高一数学教案（集合｜函数）

高一数学教案

【集合、函数教案】

目录

第一章集合与简易逻辑.....................................................................1

1.1集合................................................................................1

习题精选.................................................................................15

1.2子集、全集、补集....................................................................19

习题精选.................................................................................26

1.3交集、并集..........................................................................29

习题精选...............................................................................41

1.4含绝对值的不等式....................................................................42

习题精选.................................................................................49

1.5一元二次不等式的解法................................................................53

习题精选.................................................................................61

1.6逻辑联结词..........................................................................65

习题精选.................................................................................73

1.7四种命题............................................................................77

习题精选.................................................................................90

1.8充分条件与必要条件..................................................................95

习题精选................................................................................104

第二章函数.................................................................................109

2.1映射................................................................................109

习题精选................................................................................114

2.2函数................................................................................117

习题精选................................................................................126

2.3函数单调性与奇偶性.................................................................132

习题精选................................................................................138

2.4反函数..............................................................................143

习题精选................................................................................149

2.5指数................................................................................154

习题精选................................................................................162

2.6指数函数...........................................................................164

习题精选................................................................................175

2.7对数................................................................................176

习题精选................................................................................186

2.8对数函数...........................................................................188

习题精选................................................................................196

2.9函数的应用举例.....................................................................198

习题精选................................................................................205

1.1集合

第一章集合与简易逻辑

1.1集合

教学目标

(1)初步理解集合的概念，掌握其记法及表示方法，掌握常用数集的符号，了解空集概念并掌握其符号；

(2)了解集合中元素的概念，初步了解“属于"关系的意义：

(3)理解集合中元素的确定性、互异性，了解集合中元素的无序性；

(4)初步了解有限集、无限集、空集的意义；

(5)会用集合、元素等知识表示简单集合的有关问题：

(6)渗透数学是来源实践反过来乂指导实践的辨证唯物主:义观点.

教学建议

一、知识结构

本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说

明.然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子.

二、重点难点分析

这•节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确衣示•些简单的集合.这•节的

特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键.为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判

断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法.

1.关于牵头图和引言分析

章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这

个实际问题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化.•方面提高用数学的意识，•方面说明集合和简易逻辑知识

是高中数学重要的基础.

2.关于集合的概念分析

点、线、面等概念都是儿何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.

初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集

合”等等.在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有•个初步认识.教科书给出的“•般地，某些指定的对

象集在•起就成为个集合，也简称集.”这句话，只是对集合概念的描述性说明.

我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空

想象出来的，而是来自现实世界.

3.关于自然数集的分析

教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意.

新的国家标准定义自然数集N含元素0,这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，以便早日

与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0,1,2,…，9｝中最小的数，有了0,减法运算。一。仍属于自然数，其中春因

此要注意几卜.几点：

(1)自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0：

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1.1集合

（2）自然数集内排除0的集，表示成N*或N*,其他数集｛如整数集Z、有理数集Q、实数集R）内排除0的集，也

可类似表示丁，0,凡；

（3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如肥，二"…不再适用.

4.关于集合中的元素的三个特性分析

集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这•集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。

集合中的元素常用小写的拉丁字母…表示.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作。€人；否则,

就说a不属于A,记作60月

要正确认识集合中元素的特性：

（1）确定性：aw/和＜1任4,二者必居其一.

集合中的元素必须是确定的.这就是说，给定个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出

集合｛地球上的四大洋｝,它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其他对象都不用于这个集合.如果说“由接近后

的数组成的集合”，这里“接近垂的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合.

（2）互异性：若364，beA,则3=力

集合中的元素是互异的.这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个.例如方程

有两个重根维T,其解集只能记为｛1｝,而不能记为｛1,1｝.

（3）无序性：｛a,b｝和｛4a｝表示同一个集合.

集合中的元素是不分顺序的.集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（1,0）和点（0,1）表示不同

的两个点，而集合｛1,0｝和｛0,1｝表示同一个集合.

5.要辩证理解集合和元素这两个概念

（1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系.例如

ge02司的写法就是错误的，而,⑶的写法就是正确的.

（2）一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元索就是这些对象的全体，而非个别现象.例如对于集合

[*=尺|*々4,就是指所有不小于o的实数，而不是指，，工可以在不小于。的实数范围内取值”，不是指“工是不小于

o的一个实数或某些实数，”也不是指“工是不小于。的任一实数值”……

（3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件.

6.表示集合的方法所依据的国家标准

本小节列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准如下的规定.

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1.1集合

符号应用意义或读法备注及示例

C-J(巧诸元素巧•巧构成也可用这里的I表示指标集

的集

例：昨45},如果从前后关系来

{rE4X^)使命题为真的A中

诸元素之集

看，集A已很明确，则可使用来

表示，例如体49

此外，人"后)有时也可写成册叨或(zeAXxrt

7.集合的表示方法分析

集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法.它们各有优点.用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析.

(1)有的集合可以分别用三种方法表示.例如“小于：的自然数组成的集合”就可以表为：

①列举法：

②描述法：

③图示法：如图i.

(2)有的集合不宜用列举法表示.例如“由小于丁的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集

合中的元素一一列举出来，但这个集合可以这样表示：

①描述法：依即

②图示法：如图2.

(3)用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例

如：

曜中的元素是工，它表示函数/■右中自变量的取值范围，即&0碓20)；

①集合

②集合1r€出■")中的元素是：一，它表示函数值。的取值范围，即卜€及32°)；

③集合k”)*返)中的元素是点区»它表示方程厂石的解组成的集合，或者理解为表示曲线

y上的点组成的集合;

6.词中的元素只有一个，就是方程/它是用列举法表示的单元素集合.

④集合

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1.1集合

实际上，这是四个完全不同的集合.

列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能

将无限集中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定.

8.集合的分类

含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示.

含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示.

图2

9.关于空集分析

不含任何元素的集合叫做空集，记作0.空集是个特殊的集合，除了它本身的实际意义外，在研究集合、集合的运

算时，必须予以单独考虑.

教学设计方案

集合

知识目标：

(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法

(2)使学生初步了解“属于"关系的意义

(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

能力目标：

(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

(3)通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；

德育目标：

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1.1集合

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新

的精神。

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法一列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；

2.教材中的章头引言；

3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)：

4.“物以类聚”，“人以群分”；

5.教材中例子(P,)。

二、讲解新课：

阅读教材第一部分，问题如下：

(1)有那些概念？是如何定义的？

(2)有那些符号？是如何表示的？

(3)集合中元素的特性是什么？

(-)集合的有关概念(例子见书)：

1、集合的概念

(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2、常用数集及记法

(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合。记作N

(2)正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N•或N.

(3)整数集：全体整数的集合。记作Z

(4)有理数集：全体有理数的集合。记作Q

(5)实数集：全体实数的集合。记作R

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1.1集合

注:

(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

(2)非负整数集内排除0的集。记作N•或N.、Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排

除0的集，表示成Z*

3、元素对于集合的隶属关系

(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作adA；

(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作

4、集合中元素的特性

(1)确定性：

按照明确的判断标准给定个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

(2)互异性：

集合中的元素没有重复。

(3)无序性：

集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)

注：

1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“G”的开口方向，不能把aGA颠倒过来写。

练习题

1、教材Ps练习

2、下列各组对象能确定一个集合吗？

(1)所有很大的实数。(不确定)

(2)好心的人。(不确定〉

(3)1,2,2,3,4,5.(有重复)

阅读教材第二部分，问题如下：

1.集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？

2.有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举•例。

(-)集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内衣示集合的方法。

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1.1集合

例如，由方程X,-1-0的所有解组成的集合，可以表示为｛-I,1｝.

注：(1)有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：｛51,52,53,100｝

所有正奇数组成的集合：｛1,3,5,7,­••｝

(2)a与｛a｝不同：a表示一个元素，｛a｝表示一个集合，该集合只有一个元素。

描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：｛xCA|P(x)｝

含义：在集合A中满足条件P(x)的x的集合。

例如，不等式*-3乂的解集可以表示为：1“€用*-3>25或(*|“一3>2｝

所有直角三角形的集合可以表示为：金直角二角粉

注：(1)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

如：｛直角三角形);(大于10'的实数｝

(2)错误表示法：｛实数集｝;｛全体实数｝

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

注：何时用列举法？何时用描述法？

(1)有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合［己立+2.51/—-、用

(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合KAJOIJ-*'+D：集合｛1000以内的质数｝

注：集合《2)1，・+D与集合5)-,+°是同一个集合吗？

答：不是。

集合"r+D是点集，集合01)2D是数集.

(三)有限集与无限集

1、有限集：含有有限个元素的集合。

2、无限集：含有无限个元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。记作中，如：|J2+1-01

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1.1集合

练习题:

1、Pe练习

2、用描述法表示下列集合

①{1,4,7,10,13}

②{-2,-4,-6.-8,-10)(x|x--2j«(jceNSJV«5)

3、用列举法表示卜列集合

①{xdNlx是15的约数}(1,3,5,15}

(§){(x,y)|xe{l,2},ye{112}}{(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)}

注：防止把{(1,2)}写成{1,2}或{x=l,y=2}

1(2)1吗「软

③

⑤15j0|3x+".l6.xwMye劭{©8)⑵5),(4,2)}

⑥A与嘱是＜的正施1殛数)

{(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)}

三、小结:

本节课学习了以下内容:

1.集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）

2.集合的表示方法：（列举法、描述法、文氏图共3种）

3.常用数集的定义及记法

四、课后作业：教材P?习题1.1

五、板书设计：

课题（二）例题：2.

・、知识点1.

（一）

六、课后反思:

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1.1集合

本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手:

(1)元素是什么？

(2)确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。

悖论

悖论就是自相矛盾的命题，如果承认它是正确的，则可以推出它是错误的。而如果承认它是错误的，乂能推出它是正确

的。

也许你会说，哪里会有这样的事呀!如果真是这样，世界还不闹得一团糟!让我们看一看下面这个小问题，你就会明白了。

在一个村子里，只有一位理发师。他为自己定下了这样一条规矩：“我只为那些不给自己刮胡子的人刮胡子”。那么理发师

是否给自己刮胡子呢？

现在我们假设理发师可以给自己刮胡子，那么他就成“给自己刮胡子的人”。而按照他的规矩是不能给“自己刮胡子的

人”刮胡子的，所以他不能给自己刮胡子。反之，如果理发师不给自己刮胡子，他就成为“不给自己刮胡子的人”。而按规

矩他应该给“不自己刮胡子的人”刮胡子，因此他又应该给自己刮胡子。自作聪明的理发师，为自己制定了进退两难的规矩。

也许你会问，这是怎么回事?事实上，这个问题也不是我的发明。它是由19世纪数学家希尔伯特提出的著名的“理发师

悖论”。这一悖论的提出，指出康托尔集合论的理论基础的不足之处，促进了集合论的发展。所以悖论的提出并不可怕，它

只是表明数学理论的基础缺乏完备性。只要完善理论基础，就可以避免悖论的产生。

康托尔

Kangtuoer康托尔,G.(F.P.)

GeorgFerdinandPhilipCantor(1845~1918)

德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡(今苏联列宁格勒)，1918年1月6日病逝于哈雷。其

父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,

主修数学，从学于E.E.库默尔、K.(T.W.)外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔

指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879

年任教授。

大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅

鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列(即柯

西序列)定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探

索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。

1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整

数建立一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于切实代数数的-个性质》中证明了他的估计，并且

指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关

系作为对无穷集合分类的准则。

在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点

集有无一一对应。经过三年多的探索，1877年他证明了口维形体的点和线上的点可以有一一对应。他说，“我见到了，但

我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦―雷蒙和克罗内克都反对，

而戴德金早在1877年7月就看到，不同维数空间的点可以建立不连续的•对应关系，而不能有连续的•对应。此问题直

第9页共207页

1.1集合

到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。

康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集

的特征。

康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879〜1884年发表的题为《关于无穷线性

点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。

他定义了个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定

理(每一集合都能被良序)，但未给出证明。

在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的墓集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包

含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但

他始终未能给出。

19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已

经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到

了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了

详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世

纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。

他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。

(王宪钧)

康托尔定理中所存在的不足

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文章作者：［胡思之］

康托尔先生无疑是有史以来最伟大的数学家之一，其一一对应概念为集合论在数学上的立足开辟了新的天地，凡以集合

论为进取目标的人，无不以康托尔先生为鼻祖，鄙人亦不例外。

然后，作为康托尔学说的信徒，若盲目对待康托尔先生的每一论点，则是裹足不前的表现，显然是有愧了信徒之称呼。

故而，在以集合论为工具批判数论中所存在的谬论之同时，也不得不指出在集合论中，同样存在着不足之处，此不足之处就

是著名的康托尔定理。

与数论中的谬误相比，康托尔定理不存在逻辑性的错误，其只是不曾将极限引入定理之中。但是，正是由于此一失误，

造成数学史上最大的混乱，使之不能正确定位基数的序列，引成了数学中的公理化之缺陷。

那么，康托尔定理究竟所指何谓？问题之前必须对集合及其辕集合的概念作一解释。如果我们以A表示为某一集合，以

P(A)表示A的某集合，就是说若集合A中有三个元素：｛1,2,3),则嘉集合p(A)中就有元素：⑴、｛2｝、｛3｝、｛1,2｝、｛1,3｝、

｛2,3｝、｛1,2,3｝、｛<!>｝等八个元素。一般而言，集合A中若有元素n个，则其舞集合p(A)就有元素2~n个。

集合与其幕集合之间的关系•目了然，集合中的元素比其嘉集合中的元素少，这是一个不争的事实。但是，康托尔先生

将其引伸到了集合的基数上，从而有了著名的康托尔定理：

“定理8：对于任一集合S,都有S"<p(S),z.

证明：对于任一xCS,令f(x)=｛x｝.由于当x_l#x于时,有｛x_l｝¥｛x_2｝,即f(x」)¥f(x_2),所以f就是S—p(S)

的•内射函数。因此S"Wp(S)"。下面，我们来证明这个等号是不能成立的。

假定不然，即存在一双射函数W：Sfp(S)。对于任一xGS,v(x)Gp(S),即w(x)是S的子集。当然我们可以问这一x

属于w(x)吗？•般说来，可能是xew(x)成立，也可能是x\e(x)成立。令SJ)为所有使得x\ew(x)的那些元x所组成,

亦即S_0:=｛x|x\ew(x)八xes｝.(4.5)显然S_0是S的一子集合。因为w是一双射函数，所以在S中必有一元素y使得

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1.1集合

S_O=w(y)。因此，我们可以提出yeS_O是否成立这样一个问题。按照通常逻辑的排中律，yes0或y\wS.O,两者必居其

Q

若yVSO,由(4.5)式得到y\ew(y)。但是，由y的定义，S_O=w(y),所以y\eS_O；若y\wSO,由S_O=w(y),

得到y\G(y),但是，由(4.5)式，yCS_O。

这样，不管y是否属于S_0,都要导出矛盾。因此，这样的双射函数W是不存在的，亦即证明了定理8。”(见张锦文著《集

合论与连续统假设浅说》第四章第四节康托尔定理。第48页到第四49页)。

在上述定理中，以符号”表示集合的基数，以符号“\右”表示不属于。

诚然，当集合A是有限元素的集合时，A-p(A)的内射函数是同态映射的，既然是同态映射，则必不是--对应，否则就成

了同构映射。然而，当集合A为无穷集合时，情况就未必如此。

我们知道，自然数集N的骞集合之基数等价于实数集R的基数，是所知的基数中唯一大于可数集基数的集合。若根据康

托尔定理，则实数集R的第集合之基数也有大于实数集R的基数。但是，根据选择公理，对实数集R的某集合进行商集化分

割，其良序化之链与实数集R的良序化之链却是一样的。

根据实数集R的基数等价于自然数集N的某集合，因此，我们可以将实数集R中的所有的点同构映射于自然数集N的嘉

集合上。于是，实数集R的零集合也就是等价于自然数集N的备集合之事集合。

分割自然数集N的黑集合中的元素，使之每一元素属于且仅属于某一商集化子集。按照自然数集N的元素可知，自然数

集N的零集合由自然数的组合而成。例如，有｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛1,2｝、｛1,3｝、｛2,3｝、...等。则其商集化子集可按自然数

1、2、3、...等来分割，其最小元素集即其良序化之链乃是自然数列。

对于自然数集N的富集合之事集合，用商集合的概念进行分割，其最小元素集依然可以用自然数1、2、3.....因为

自然数集N的累集合之基集合，依旧是由自然数组合的。所以其良序化之链依旧是自然数列。

由于自然数集N的事集合与自然数集N的寤集合之用集合，都是无穷集合，其商集化子集中的元素也都具有无穷多个元

素。因此，根据集合论的一一对应概念，用商集化概念来分割这两个集合，其元素完全可以一一对应。所以，两个集合的基

数是相同的。

从自然数集N的累集合与自然数集N的嘉集合之嘉集合具有相同的基数中可知，康托尔定理只是将有限集时集合与其幕集合

不能一一对应的情况，错误地应用于基数上，而没有考虑到对无穷集合的分割其商集化子集有极限存在。

胡思之写于00-07-05.23:04

康托尔与集合论

康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。

19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争

论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概

念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻

辑。

1.康托尔的生平

1845年3月3日，乔治•康托生于俄国的•个丹麦一犹太血统的家庭。1856年康托和他的父母•起迁到德国的法兰克

福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促

他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托很早

就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。

他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。1874年康托在克列勒的《数

学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文

章的创造性引起人们的注意。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他•直在这方面发表论文直到1897

年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续

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1.1集合

影响着他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。

2.集合论的背景

为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。

集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无

穷大这些无穷概念。在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷

概念在数学中信誉扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以

及无穷级数的理论。正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯西并没

有彻底完成微积分的严密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑

矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯

粹严密的算术的基础上。于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。在这一过程中，都涉及到对微积分

的基本研究对象一连续函数的描述。在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。因此，无限集合在数学上的存在问题

又被提出来了。这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论

产生的一个重要原因。

3.集合论的建立

康托在柏林大学的导师是外尔斯托拉斯，库曼和克罗内克。库曼教授是数论专家，他以引进理想数并大大推动费马大定

理的研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是

一位大数学家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。例如，微积分中著名的观念就是他首先引进的。正是由

于这些人的影响，康托对数论较早产生兴趣，并集中精力对高斯所留卜.的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于++=0

的素数问题的。这是高斯在《算术研究》中提出而未解决的问题。这片论文写得相当出色，它足以证明作者具有深刻的洞察

力和对优秀思想的继承能力。然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于早期对数论的研究。相反，他很快接受了数学家

海涅的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题:任意函数的三角级数的表达式是否唯一？

对康托来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。函数可用三角级数表示，最早是1822年傅立叶提出来的。此后对

于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的

研究，并且都在一定程度上与集合这概念挂起了钩。这就为康托最终建立集合论创造了条件。1870年，海涅证明，如果

表示一个函数的三角级数在区间中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一

的。至于间断点的函数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。于，他跨出

了集合论的第一步。

康托一卜.子就表现出比海涅更强的研究能力。他决定尽可能多地取消限制，当然这会使问题本身增加难度。为了给出最

有普遍性的解，康托引进了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后发表了五篇有关这一题目的文章。1872年当康托将

海涅提出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况时，他已经将唯一性结果推广到允许例外值是无穷集的情

况。康托1872年的论文是从间断点问题过度到点集论的极为重要的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。

集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。

而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展。早在中世

纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然

而两圆的周长是不一样的。16世纪，伽俐略还举例说，可以在两个不同长的线段ab与cd之间建立一一对应，从而想象出

它们具有同样的点。

他乂注意到正整数可以和它们的平方构成―对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了：

1234.........n2...........

]22?32••••••n?••••••

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1.1集合

但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽俐略以为这是不可能的.因为所有无穷大都一样大。不仅是伽俐略，在康托之

前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾.高斯明确表态：“我反

对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的。无穷只是一种说话的方式……”柯西也不承认无穷集合的存在。

他不能允许部分同整体构成一一对应这件事。当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。

数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。康托把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，

说服大家。康托认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。

对康托来说，如果一个集合能够和它的一部分构成•一对应，它就是无穷的。它定义了基数，可数集合等概念。并且证明了

实数集是不可数的代数数是可数的.康托最初的证明发表在1874年的一篇题为《关