倍数是2520,∴五羊初级中学中有25２0名学生,∴数学爱好者协会总人数为（x+ｘ+ｘ）÷（１﹣)=1８3名．故数学爱好者协会总人数为１83.故答案为：183.【点评】考察了最大公约数与最小公倍数的应用，此题贴近学生生