2023年高考数学专题01函数的图象与性质教学案理

专题1函数的图象与性质【2023年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的根本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先〞．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种根本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，标准步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减〞的原那么；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．假设函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，那么其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于或易作出图象的函数；(3)根本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.高考题型1、函数的性质及其应用【例1】【2023北京，理5】函数，那么〔A〕是奇函数，且在R上是增函数 〔B〕是偶函数，且在R上是增函数〔C〕是奇函数，且在R上是减函数 〔D〕是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，应选A.【举一反三】【2023年高考四川理数】函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，那么=.【答案】-2【举一反三】(1)(2023·重庆卷)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,x＋3，x≤0.))假设f(a)＋f(1)＝0，那么实数a的值为()A．－3B．－1或3C．1D．－3或1(1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f(1)＝lg1＝0，所以f(a)＝0.当a>0时，那么lga＝0，a＝1；当a≤0时，那么a＋3＝0，a＝－3.所以a＝－3或1.【变式探究】(1)(2023·江西)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2023·浙江)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2，x≥0.))假设f(f(a))≤2，那么实数a的取值范围是________．【命题意图】(1)此题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．(2)此题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解．【方法技巧】1．函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的真数x＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y＝tanx中，x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．如果f(x)是由几局部的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各局部式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)假设函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)假设函数f(g(x))的定义域为[a，b]，那么f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型2、函数的图象及其应用【例2】【2023高考新课标1卷】函数在的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的根本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【举一反三】(1)(2023·四川卷)函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图象大致是()(2)函数y＝f(x)的图象如下图，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)，那么n的取值范围是()A.{3,4}B．{2,3,4}C．{3,4,5}D．{2,3}(1)答案：C解析：由3x－1≠0⇒x≠0，排除A；又∵x<0时，3x－1<0，x3<0，∴y＝eq\f(x3,3x－1)>0，故排除B；又y′＝eq\f(x2[3x3－xln3－3],3x－12)，当3－xln3<0时，x>eq\f(3,ln3)>0，y′<0，所以D不符合．应选C.(2)答案：B解析：eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx1－0,x1－0)表示(x1，f(x1))与原点连线的斜率；eq\f(fx1,x1)＝eq\f(fx2,x2)＝…＝eq\f(fxn,xn)表示(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))与原点连线的斜率相等，而(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(xn，f(xn))在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况．如下图，数形结合可得，有2,3,4三种情况，应选B.【变式探究】(1)假设函数f(x)＝(k－1)·ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，那么g(x)＝loga(x－k)的图象是()(2)(2023·山东)函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.假设方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，那么实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2)D．(2，＋∞)【命题意图】(1)此题主要考查函数的奇偶性，单调性的概念以及指数、对数函数的图象．(2)此题主要考查方程的根与函数的零点，意在考查考生的数形结合思想、化归与转化思想及运算求解能力．【方法技巧】1．关于判断函数图象的解题思路(1)确定定义域；(2)与解析式结合研究单调性、奇偶性；(3)观察特殊值．2．关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点(1)方程f(x)＝g(x)解的个数可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)交点的个数；(2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集为函数y＝f(x)位于y＝g(x)图象上方(下方)的那局部点的横坐标的取值范围．题型3、函数性质的综合应用例3、【2023山东，理10】当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，那么正实数的取值范围是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】当时，，单调递减，且，单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需选B.【变式探究】【2023天津，理6】奇函数在R上是增函数，.假设，，，那么a，b，c的大小关系为〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，那么，所以即，，所以，应选C．【举一反三】【2023年高考北京理数】设函数.①假设，那么的最大值为______________；②假设无最大值，那么实数的取值范围是________.【答案】，.【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比拟数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．【举一反三】(2023·全国卷Ⅰ)假设函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，那么a＝________.答案：1解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋eq\r(a＋x2))－xln(x＋eq\r(a＋x2))＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.【变式探究】(1)(2023·湖南)f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，那么f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)(2023·湖北)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝eq\f(1,2)(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．假设∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，那么实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))【命题意图】(1)此题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函数的值，意在考查考生的转化思想和方程思想．求解此题的关键是用“－x〞代替“x〞，得出f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.(2)此题主要考查奇函数的性质、分段函数以及函数的最值与恒成立问题，意在考查考生应用数形结合思想，综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．【答案】(1)C(2)B【解析】(1)用“－x〞代替“x〞，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，应选C.(2)当x≥0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，0≤x≤a2，,－a2，a2<x≤2a2，,x－3a2，x>2a2，))又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如下图，由图象可得，当x≤2a2时，f(x)max＝a2，当x>2a2时，令x－3