2022年全国统一新高考数学试卷(全国Ⅱ卷)

2022年全国统一新高考数学试卷(全国Ⅱ卷)一、选择题1.已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B= (

) A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4}【答案】B

【解析】∵由|x-1|≤1,解得0≤x≤2,∴集合B={x|0≤x≤2}.∴A∩B={1,2}.故选B.2.(2+2i)(1-2i)= (

) A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i

D.6-2i【答案】D

【解析】(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i.故选D.

图1图2

4.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t= (

) A.-6 B.-5 C.5 D.6

5.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有 (

) A.12种

B.24种

C.36种

D.48种

【答案】C【解析】由题意可得,sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosα-sinα)sinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,所以sin(α-β)+cos(α-β)=0.故tan(α-β)=-1.故选C.

(图1)(图2)

11.如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E

-ACD,F

-ABC,F

-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 (

)

A.V3=2V2

B.V3=V1

C.V3=V1+V2

D.2V3=3V1

12.若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (

) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

三、填空题13.已知随机变量X服从正态分布N(2,б2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=

.

【答案】0.14

【解析】∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),∴P(2<X≤2.5)+P(X>2.5)=0.5.∴P(X>2.5)=0.5-0.36=0.14.故答案为0.14.14.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为

,

.

15.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是

.

四、解答题17.已知{an}是等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)证明:a1=b1;(1)证明:设等差数列{an}的公差为d,∵由a2-b2=a3-b3,得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,则d=2b1.由a2-b2=b4-a4,得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),即a1+d-2b1=4d-(a1+3d),∴a1=b1.17.已知{an}是等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数.(2)解:由(1)知,d=2b1=2a1.∵由bk=am+a1知,b1·2k-1=a1+(m-1)d+a1,∴b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,即2k-1=2m.又1≤m≤500,故2≤2k-1≤1000,则2≤k≤10,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数为9.

19.在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

19.在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图.(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;解:(2)该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的频率为(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,则估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.19.在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图.(3)已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001)

20.如图,PO是三棱锥P

-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.(1)证明:OE∥平面PAC;(1)证明:连接OA,OB,依题意,OP⊥平面ABC.∵OA⊂平面ABC,OB⊂平面ABC,则OP⊥OA,OP⊥OB,

∴∠POA=∠POB=90°.又PA=PB,OP=OP,则△POA≌△POB,∴OA=OB.延长BO交AC于点F,又AB⊥AC,则在Rt△ABF中,O为BF中点,连接PF.在△PBF中,O,E分别为BF,BP的中点,则OE∥PF,∵OE⊄平面PAC,PF⊂平面PAC,∴OE∥平面PAC.20.如图,PO是三棱锥P

-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

22.已知函数f(x)=xeax-ex.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(1)解:当a=1时,f(x)=xex-ex=ex(x-1),f'(x)=ex(x-1)+ex=xex,∵