2021年上海市高考数学试卷

n12323n12323年上海市考数学卷（文）一、填题（本大题有14题，满分56分，考生在答题相应编号的格内直截当填写结果每个空填对得4分，否则一律得零1分）不等式＜0的解为．2分）在等差数列{}中，若a+a+a+a=30，则a+a=

．3分）设∈R，m2+m2+（m2﹣1i是纯虚数，其中是虚数单位，则．m=．4分）已知，，则y=5分）已知△ABC的内角A，，C所对的边分别是，b，，若2=0则角C的大小是．c

+abb2

﹣6分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7分）设常数a∈，若（x2+）5的二项展开式中7项的系数为﹣10，则a=

．8分）方程

的实数解为．9分）若cosxcosy+，则cos（﹣）=

．10分）已知圆柱的母线长为l，底面半径为rO是上底面圆心，，是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图，若直线与BC所成角的大小为，则=

．11分）盒子中装有编号为1，23，，56，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）12分设AB是椭圆Γ的长轴C在Γ上且∠CBA=则Γ的两个焦点之间的距离为．

若

，13分）设常数a＞若9x+

对一切正实数x成立，则的取值范畴为．14分）已知正方ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向1/17

n112nn112n量分别为；以C为起点其点别为，若i，，，∈{，，，且i≠，≠l，则的最小值是．二、选题（本大题有题，满20分）每题有且有一个确答案，考应在答纸的相应编上，将表答案的小格涂黑选对得分，否则律得零分15分）函数fx）=x

﹣1（x≥的反函数为f

﹣1

（xf

﹣1（的值是（）A．

B．

．1+

D116）设常数∈R，集合A={（x﹣﹣）≥0，{x|x≥﹣1，若A∪B=R，则a的取值范畴为（）A∞，2）﹣∞，2]∞）D．[2，+∞）17分）钱大姐常说好货不廉价”她这句话的意思是：好货”“廉价”的（）A．充分条件

B．必要条件．充分必要条件18分）记椭圆

D既非充分又非必要条件围成的区域（含边界）为Ω（n=1，2…当点xy）分别ΩΩ…上时x+的最大值分别是MM…则（）

M=A．0B．

．2D2三、解题（本大题有5题满分分）解答列各题必须答题纸应编号的规区域内写出要的步19分）如图，正三棱锥﹣ABC的底面边长为2，为1求该三棱锥的体积及表面积．20分）甲厂以千克/小时的速度匀速生产某产品（生产条件要求x≤10一小时可获得的利润是100（+1﹣）元．2/17

+nn1123411231112n112+nn1123411231112n112121211221212（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21分）已知函数x）=2sin（ωx中常数0（Ⅰ）令ω=1，判定函数

的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）ω=2，将函数（x）的图象向左平移

个单位，再向上平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．22分）已知函数x）x|，无穷数列{a}满足a=f（N*（1）若a=0求a，a，a；（2）若a＞0且a，，a成等比数列，求a的值（3）是否存在，使得，，，，成等差数列？若存在，求出所有如此的a，若不存在，说明理由．23分）如图，已知双曲线：，曲线C：|y=|x|+1P是平面内一点，若存在过点P的直线与C，C都有公共点，则称P为“C﹣C型点”（1）在正确证明的左焦点是C﹣C型点“，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条如此的直线的方程（不要求验证（2设直线y=kx与C有公共点求证k|＞进而证明原点不是“C﹣C型点”；（3）求证：圆x2

+y2

=内的点都不是“C﹣C型点”年海高数试（科参考答案与试题解析一、填题（本大题有14题，满分56分，考生在答题相应编号的格内直截当填写结果每个空填对得4分，否则一律得零1分）不等式＜0的解为

0＜x＜．【分析依照两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．3/17

n12323123n1232312323npqt【解答】解：原不等式化为

或，解得：0＜x＜，故答案为：0＜x＜【点评题考查了其他不等式的解法用了转化的思想是一道差不多试题．2分）在等差数列{}中，若a+a+a+a=30，则a+a=15．【分析依照给出的数列是等差数列由等差数列的性质可得a+a=a+a结合已知条件可求a+a．【解答】解：因为数列{a}是等差数列，依照等差数列的性质有：a+a=a+a，由a+a+a+a=30，因此，a+a）=30，则a+a=15．故答案为：15．【点评】本题考查了等差中项念，在等差数列中，若m，p，tN*，且m+n=p+q=2t则a+=a+a=2a，此题是基础题．3分）设∈R，m2+m2+（m2﹣1i是纯虚数，其中是虚数单位，则m=

﹣2

．【分析】依照纯虚数的定义可得m﹣1=0，m﹣1≠0由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2

+m﹣2（m﹣1）为纯虚数，∴m2

+m﹣2=0，2

﹣10，解得m=﹣，故答案为：﹣2．【点评】本题要紧考查复数的差不多概念，得到m题的关键，属于基础题．．4分）已知，，则y=1

+m﹣2=0，m2

﹣≠0，是解【分析利用二阶行列式的运算法则由写出的式子化简后列出方程直截了当求解y即可．【解答】解：由已知因此x﹣，﹣y=1因此x=2，y=1

，，4/17

故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题．5分）已知△ABC的内角A，，C所对的边分别是，b，，若2+abb2﹣c

=0则角C的大小是．【分析】利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用专门角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2++﹣c2=0即a2+2﹣c2=﹣ab∴cosC===﹣，∵C为三角形的内角，∴C=

．故答案为：【点评此题考查了余弦定理以及专门角的三角函数值熟练把握余弦定理是解本题的关键．6分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．【分析设该年级男生有x人女生有y人这次考试该年级学生平均分数为，依照平均成绩×人=总成绩”别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而依“男生的总成绩+女生的总成绩全班的总成绩”出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生x人，女生y人，这次考试该年级学生平均分数为a．依照题意可知：75x+80y=（+y）×a，且

=40%．因此a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题要紧考查了平均．解答此题的关键：设该班男生x人，女生有y人，依照平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解5/17

r155553333r155553333决问题．．7分设常数a（x2﹣2

+5

的二项展开式中7

项的系数为﹣10则a=【分析利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第+1项，x的指数为7求得x7

的系数，列出方程求解即可．【解答】解：令10﹣3r=7得r=1

的展开式的通项为T=Crx﹣2r（）r=Cr3rar+∴x∵x

的系数是aC1的系数是﹣10∴aC1

=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评本题要紧考查了二项式系数的性质二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8分）方程

的实数解为

log4

．【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值．【解答】解：令t=3

x（＞0则原方程可化为1）=9（0）∴t1=3，，即4可满足条件即方程

的实数解为log4．故答案为：log4．【点评本题考查的知识点是根的存在性利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范畴的判定．9分）若cosxcosy+，则cos（﹣）=

﹣．【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将（x﹣）的值代入运算即可求出值．6/17

【解答】解：∵+sinxsiny=cosx﹣）=，∴cos（2x﹣）=cos2（x﹣y）=2cos（x﹣）﹣1=．故答案为：﹣．【点评此题考查了两角和与差的余弦函数公式二倍角的余弦函数公式熟练把握公式是解本题的关键．10分）已知圆柱的母线长为l，底面半径为rO是上底面圆心，，是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图，若直线与BC所成角的大小为，则=

．【分析】过作与BC平行的母线AD由异面直线所成角的概念得到∠为．在直角三角形ODA中，直截了当由

得到答案．【解答】解：如图，过作与平行的母线AD，连接OD，则∠为直线OA与BC所成的角，大小为

．在直角三角形ODA中，因为

，因此．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．11分）盒子中装有编号为1，23，，56，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是

（结果用最简分数表示）【分析从7个球中任取2个球共有数、一奇一偶两种情形，有式即可求得答案．

=21种两球编号之积为偶数包括均为偶=15种取法，利用古典概型的概率运算公【解答】解：从7个球中任取2个球共有

=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数一奇一偶两种情形共有种取法，

=15因此两球编号之积为偶数的概率为：

=．7/17

故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率运算公式，属基础题，其运算公式为：A）=

，其中nA）为事件所包含的差不多事件数，m为差不多事件总数．12分设AB是椭圆Γ的长轴C在Γ上且∠CBA=

若

，则Γ的两个焦点之间的距离为．【分析】题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标再依照点C在椭圆上求得b值最后利用椭圆的几何性质运算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为由题意知，2a=4，a=2．

，∵∠CBA=

，BC=

，∴点C的坐标为（﹣11因点C在椭圆上，∴

，∴b2

=，∴c

=a

﹣b2

=4﹣=，c=

，则Γ的两个焦点之间的距离为

．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．13分）设常数a＞若9x+畴为[，+∞）．

对一切正实数x成立，则的取值范【分析由题设数a0若9x+

对一切正实数x成立可转化（9x+

）≥a+1利用差不多不等式判定出9x+解之即可得到所求的范畴8/17

≥6a，由此可得到于a的不等式，

minmin【解答】解：常a＞0若+≥a+1又9x+≥6a，当且仅当9x=

≥a+1对一切正实数x成立，故9x+），即x=时，等号成立故必有6aa+1解得a故答案为[，+∞）【点评本题考查函数的最值及利用差不多不等式求最值本题是差不多不等式应用的一个专门典型的例子14分）已知正方ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点其点别为，若i，，，∈{，，，且i≠，≠l，则的最小值是﹣5

．【分析如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量别为分别为向量的坐标运算运算

，，

，，

以C为起点，其余顶点为终点的向量．再分类讨论当，，，取不同的值时，利用的值，从而得出的最小值．【解答解妨记以A为起点其余顶点为终点的向量

分别为

，，C为起点余顶点为终点的向量图建立坐标系．

分别为

，，（1当i=1j=2k=1时则1，0）+（﹣1，﹣1）]﹣5（2当i=1j=2k=1时则1，0）+（﹣1）]﹣3（3当i=1j=2k=2时则1，﹣（0，﹣1）]﹣4；

=11•=11•=11•9/17

（4当i=1j=3k=1时则1，0）+（﹣1，﹣1）]﹣3同样地，当i，j，k，取其它值时，

=10•=﹣5﹣4或﹣3．则

的最小值是﹣5故答案为：﹣5．【点评本小题要紧考查平面向量坐标表示平面向量数量积的运算等差不多知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．二、选题（本大题有题，满20分）每题有且有一个确答案，考应在答纸的相应编上，将表答案的小格涂黑选对得分，否则律得零分15分）函数fx）=x

﹣1（x≥的反函数为f

﹣1

（xf

﹣1（的值是（）A．

B．

．1+

D1【分析依照反函数的性质求f2的问题能够变为解方程2=x2﹣（≥0【解答】解：由题意令2=x2解得x=

﹣1（≥0因此f

﹣1

（2）=

．故选：A．【点评本题考查反函数的定义解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题．16）设常数∈R，集合A={（x﹣﹣）≥0，{x|x≥﹣1，若A∪B=R，则a的取值范畴为（）A∞，2）﹣∞，2]∞）D．[2，+∞）【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出，求出满足两集合的并集为时的a的范畴；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a1时，同样求出集合A，列出关于的不等式，求出不等式的解集得到a的范畴．综上，得到满足题意的a范畴．10/17

n112nn112n【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1∪[，+∞[a﹣1∞若A∪B=R，则a﹣1，∴1＜a2当a=1时，易得A=R，现在A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，]∪[1∞[a1∞若A∪B=R，则a﹣a，明显成立，∴a＜1综上，a的取值范畴是（﹣∞，2]．故选：B．【点评此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练把握并集的定义是解本题的关键．17分）钱大姐常说好货不廉价”她这句话的意思是：好货”“廉价”的（）A．充分条件

B．必要条件．充分必要条件

D既非充分又非必要条件【分析】好货不廉价，其条件是：此货是好货，结论是此货不廉价，依照充要条件的定义进行判定即可，【解答】解：若p为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不廉价”其条件是：此货是好货，结论是此货不廉价，由条件结论．故“好货”“不廉价”的充分条件．故选：A．【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判定，属于基础题．18分）记椭圆

围成的区域（含边界）为Ω（n=1，2…当点xy）分别ΩΩ…上时x+的最大值分别是MM…则（）

M=A．0B．

．2D2【分析先由椭圆

得到那个椭圆的参数方程为：（θ11/17

nn为参数再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆椭圆的参数方程为：∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+）==∴M==2

．

．

得，（θ为参数故选：D【点评本题考查数列的极限椭圆的参数方程和最大值的求法解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．三、解题（本大题有5题满分分）解答列各题必须答题纸应编号的规区域内写出要的步19分）如图，正三棱锥﹣ABC的底面边长为2，为1求该三棱锥的体积及表面积．【分析】依照题意画出图形，结合正三棱锥O﹣的底面边长为2，高为由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积．【解答解O﹣ABC是正三棱锥其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积=

=

；设O′是正三角形ABC的中心，则OO⊥平面，延长AO交BC于则AD=

，O′D=

，又OO∴三棱锥的斜高OD=

，∴三棱锥的侧面积为×∴该三棱锥的表面积为

=2

，．【点评本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．20分）甲厂以千克/小时的速度匀速生产某产品（生产条件要求x12/17

≤10一小时可获得的利润是100（+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【分析）由题意可得生a千克该产品所用的时刻是小时，由于每一小时可获得的利润是（+1元即可得到生产a千克该产品所获得的利润；（2）利用（1）的结论可生产千克所获得的利润为90000（x≤进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解生产a千克该产品所用的时刻是小时，∵每一小时可获得的利润是（5x+1﹣∴获得的利润为（+1）×元．因此生产a千克该产品所获得的利润为100a5+（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+

）元．x≤．设f）=则f）=故获得最大利润为

，1≤x≤10．，当且仅当x=6取得最大值．=457500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．【点评】正确明白得题意和熟练把握二次函数的单调性是解题的关键．21分）已知函数x）=2sin（ωx中常数0（Ⅰ）令ω=1，判定函数

的奇偶性，并说明理由．（Ⅱ）ω=2，将函数（x）的图象向左平移

个单位，再向上平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上的零点个数的所有可能．13/17

+nn11234112311+nn1123411231112n12311【分析特值法：时，写出f（（x出F（

（﹣结合函数奇偶性的定义可作出正确判定；（2）依照图象平移变换求（x（x）=0可得（）可能的零点，a，a+10π恰含10个周期分a是零点a不是零点两种情形讨论结合图象可得（x）在[，a+10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解f（）=2sinx，F（x）=f）+fx+

）=2sinx+（+

）=2sinx+cosxF（）=2

，F（﹣

）=0F（﹣

）≠F（

（﹣）≠﹣F（因此，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）f（）=2sin2x，将（图象向左平移

个单位向上平移个单位后得到（+

）+1的图象，因此g（）=2sin2（x+

）+1令g（x）=0得x=k+

或x=k+

（k∈因为[a，a+10π恰含10个周期，因此，当a是零点时，在[a，a+10]上零点个数21，当a不是零点时，k（∈z）也都不是零点，间[+kπ，（+1）]上恰有两个零点，故在[a，a+10上有20个零点．综上，y=g（）在[a，a+10上零点个数的所有可能值为21或．【点评】题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判定，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（）问的关键22分）已知函数x）x|，无穷数列{a}满足a=f（N*（1）若a=0求a，a，a；（2）若a＞0且a，，a成等比数列，求a的值（3）是否存在，使得，，，，成等差数列？若存在，求出所有如此的a，若不存在，说明理由．【分析由题意代入式子运算即可；（2）把aa表示为a的式子，通过a的范畴进行讨论去掉绝对值符号，依14/17

1231132131111111123421132113111311121312131111111112311321311111111234211321131113111213121311111111nn12111m1+m1mmm11n121212112212照a，a，a成等比数列可得关于的方程，解出即可；（3）假设如此的等差数列存在，则，a，成等差数列，即2a=a+a，亦即2﹣a+|2a||=2|（形①当a＞2时②当0＜a≤2时③当a≤0时讨论，由（*）式可求得进行判定；③当a≤0时，由公差d2可得矛盾；【解答】解由题意，代入运算得=2，=0，=2；（2）a=2a|a，a=2﹣|a|=2﹣|2﹣a|，①当0＜a≤2时，a=2﹣（2﹣a）=a，因此，得a=1；②当a＞2时，a=2﹣a﹣2）=4﹣，因此综合①②得a=1或

，得．

（舍去）或．（3）假设如此的等差数列存在，那么a=2﹣|a|，a=2﹣|2﹣|a||，由2a=a+a得2﹣a+|2﹣|||=2a|（*以下分情形讨论：①当a＞2时，由（）得a=0与a＞2矛盾；②当0＜a≤2时，由（）得a=1，从而（n=1，…因此{a}是一个等差数列；③当a≤0时，则公差﹣a=（+2）﹣a=20因此存在m≥2使得a=a+2（m1＞现在d=a﹣a=2a|﹣a＜0，矛盾．综合①②③可知，当且仅当a=1时，a，a，，a，…成等差数列．【点评本题考查数列的函数特性等差关系等比关系的确定考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．23分）如图，已知双曲线：，曲线C：|y=|x|+1P是平面内一点，若存在过点P的直线与C，C都有公共点，则称P为“C﹣C型点”（1）在正确证明的左焦点是C﹣C型点“，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条如此的直线的方程（不要求验证（2设直线y=kx与C有公共点求证k|＞进而证明原点不是“C﹣C型点”；15/17

121221222121212211112122122212121221