2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第6讲 列方程解应用题(含详解)

第6讲列方程解应用题

模块一：增长（降低）率

知识精讲

增长率问题公式：a（l±x）2=b

其中a为初始值即变化前值，6为变化后值，x为增长率或者降低率.

例题解析

例1.（松江2018期中11）某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，依题

意可列方程：.

例2.（静安2018期末13）某厂去年1月份的产值为144万元，3月份下降到100万元，

求这两个月平均每月产值降低的百分率.如果设平均每月产值降低的百分率是x,那么列

出的方程是.

例3.（奉贤2018期末12）某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的100元涨到了179

元，设平均每次涨价的百分比为x,那么可列方程：

例4.某公司2014年各项经营收入中，经营电脑配件收入为500万元，占全部经营总收入

的,，该公司预计2016年经营总收入达到2160万元，求从2014年到2016年每年经营总

3

收入的平均年增长率.

例5.一辆汽车，新车的购买价是20万元，第一年使用后折旧20%,以后该车的年折旧率有

所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后的价值是

11.56万元，求这辆车第二、三年的折旧率.

例6.某工厂甲、乙两个车间在6月份共生产231台仪器，每个车间都比上月增产，且增产

的百分率相同，已知甲车间上个月月产量不少于100台，6月份比上个月增产5台，乙车间

上月生产120台.问：甲车间上月生产多少台?6月份每个车间增产的百分率是多少？

例7.某农户种植花生，原来种植的亩产量为200千克，出油率为50%,现在种植新品种花

生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长

率的工，求新产品花生亩产量的增长率？

2

例8.某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月

比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件.又知2月份的甲、乙两种产品

的产量之比为2:3,且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和

乙种产品1月份的产量.

模块二：工作效率

知识精讲

工作效率问题:

工作总量=工作效率x工作时间;

假设工作总量是1,则工作效率是….

工作时间

例题解析

例1.（静安2018期末4）某校计划修建一条500米长的跑道，开工后每天比原计划多修15

米，结果提前2天完成任务.如果设原计划每天修x米，那么根据题意可列出方程（）

500500.500500.500500.500500。

A.-----------=2；B.------------=2；C.------------=2；D.------------=2.

xx+15x+15xxx-15x-15x

例2.（松江2018期中12）某花木园，计划在园中载96棵桂花树，开工后每天比计划多种

2棵,结果提前4天完成任务.设实际每天载x棵桂花树,则可列出方程为.

例3..（浦东四署2018期中14）李强同学借了一本书共280页，要在两周的借期内读完，

当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.求他读前一半时，平均每天

读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则可列方程为

例4.（金山2018期中24）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种1000棵树.由于青年志

愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？

例5.有一项工程，甲单独做比甲、乙合作的天数多5天，如果甲、乙先合作4天，再由乙

单独做3天，才能完成全部工作的一半，问甲、乙单独完成此项工程各需要多少天.

例6.某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用

一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%,而乙车

间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问

甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天？

例7.己知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a

倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的。倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两

人合做此工作的几倍.

例8.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小

时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放

一个水管，需要多少小时才可以把水池注满？

模块三：利润

知识精讲

单件利润=售价-成本；总利润=单件利润X销售件数.

例题解析

例1.（长宁2018期末22）小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完

全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商

品，比上次在普通商场中多买了3件.问小明在网上购买的这一商品每件几元？

例2.某各个体户以2元/偌的价格购进一种食品，以3元/偌的价格出售,每天可售出200例,

为促销，该个体户决定降价销售，经调查，这种食品每降价0.1元jkg,每天可多售出40A

另外每天房租等固定成本24元，此人想每天盈利200元，应将售价降低为多少元/启？

例3.甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不

同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元.当两店将所进的饮料全部售完

后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？

例4.某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，

已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5

元/千克.

(1)求甲乙两种水果各购进了多少千克？

(2)购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，

甲种水果先售出3,剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，

5

赚多少?如果不赚钱，那么赔了多少？

例5.某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工

小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理

要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是

80元和120元；

(1)求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套？

(2)在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元

钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案

三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱？

模块四：行程

知识精讲

行程问题中三个变量：路程、速度和时间，关系如下：

路程=速度x时间

可以通过等式的相关计算推导出速度、和时间的相关计算公式.

例题解析

例1.(浦东四署2019期末4)某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米

/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x

千米/小时，下列所列方程正确的是()

.350350,0350350,350350,350350,

A.-------------------=1;D.-------------------=1;CP.--------------------=1;Dn.-------------------=1・

xx-30x-30xxx+30x+30x

例2.（浦东四署2019期中13）一列高铁与一列动车组在全长约为1318千米的京沪高速铁

路上运行，已知高铁列车比动车列车平均速度每小时快105千米，且高铁列车比动车组列车

全程运行时间少3小时，如果设高铁的平均速度是x千米/小时，则根据题意可列方

程：.

例3.（奉贤2018期末22）中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号”高

铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里.上海火车站到北京站铁路距离约为1400公

里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴

号”运行时间.

例4.（嘉定2019期末22）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千

米的效野公园.已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了

30分钟，结果两人同时到达公园.问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？

例5.（长宁2019期末23）小王开车从甲地到乙地，去时走4线路，全程约100千米，返回

时走8线路，全程约60千米.小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米

/小时，所用时间却比返回时多15分钟.若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，

求小王开车返回时的平均速度.

例6.甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比

乙早到半小时，二人每小时各走多少米？

例7.已知力、6两地相距125碗，甲乙两人同时4、6两地出发，相向而行，每走10碗甲比

乙快36分钟，经5小时两人相遇，求甲乙两人的速度.

例8.甲、乙两人分别从相距27千米的4、8两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两

人按照原来的速度继续前进，甲到达6地比乙到达1地少用1小时21分钟，求两人的速度.

模块五：几何图形

知识精讲

(1)关于线段长度类问题，主要列无理方程求解；

(2)与面积相关的问题；

(3)图形中的动点问题.

例题解析

例1.函数7=2x图像上一点一到点4(5,0)的距离是5,求点一的坐标.

例2.已知直角三角形的两条直角边的差是2M,它的面积是125/,求这两条直角边的长.

例3.(黄浦2018期中25)如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的

道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米时的速度由西向

东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进.有一颗百年古树位于图中的尸点

处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米.

问：(1)离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？

(2)离开路口经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？

北

例4.将一条长为20谶的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度围成一个正方形，两个正方

形的面积之和可能等于12颂2吗?若能，求出两段铁丝的长度，若不能，请说明理由.

例5.如图，笔直公路上46两点相距10千米，C.〃为两居民区，为，第于4CBLAB于

B,已知〃4=6千米，，户8千米，现要在公路段上建一超市反使C、。两居民区到6的距

离相等，则超市£应建在离/处多远处.

例6.有一块长x米，宽120米（x>120）的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，

其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若己知丙地的面积为3200米,

求x的值.

乙

甲

丙

例7.有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道

路的一边与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口48、CD、EF、KI、GH、。的长度都

相等，其余部分种植绿化）.已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度

例8.等腰放△口（7中，谡=8。=8cm,动点P从点A出发，沿4?向点8移动.通过点

P引平行于3C、AC的直线与AC、3C分别交于点/?、Q,问：4尸等于多少厘米时，平

行四边形PQCR的面积等于16c$

例9.m、n为两条互相垂直的笔直公路，工厂A在公路n上，距公路m为1千米，B与工厂

A在公路m的同侧，且距公路而为2千米，距公路〃为3千米.现要在公路加上建造一个车

站P,使它与4、8的距离之和为2行千米，求产的位置.

例10.已知/(O,-1),B(0,4),点尸在坐标轴上，且PA+PB=3亚,求点尸的坐标.

模块六：其他

例题解析

例1.有一个非零数，它与4的和的正平方根再加上2后恰好等于它本身，求这个数.

例2有一个两位数，如果个位上的数与十位上的数的和是5,并且个位上的数的平方比十位

上的数大1,求这个两位数.

例3.某剧场有座位800个，每排的座位数一样多，在每排增加5个座位，并增加2排后就

有座位1020个，问原来座位多少排?原每排多少个座位.

例4.植树节前，园林局把植数1600棵的任务交给了一个小队，小队被分成若干个组，计划

每个组植树的棵树相同，但后来又4个组另有任务不能参加，所以其他组就要比原计划多植

树20棵，每个小分队共分成了多少个组.

例5.学校甲、乙、丙三个摄影兴趣小组进行了一次摄影作品交流活动，活动时，每位同学向

不同组的每个组员送一张摄影作品，这样互相交流的摄影作品共310张，已知甲组人数是丙

组人数的2倍，乙组比甲组少3人，这三个摄影小组各有多少人？

例6.小强放学回家后，向爸爸、妈妈询问火箭队与雄鹿队的当天的篮球比赛的结果，妈妈

说：“本场比赛火箭队的姚明比雄鹿的易建联多得了12分”.爸爸说：“如果把姚明的分数乘

以易建联的得分再加上36分，恰好等于他们两人的得分之和的15倍，并且，如果姚明的得

分不超过30分，则雄鹿队胜，否则，火箭队胜"，请你帮小强算一下，这场比赛，究竟是哪

个队胜了？姚明和易建联各得了多少分？

随堂检测

1.某公司1996年出口创收135万元，1997年、1998年每年都比上一年增加a%,那么1998

年这个公司出口创收元.

2.甲、乙两个工程队合修一条路要6天完成，如果各队单独修路，则甲队比乙队少用5天,

设甲、乙两队单独修路所需天数分别为x天和y天，则可列方程组为()

111111

\x+y=6—I—=——i—=—

A.B.\，C.<xy6D.<xy6

[x=y-5y+5

x=y-5,x=），+5

3.已知点4(12,2),B(3,-1),在x轴上找一点产，使力=2阳.

4.甲、乙两组工人合做某项工作，10天以后，因甲组另有任务，乙组再单独做2天才完成，

如果单独完成这项工作，甲组比乙组可以快4天，求各组单独完成这项工作所需要的天数.

5.有一面积为150平方米的长方形饲养场，饲养场一边靠墙(墙长18米)，另三边用竹篱笆

围成，如果竹篱笆的长为35米，求饲养场的长和宽.

6.修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天

比乙工程队少修建6米.甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为

3.2万元.

（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；

（2）为在35天内完成修建任务应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务

的前提下所花费用较少?并说明理由

7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程

计划安排7天，每.天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛.

8.初二（1）班班委会主动为班级上一位生病住院的同学筹集部分医药费，计划筹集600

元，由全体班委同学分担，后来又6位同学知道消息后也自愿参加了捐助和班委同学一起

分担，因此每个班委的同学比原来少分担了50元，问：该班委有几个人?按照原计划每个

班委平均分摊多少元.

9.制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价是625元，经市场预测，该产品销售价

第一个月将降低20%,第二个月将比第一个月提高6%,为了使两个月后的原销售利润不变,

该产品的成本价平均每月应降低多少？

10.一汽艇用一定速度驶完一段路程，若汽艇每小时少走8千米，则走完全程要多用4小时，

若汽艇每小时多走8千米，则走完全程可少用2小时，试求这段路的长度以及汽艇原来的速

度.

11.有两块正方形的木板，其中大块的面积比小块的面积大45平方分米，已知小木块的边长

比大木块的边长短3分米，求这两块木板的面积分别是多少.

12.坐标轴上有8、。两动点.8从尸(4,0)点以％=1的速度沿x轴负方向运动，同时。点从

y轴某处以%=2的速度直线运动.问两点能否在冰的中点/处相遇，若能，求C点的起

始坐标；若不能，说明原因.

第6讲列方程解应用题

模块一：增长(降低)率

知识精讲

增长率问题公式：a(l+x)2=b

其中a为初始值即变化前值，6为变化后值，x为增长率或者降低率.

例题解析

例1.(松江2018期中11)某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，依题

意可列方程：.

【答案】180(1+x%y=300；

【解析】180元的商品连续两次提价x%后为180(1+X%)2,故得方程180(1+X%)2=300.

例2.(静安2018期末13)某厂去年1月份的产值为144万元，3月份下降到100万元，

求这两个月平均每月产值降低的百分率.如果设平均每月产值降低的百分率是x,那么列

出的方程是

【答案】144(1一回2=100；

【解答】.解：设平均每月产值降低的百分率是必则2月份的产值为144(1-X)万元，3月

份的产值为144(1-if万元，根据题意，得144(1-X)2=100.故答案为144(1一刀尸=100.

例3.(奉贤2018期末12)某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的100元涨到了179

元，设平均每次涨价的百分比为x,那么可列方程：

【答案】100(1+幻J*%

【解析】解：设平均每次涨价的百分比为x,那么可列方程：100(1+x)J179.故答案为：

100(1+x)2=179.

例4.某公司2014年各项经营收入中，经营电脑配件收入为500万元，占全部经营总收入

的1,该公司预计2016年经营总收入达到2160万元，求从2014年到2016年每年经营总

3

收入的平均年增长率.

【难度】★★

【答案】1500(1+x)2=2160,20%.

【解析】设从2014年到2016年每年经营总收入的平均年增长率为x,依题意可得：

1500(1+x)2=2160,解得：%,=0.2,爸=-2.2(舍)，即得平均增长率是20%.

【总结】考查降低(增长)率问题的应用.

例5.一辆汽车，新车的购买价是20万元，第一年使用后折旧20%,以后该车的年折旧率有

所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后的价值是

11.56万元，求这辆车第二、三年的折旧率.

【难度】★★

【答案】15%.

【解析】设这辆乍第二、三年的折旧率为x,依题意可得：20(1-20%)(l-x)2=11.56,

解得：^=0.15,%=1.85（舍），即得这辆车第二、三年的折旧率是15%.

【总结】考查降低（增长）率问题的应用.

例6.某工厂甲、乙两个车间在6月份共生产231台仪器，每个车间都比上月增产，且增产

的百分率相同，已知甲车间上个月月产量不少于100台，6月份比上个月增产5台，乙车间

上月生产120台.问：甲车间上月生产多少台?6月份每个车间增产的百分率是多少？

【难度】★★

【答案】甲车间上月生产100台，增产百分率是5%

【解析】设甲车间上月生产x台，则6月份生产（x+5）台，

依题意uj■得：x+5+12O（l+3）=231,整理得V-106x+600=0,

解得：x,=10（）,x2=6（舍），

即得甲车间上月生产100台，每个车间增产百分率为1-X1OO%=5%.

100

【总结】考查降低（增长）率问题的应用.

例7.某农户种植花生，原来种植的亩产量为200千克，出油率为50%,现在种植新品种花

生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长

率的工，求新产品花生亩产量的增长率？

2

【难度】★★

【答案】20%.

【解析】设新产品花生亩产量的增长率x,则出油率增长率为依题意可得：

2

200（1+x）x50%（1+；x）=132,整理得25/+75x-16=0,

解得：%,=0.2,9=-3.2（舍），即得新产品花生亩产量增长率是20%.

【总结】考查降低（增长）率问题的应用.

例8.某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月

比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件.又知2月份的甲、乙两种产品

的产量之比为2:3,且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和

乙种产品1月份的产量.

【难度】★★★

【答案】甲产品每月产量增长率是25%,乙产品1月份的产量为20件.

【解析】设甲种产品每月的增长率为x,则甲2月份的产量为16（l+x）,3月份的产量为

16（1+x）2,

则乙3月份产量为65-16（1+X）2,2月份的产量为65-16（l+x>-10,

依题意可得：16（1+X）:[65-16（1+X）2-10]=2:3,整理得16丁+56x75=0,

解得：%,=0.25,马=-3.75（舍），即得甲产品每月产量增长率是25%,

乙产品1月份的产量为65-16x（1+25%）?-10-10=20件.

【总结】考查降低（增长）率问题的应用，注意各个月份产量的表示.

模块二：工作效率

知识精讲

工作效率问题:

工作总量=工作效率x工作时间;

假设工作总量是1,则工作效率是

工作时间

例题解析

例1.（静安2018期末4）某校计划修建一条500米长的跑道，开工后每天比原计划多修15

米，结果提前2天完成任务.如果设原计划每天修x米，那么根据题意可列出方程（）

500500500500.500500.500500.

A.-----=2；B.-----------=2；C.=2；D.=2.

Xx+15x+15x------------xx-15----------x-15x

【答案】A；

【解答】解：设原计划每天修X米，则实际每天修（x+15）米.由题意，知原计划用的时间

为迎天,实际用的时间为：三”天，故所列方程为：500__529_=2.故选：A.

xx+15xx+15

例2.（松江2018期中12）某花木园，计划在园中载96棵桂花树，开工后每天比计划多种

2棵,结果提前4天完成任务.设实际每天载x棵桂花树，则可列出方程为.

■田9696.

【答案】---------=4；

x-2x

【解析】原计划时间为：旦，实际上所用时间为丝，因为实际提前4天完成，故得方程

x-2

为：旦坐=4.

x-2x

例3..（浦东四署2018期中14）李强同学借了一本书共280页，要在两周的借期内读完，

当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.求他读前一半时，平均每天

读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则可列方程为

140140

【答案】---+------=14；

xx+21

【解析】依题李强读前一半时间为兰14？0，读后一半的时间为‘1丝40，故1上40+」1丝40=14.

xx+21xx+21

例4.（金山2018期中24）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种1000棵树.由于青年志

愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？

【答案】40棵；

【解析】解：设有的计划每天种x棵，根据题意得：U她_U22.=5,去分母整理，得：

xx+10

X2+10X-2000=0,解得N=40,与=—50,经检验：％=40,々=—50都是原方程的

根，但无=-5（）不合题意，舍去.答：原计划每天种树40棵.

例5.有一项工程，甲单独做比甲、乙合作的天数多5天，如果甲、乙先合作4天，再由乙

单独做3天，才能完成全部工作的一半，问甲、乙单独完成此项工程各需要多少天.

【难度】★★

【答案】甲单独完成需要15天，乙单独完成需要30天.

【解析】设甲单独完成需要x天，则甲乙合作完成需要（x-5）天，乙单独完成需要

[一^^£天,依题意可得4._!_+3.——=」，整理得Y-13X+30=0,

1__15x-5X2-5X2

x-5x

解得：匕=15,^=-2（舍），经检验均是原方程的解，但々=-2不符合题意，舍去，

即甲单独完成需要15天，乙单独完成需要“一：」=30天.

【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验.

例6.某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用

一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%,而乙车

间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问

甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天？

【难度】★★★

【答案】甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天.

【解析】设甲原来需要x天，则乙原来需要（x+1）天，依题意可得：———-=2,

解得：x=7.5,即甲午间原来生产300个零件需要7.5天，乙年间需要8.5天.

【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式.

例7.已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a

倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的6倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两

人合做此工作的几倍.

【难度】★★★

[答案]史立史.

ab-\

【解析】设甲、乙、内需要的工作时间分别为y,z,

依题意可得力=〃•1,.=♦♦]1।,

yzxz

分别整理可得」="+1,1=b+]

x[ab-\)zyyab-\)z

Ij-.1,rZR11。+/?+2a+b+2

相加得一+一=;....—由此得z=

xy[ah-l)zab-l

【总结】考查工程问题的应用，注意找准字母之间的关系.

例8.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小

时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放

一个水管，需要多少小时才可以把水池注满？

【难度】★★★

【答案】单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水

池.

【解析】设甲需要动，则乙需要(x+10)〃，依题意可得5+6&+；%卜1,

整理得X2—12x-160=0,解得：=20»啰=-8,

经检验均是原方程的解，但&=-8不符合题意，舍去，

故单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池.

【总结】考查工程问题的应用，合作加独做合为单位“1”，注意分式方程要检验..

模块三：利润

知识精讲

单件利润=售价-成本；总利润=单件利润x销售件数.

例题解析

例1.(长宁2018期末22)小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现

完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一

商品，比上次在普通商场中多买了3件.问小明在网上购买的这一商品每件几元？

【答案】6元；

【解析】解：设小明在网上购买的这一商品每件X元.---=3,丁+4尸60=0,M=-

XX+2

10,&=6.经检验它们都是原方程的根，但尸T0不符合题意.答：小明在网上购买的这

一商品每件6元.

例2.某各个体户以2元/招的价格购进一种食品，以3元/幅的价格出售，每天可售出200幅，

为促销，该个体户决定降价销售，经调查，这种食品每降价0.1元Jkg,每天可多售出40例，

另外每天房租等固定成本24元，此人想每天盈利200元，应将售价降低为多少元/松？

【难度】★★

【答案】应将售价降低为2.7元/千克.

【解析】设应将售价降低为x元/依，依题意可得：（x-2）（200+若Zol-ZdnZOO,

整理得50炉一275x+378=0,即（5x-14）（10x-27）=0,解得：%,=2.7,々=2.8,

因为是促销，即应将售价每千克应降低为2.7元.

【总结】考查利润问题的应用，总利润=单个利润X总销量.

例3.甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不

同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元.当两店将所进的饮料全部售完

后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？

【难度】★★

【答案】甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料.

【解析】设甲店进货x箱饮料，则乙店进货（25-x）箱饮料，

依题意可得—-100°上350=]0>整理得x2_26Gx+2500=0,

x25-x

解得：％=10,w=250,经检验均是原方程的解，但々=250不符合题意，舍去，

故甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料.

【总结】考查销售问题，注意对题意的准确理解.

例4.某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果,

已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5

元/千克.

（3）求甲乙两种水果各购进了多少千克？

（4）购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，

甲种水果先售出°,剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，

5

赚多少？如果不赚钱，那么赔了多少？

【难度】★★★

【答案】（1）甲种水果购进40千克，乙种水果购进50千克；（2）赚了29.6元

【解析】（1）设购进甲种水果x千克，乙种水果产10千克，由题意得®一任_=0.5,

XX4-1O

解得：户40,经检验产40是原方程的解，且符合题意，

故购进甲种水果是40千克，乙种水果是40+10=50千克；

32

（2）利润为：50x（2.8-2）+40x-（2.8-2.5）+40x-（1.4-2.5）=29.6>0,故赚了29.6元.

【总结】本题主要考察了利润问题，找出题目中的等量关系再列方程.

例5.某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工

小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理

要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是

80元和120元；

（3）求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套？

（4）在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元

钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案

三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱？

【难度】★★★

【答案】3）甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案三.

【解析】（1）设甲小组每天修理x套旧桌椅，则乙小组每天修理（x+8）套旧桌椅,

依题意可得绝—29=20,整理得丁+8》-384=0,解得：占=16,%,=-24,

xx+8

经检验均是原方程的解，但％=-24不符合题意，舍去，

即得甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；

(2)方案一需要的费用为(80+10)x960+16=5400元；

方案二需要的费用为(120+10)x960+24=5200元；

方案三需要的费用为(80+120+10)x960+(16+24)=5040元，可知方案三更省钱.

【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程要检验.

模块四：行程

知识精讲

行程问题中三个变量：路程、速度和时间，关系如下：

路程=速度x时间

可以通过等式的相关计算推导出速度、和时间的相关计算公式.

例题解析

例1.(浦东四署2019期末4)某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米

/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x

千米/小时，下列所列方程正确的是()

.350350,0350350,「350350,n350350,

xx-30x-30xxx+30x+30x

【答案】C；

【解析】提速前所用时间为：当，提速后所用时间为：一3二50L,依题可得：—350—3^50-=1.

xx+30xx+30

例2.(浦东四署2019期中13)一列高铁与一列动车组在全长约为1318千米的京沪高速铁

路上运行，已知高铁列车比动车列车平均速度每小时快105千米，且高铁列车比动车组列车

全程运行时间少3小时，如果设高铁的平均速度是x千米/小时，则根据题意可列方

程：

.田131813180

【答案】-------------=3；

%—105x

IO1O1OIQ

【解析】高铁所用时间为动车所用时间」因为高铁列车比动车组列车全程

Xx-105

1a1o1a1Q

运行时间少3小时，故得士旦-必^=3.

x-105x

例3.（奉贤2018期末22）中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号”高

铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里.上海火车站到北京站铁路距离约为1400公

里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴

号”运行时间.

【答案】4；

【解析】解：设复兴号用时x小时，则和谐号用时（广1）小时，根据题意得：=70+,

Xx+1

解得：产4或产-5（舍去）答：上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间为4小时.

例4.（嘉定2019期末22）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千

米的效野公园.已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了

30分钟，结果两人同时到达公园.问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？

【答案】10千米/小时，8千米/小时；

【解析】设甲平均每小时行驶x千米，则二2_—跑=（）$,化简为：X2-2X-8O=O解得：

x-2x

x,=-8,x2=10,经检验：％=-8不符合题意，舍去=10是原方程的解.答：甲平

均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米.

例5.（长宁2019期末23）小王开车从甲地到乙地，去时走4线路，全程约100千米，返回

时走6线路，全程约60千米.小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米

/小时，所用时间却比返回时多15分钟.若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，

求小王开车返回时的平均速度.

【答案】80千米/小时;

【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x千米/小时（x270）,则小王开车去时的平

均速度为（户20）千米/小时，根据题意得：一^---,解得：户80或x=60（舍

x+20x60

去），经检验：x=80是原方程的解.答：小王开车返回时的平均速度为80千米/小时.

例6.甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比

乙早到半小时，二人每小时各走多少米？

【难度】★★

【答案】甲每小时走6千米，乙每小时走5千米.

【解析】设甲每小时走x千米，则乙每小时走（x-1）千米，依题意可得：---=1,

x-1x2

整理得X?—%—30=0,解得：X]=6,x2=—5（舍），

经检验均是原方程的解，但电=-5不符合题意，故舍去，

所以甲每小时走6千米，乙每小时走5千米.

【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验..

例7.已知1、6两地相距125A/〃，甲乙两人同时/、夕两地出发，相向而行，每走10碗甲比

乙快36分钟，经5小时两人相遇，求甲乙两人的速度.

【难度】★★

【答案】甲的速度为笆版“，乙的速度为空版/".

33

【解析】设甲的速度为9//2，依题意可得5（》+/1）=125,整理得3/+25》-1250=0,

一+-

x5

解得：演=竺，毛=_25,经检验均是原方程的解，但々=-25不符合题意，故舍去,

所以甲的速度为竺版//?,乙的速度为9-型="6/6.

3533

【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验.

例8.甲、乙两人分别从相距27千米的48两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两

人按照原来的速度继续前进，甲到达8地比乙到达力地少用1小时21分钟，求两人的速度.

【难度】★★★

【答案】甲的速度为5切t/〃，乙的速度为4加/〃.

【解析】设甲的速度为乙的速度为了也?//?.

'3（x+y）=27

[x=5,经检验卜=：是原方程组的解，且符合题意,

依题意可得,272727,解得:

-------=--[y=4[y=4

.yx20

故甲的速度为5Am//i,乙的速度为4h〃/〃.

【总结】考查行程问题的应用，，注意分式方程组要检验..

模块五：几何图形

知识精讲

（4）关于线段长度类问题，主要列无理方程求解；

（5）与面积相关的问题；

（6）图形中的动点问题.

例题解析

例1.函数片2x图像上一点？到点力（5,0）的距离是5,求点户的坐标.

【难度】★

【答案】耳（2,4）,4（0,0）.

【解析】设P（x,2x）,依题意可得—+（2x）2=5,解得：x,=2,%,=0,

经检验占=2,%=0均是原方程的解，故得《（2,4）或6（0,0）.

【总结】考查点坐标的求取，根据点所在的直线设点坐标，注意无理方程要验根.

例2.