高三函数与导数专题含答案

(2)(2)已知不等式f'(x)>x2-x-a+1对任意ae(0,+s)都成立，求实数x的取值范围。函数与导数(理科数学)1、对于R上的可导函数f(x)，若满足(x-1)f/(x)>0，则必有(C)A.f(0)+f⑵<2f⑴B.f(0)+f⑵<2f(1)C.f(0)+f⑵>2f⑴D.f(0)+f⑵>2f⑴2、f(x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足xf/(x)-f(x)<0对任意正数a,b.若a<b则必有(C)A.af(a)<f(b)B.bf(b)<f(a)C.af(b)<bf(a)D.bf(a)<af(b)3、f(x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足xf/(x)+f(x)<0对任意正数a,b.若a<b则必有(C)A、af(a)<f(b)B、bf(b)<f(a)C、af(b)<bf(a)DA、af(a)<f(b)4、记minp4、记minp,iq.若函数f(x)=min<3+logx,logx卜14丿则函数f(x)的解析式.f(x)<2的解集为3+logx,3+logx<logx丄12答案：(1)f(x)=答案：(1)f(x)=min<3+logx,logx>=<14丿logx,3+logx>logx212422解3+logx=logx得x=4•又函数y=3+logx在(0,+8)内递减，y=logx在(0,+8)内递增，所221211rrx.x.2以当0<x<4时，3+logx>logx；当x>4时，3+logx<log丄2"4所以f(x)=0<x所以f(x)=0<x<4x,x>4(2)f(x)<2等价于:0<x<4,log2x<2①或x>4,<3+log丄i4x<2②.解得：0<x<4或x>4，即f(x)<2的解集为(0,4)Y(4,+8).a35、设函数f(x)=3x3--x2+(a+1)x+1,其中a为实数。32(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;

解：⑴f'(x)二ax2-3x+(a+1)，由于函数f(x)在x二1时取得极值，所以f'(l)=0即a—3+a+1=0,••a=1(2)方法一由题设知：ax2—3x+(a+1)>x2—x—a+1对任意ae(0,+s)都成立，即a(x2+2)—x2—2x>0对任意ae(0,+s)都成立，设g(a)二a(x2+2)—x2—2x(aeR),则对任意xeR,g(a)为单调递增函数(aeR)，所以对任意ae(0,+s)，g(a)>0恒成立的充分必要条件是g(0)>0，即—x2—2x>0，・•・—2<x<0，于是x的取值范围是{xI—2<x<0}方法二由题设知：ax2—3x+(a+1)>x2—x—a+1对任意ae(0,+s)都成立，x2+2xx2+2即a(x2+2)—x2—2x>0对任意ae(0,+s)都成立，于是a>对任意ae(0,x2+2x2+2x即<0・•・—2<x<0于是x的取值范围是{xI—2<x<0}196、已知函数f(x)=4x4+x3—x2+cx有三个极值点。证明：—27<c<5；若存在实数c,使函数f(x)在区间［a,a+2〕上单调递减，求a的取值范围。19解：(1)因为函数f(x)=x4+x3—x2+cx有三个极值点，42所以f'(x)二x3+3x2—9x+c二0有三个互异的实根.设g(x)=x3+3x2—9x+c,贝yg'(x)=3x2+6x—9=3(x+3)(x—1),当x<—3时，g'(x)>0,g(x)在(一8,-3)上为增函数;当—3<x<1时，g'(x)<0,g(x)在(一3，1)上为减函数；当x>1时，g'(x)>0,g(x)在(1,+s)上为增函数;所以函数g(x)在x=-3时取极大值，在x二1时取极小值.当g(—3)<0或g⑴>0时，g(x)=0最多只有两个不同实根.因为g(x)=0有三个不同实根，所以g(—3)>0且g⑴<0.即—27+27+27+c>0，且1+3—9+c<0,解得c>—27,且c<5,故—27<c<5.(2)由(I)的证明可知，当—27<c<5时，f(x)有三个极值点.不妨设为x，x，x(x<x<x)，则123123f'(x)二(x-x)(x-x)(x-x).所以f(x)的单调递减区间是(—g,x］，［x,x］若f(x)在区间［a,a+2〕上单调123123递减，则［a,a+则［a,a+2」u(-g，x］，［x,x］，若［a,a+2〕u(s.Xi］，则a+2-xi•由(I)知,x<—3,于是a<—5.1若若［a,a+2〕u(s.Xi］，则a+2-xi•由(I)知,x<—3,于是a<—5.1若［a,a+2］u［x2,x3］,则a>x2且a+2Jx3•由⑴知,2八x)二(x—3)(x+3)2；当c二5时，f'(x)=(x+5)(x—1)2.因此,当—27<c<5时，1<x<3.所以a>一3,3且a+2J3.即—3<a<1.故a<—5,或—3<a<1.反之，当a<—5，或—3<a<1时，总可找到cw(—27,5)，使函数f(x)在区间［a,a+2〕上单调递减.综上所述，a的取值范围是(—◎—5)U(—3,1).7、设函数f(x)二x2ex-1+ax3+bx2，已知x=—2和x二1为f(x)的极值点.求a和b的值；讨论f(x)的单调性；2设g(x)=3x3—x2,试比较f(x)与g(x)的大小.解：(1)因为f'(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b)，又x=—2和x=1为f(x)的极值点，所以广(一2)=广⑴=0，I—6a+2b=0,因此13+3a+2b二0,解方程组得a=—*，b=—1.⑵因为a二一3，b=—1，所以八x)二曲+2畑—1一1)，令八力=0，解得x1"2，3二解方程组得a=—*，b=—1.因为当xw(-8,-2)U(0,1)时，f(x)<0；当xw(—2,0)U(1+8)时，f(x)>0.(3)由(I)可知f(x)=1x2ex-1-%33故f(x)一g(x)二(3)由(I)可知f(x)=1x2ex-1-%33故f(x)一g(x)二x2ex-1一x3二x2(ex-1一x),令h(x)=ex-1一x,则h'(x)=ex-1一1.令h'(x)=0，得x二1，因为xw(-8,1］时，h'(x)W0,所以h(x)在xw(-8,1］上单调递减.故xw(-8,1］时，h(x)三h(1)=0；因为xwl1+8)时，h'(x)三0，所以h(x)在xwh,+8)上单调递增.故xwh,+8)时，h(x)三h(1)=0.所以对任意xw(—8,+8)，恒有h(x)三0，又x2仝0，因此f(x)—g(x)三0,故对任意xw(—8,+8)，恒有f(x)三g(x).8、设函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(xwR)，其中a,bwR.1)1)当a=-10时，讨论函数f(x)的单调性;1)1)当a=-10时，讨论函数f(x)的单调性;2)若函数f(x)仅在x二0处有极值，求a的取值范围;若对于任意的ae［-2,2］，不等式f(x)W1在［-1,1］上恒成立，求b的取值范围.1)解:f'(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4)•当a=一£时,f'(x)=x(4x2一10x+4)=2x(2x一1)(x一2).令f'(x)=0，解得x=0,x(-g,0)0(1]0,_12丿1212丿2(2,+^)f'(x)—0+0—0+f(x)极小值/极大值极小值/当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表:2内是减函数.i2丿所以f(x)在［O’*］,(2,+-)内是增函数，在(亠,0),I2丿(2)解：f'(x)二x(4x2+3ax+4)，显然x二0不是方程4x2+3ax+4=0的根.为使f(x)仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4三0恒成立，即有A=9a2-64W0.88解此不等式，得-3WaW3•这时，f(0)=b是唯一极值._88_因此满足条件的a的取值范围是-3,.(3)解：由条件ae［-2,2］可知A=9a2-64<0，从而4x2+3ax+4>0恒成立.当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0.因此函数f(x)在［—1,1］上的最大值是f⑴与f(-1)两者中的较大者.为使对任意的ae［-2,2］，不等式f(x)W1在［-11］上恒成立，当且仅当；f(1)W1即;bW-2一a，［f(-1)W1,［bW-2+a在ae［-2,2］上恒成立.所以bW-4，因此满足条件的b的取值范围是(-^，―4］.9.设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1),(x>-1,a>0)(1)求f(x)的单调区间;(2)(2)当a=1时，若方程f(x)=t在［-/J］上有两个实数解，求实数t的取值范围;(2)(2)当a=1时，若方程f(x)=t在［-/J］上有两个实数解，求实数t的取值范围;以F(x)以F(x)yAxe(1,+s)时,(1)=2；解析：(1)f/(x)二1-aln(x+1)一a①a=0时，f/(x)>0f(x)在(一1，+g)上是增函数1—a1—a②当a>0时，f(x)在(-1,ea—1］上递增，在［ea—1,+g)单调递减.(2)由(I)知，f(x)在［-2,0］上单调递增，在［0,1］上单调递减2又f(0)=0,f(1)=1-in4,f(-2)=-2+2in2，•f(1)-f(-2)<0・•.当te［-2,+fin2,0)时，方程f(x)=t有两解10.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)二bx2-inx(a,beR)，已知它们在x二1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)=<、f'J>0，且方程卩(2)若函数F(x)=<解：(1)f'(x)=3ax2—3anf'(1)=0，g'(x)=2bx—丄ng'(1)=2b—1,x依题意：2b—1=0，所以b=2；(2)xe(0,1)时，g'(x)=x一丄<0,2g'(x)=x-1>0，所以当x二1时，g(x)取极小值gx当a二0时，方程F(x)=a2不可能有四个解；当a<0时，xe(-g,-1)时，f'(x)<0,xe(-1,0)时f'(x)>0,所以x=-1时，f(x)取得极小值f'(-1)=2a，又f(0)=0,的图像如下：从图像可以看出F(x)=a2不可能有四个解。当a>0时,xe(-g,-1)时，f'(x)>0，xe(-1,0)时f'(x)<0,所以x=-1时，f(x)取得极小值f'(-1)=2a，又f(0)=0,所以F(x)的图像如下从图像看出方程F(x)=a2有四个解，则2<a2<2a,所以实数a的取值范围是(至,2)。211.已知函数f(x)=Inx,g(x)=-(a<0)，设F(x)=f(x)+g(x)。x求F(x)的单调区间；若以y=F(x)(xw(0,3】)图象上任意一点P(x,y)为切点的切线斜率k<恒成立，求实数a的最小值。0022a是否存在实数m，使得函数y=g(-)+m-1的图象与y二f(1+x2)的图象恰好有四个不同的交点？若x2+1存在，求出m的取值范围，若不存在，说名理由。解.(1)F(x)=f(x)+g(x)=Inx+—(x>0F'(x)=--—=—_—(x>0)xxx2x20a>0,由Fr(x)>0nxe(a,+8),.・.F(x)在(a,+s)上单调递增。由Ff(x)<0nxe(0,a),.F(x)在(0,a)上单调递减。.F(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+Qx—ax—a1(2)F'(x)=——(0<x<3),k=F'(x)=-0—<-(0<x<3)恒成立TOC\o"1-5"\h\zx20x2200a>(——x2+x)当x=1时，一—x2+x取得最大值1a>1anmn200min020022nmn2a11(3)若y=g()+m—1=x2+m—^的图象与x2+122y二f(1+x2)二ln(x2+1)的图象恰有四个不同交点,即2x即2x2+m—2=ln(x2+1)有四