高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用第8章6第6讲空间向量及其运算

第6讲空间向量及其运算1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(3)向量的数量积的性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；②a⊥b?a·b＝0；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.(4)向量的数量积满足如下运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．3．空间向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))).(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称eq\o(AB,\s\up6(→))为直线l的方向向量，与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))5．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.()(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．()(6)若A、B、C、D是空间任意四点，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为()A．(3，0，0) B．(0，3，0)C．(0，0，3) D．(0，0，－3)解析：选C.设P(0，0，z)，则有eq\r(（1－0）2＋（－2－0）2＋（1－z）2)＝eq\r(（2－0）2＋（2－0）2＋（2－z）2)，解得z＝3.(教材习题改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eqB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析：选A.由题意，根据向量运算的几何运算法则，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.(教材习题改编)已知a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________．解析：因为a＝(2，4，x)，|a|＝6，则x＝±4，又b＝(2，y，2)，a⊥b，当x＝4时，y＝－3，x＋y＝1.当x＝－4时，y＝1，x＋y＝－3.答案：1或－3若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．解析：因为α∥β，所以u1∥u2，所以eq\f(－3,6)＝eq\f(y,－2)＝eq\f(2,z)，所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.答案：－3空间向量的线性运算[典例引领]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________．(2)用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，则eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________．【解析】(1)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).(2)因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).【答案】(1)eq\o(A1A,\s\up6(→))(2)eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))若本例条件不变，结论改为：设E是棱DD1上的点，且eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))，若eq\o(EO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，试求x，y，z的值．解：eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，由条件知，x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－eq\f(2,3).eq\a\vs4\al()用已知向量表示某一向量的方法[通关练习]1．在空间四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，5，2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))的坐标为()A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)解析：选B.因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为坐标原点，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝eq\f(1,2)(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．2.在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示(1)eq\o(MG,\s\up6(→))；(2)eq\o(OG,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))]＝－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(2)eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).共线、共面向量定理的应用[典例引领]已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.【证明】(1)连接BG(图略)，则eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理的推论知，E，F，G，H四点共面．(2)因为eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.eq\a\vs4\al()(1)证明空间三点P、A、B共线的方法①eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；②对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)；③对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．(2)证明空间四点P、M、A、B共面的方法①eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；②对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；③对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；④eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．[通关练习]1．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3，2 D．2，2解析：选A.因为a∥b，所以b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝k（λ＋1），,2μ－1＝0，,2λ＝2k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)判断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．解：(1)由题知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．空间向量的数量积[典例引领]如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求eq\o(AC1,\s\up6(→))的长；(2)求eq\o(BD1,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值．【解】(1)记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的长为eq\r(6).(2)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，所以|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，所以cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(6),6).即eq\o(BD1,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq\f(\r(6),6).eq\a\vs4\al()(1)空间向量数量积计算的两种方法①基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题①a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0.②|a|＝eq\r(a2).③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).[通关练习]1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2 B．－eq\f(14,3)C.eq\f(14,5) D．2解析：选D.由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求a和b夹角的余弦值；(2)设|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c的坐标．解：(1)因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1＋0＋0＝－1，|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(5)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10).(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1，2)．设c＝(x，y，z)，因为|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\r(x2＋y2＋z2)＝3，存在实数λ使得c＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2λ，,y＝－λ，,z＝2λ，))联立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1，,z＝2，,λ＝1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，,z＝－2，,λ＝－1，))所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点．高考对空间向量解决此类问题常有以下两个命题角度：(1)证明平行问题；(2)证明垂直问题．[典例引领]角度一证明平行问题如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：(1)PB∥平面EFG.(2)平面EFG∥平面PBC.【证明】(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．法一：eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(1，2，－1)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＋2y－z＝0，))令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，因为eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，0，－2)，所以eq\o(PB,\s\up6(→))·n＝0，所以n⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，因为PB?平面EFG，所以PB∥平面EFG.法二：eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，0，－2)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝(0，－1，0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1，1，－1)．设eq\o(PB,\s\up6(→))＝seq\o(FE,\s\up6(→))＋teq\o(FG,\s\up6(→))，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,t－s＝0，,－t＝－2，))解得s＝teq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FG,\s\up6(→))，又因为eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(FG,\s\up6(→))不共线，所以eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(FG,\s\up6(→))共面．因为PB?平面EFG，所以PB∥平面EFG.(2)因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，2，0)，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))，所以BC∥EF.又因为EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG，所以平面EFG∥平面PBC.角度二证明垂直问题如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AMAMC⊥平面BMC.【证明】(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)．于是eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，3，4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－8，0，0)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即AP⊥BC.(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5)，\f(12,5)))，又eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－4，－5，0)，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0，3，4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BM,\s\up6(→))，即AP⊥BM，又根据(1)的结论知AP⊥BC，所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.又AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.eq\a\vs4\al()(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系；④根据运算结果解释相关问题．(2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．①线线平行l∥m?a∥b?a＝kb?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.②线线垂直l⊥m?a⊥b?a·b＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.③线面平行(l?α)l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.④线面垂直l⊥α?a∥u?a＝ku?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.⑤面面平行α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4.⑥面面垂直α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.[通关练习]1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析：选B.因为正方体棱长为a，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1B,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→)).又因为CD是平面B1BCC1的法向量，且eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(B1B,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(B1C1,\s\up6(→))))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，又MN?平面B1BCC1，所以MN∥平面B1BCC1.2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，eq\o(C1N,\s\up6(→))＝λeq\o(NC,\s\up6(→))，且AB1⊥MN，则λ的值为________．解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，B1(－eq\f(1,2)，0，2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，2))，M(0，0，0)，设Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，t))，因为eq\o(C1N,\s\up6(→))＝λeq\o(NC,\s\up6(→))，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(2,1＋λ)))，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，2))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(2,1＋λ))).又因为AB1⊥MN，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝0.所以－eq\f(1,4)＋eq\f(4,1＋λ)＝0，所以λ＝15.答案：153．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直．如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，P(0，0，a)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2))).eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，a，0)．因为eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，从而得EF⊥CD.(2)假设存在满足条件的点G，设G(x，0，z)，则eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))，若使GF⊥平面PCB，则由eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(a，0，0)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))＝0，得x＝eq\f(a,2)；由eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(0，－a，a)＝eq\f(a2,2)＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(a,2)))＝0，得z＝0.所以G点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0))，故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点．eq\a\vs4\al()建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直．(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．易错防范(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别．(2)共线向量定理中a∥b?存在唯一的实数λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0.(3)在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))①证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在面ABC内(因为①式只表示eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共面)．(4)找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角．(5)a·b<0不等价为〈a，b〉为钝角，因为〈a，b〉可能为180°；a·b>0不等价为〈a，b〉为锐角，因为〈a，b〉可能为0°.1.已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up6(→))，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)(b＋c－a)B.eq\f(1,2)(a＋b＋c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c)D.eq\f(1,2)(c－a－b)解析：选D.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a－b)．2．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于()A.eq\f(62,7) B．9C.eq\f(64,7) D.eq\f(65,7)解析：选D.由题意知存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)，由此得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7＝2x－y，,5＝－x＋4y，,λ＝3x－2y.))解得x＝eq\f(33,7)，y＝eq\f(17,7)，所以λ＝eq\f(99,7)－eq\f(34,7)＝eq\f(65,7).3．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，则λ的值为()A．±eq\f(\r(6),6) B.eq\f(\r(6),6)C．－eq\f(\r(6),6) D．±eq\r(6)解析：选C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，cos120°＝eq\f(λ＋λ,\r(1＋2λ2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，得λ＝±eq\f(\r(6),6).经检验λ＝eq\f(\r(6),6)不合题意，舍去，所以λ＝－eq\f(\r(6),6).4．已知四边形ABCD满足：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))>0，eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))>0，eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0，则该四边形为()A．平行四边形 B．梯形C．长方形 D．空间四边形解析：选D.由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))>0，eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))>0，eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0，知该四边形一定不是平面图形．5．(2018·唐山统考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))1，N为B1B的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|为()A.eq\f(\r(21),6)a B.eq\f(\r(6),6)aC.eq\f(\r(15),6)a D.eq\f(\r(15),3)a解析：选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2))).设M(x，y，z)，因为点M在AC1上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，所以(x－a，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，a－y，a－z)，所以x＝eq\f(2,3)a，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3).所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(21),6)a.6．已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a、b、c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))＝________．解析：如图所示，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c－a)．答案：eq\f(1,2)(b＋c－a)7.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值为________．解析：设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝eq\f(π,3)，且|b|＝|c|，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝eq\f(1,2)|a||c|－eq\f(1,2)|a||b|＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.答案：08．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4，2，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正确的是________．解析：因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))不平行，所以eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则③正确．因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3，4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AP,\s\up6(→))不平行，故④错．答案：①②③9．已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b？(O为原点)解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋（－5）2＋52)＝5eq\r(2).(2)令eq\o(AE,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，则eq\o(OE,\s\up6(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5).所以－3＋t＝－eq\f(6,5)，－1－t＝－eq\f(14,5)，4－2t＝eq\f(2,5)，因此存在点E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，此时E点的坐标为(－eq\f(6,5)，－eq\f(14,5)，eq\f(2,5))．10．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝eq\r(3)，且a分别与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，求向量a的坐标．解：(1)由题意可得：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|))＝eq\f(－2＋3＋6,\r(14)×\r(14))＝eq\f(7,14)＝eq\f(1,2).所以sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),2)，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝2×eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝14×eq\f(\r(3),2)＝7eq\r(3).(2)设a＝(x，y，z)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋z2＝3，,－2x－y＋3z＝0，,x－3y＋2z＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，,z＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，,z＝－1，))所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．1．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为()A．(1，1，1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))解析：选C.设M点的坐标为(x，y，1)，因为AC∩BD＝O，所以Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，又E(0，0，1)，A(eq\r(2)，eq\r(2)，0)，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x－eq\r(2)，y－eq\r(2)，1)，因为AM∥平面BDE，所以eq\o(OE,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)＝－\f(\r(2),2)，,y－\r(2)＝－\f(\r(2),2)，))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(\r(2),2)，))所以M点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).2．已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，给出下列四个命题：①(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③向量eq\o(AD1,\s\up6(→))与向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角是60°；④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|.其中正确命题的序号是________．解析：①中(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝eq\o(A1A,\s\up6(→))2＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))2＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2，故①正确；②中eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，故③不正确；④中|eq\o(AB,\s\u