2023届河北省沧州市海兴县高三年级上册学期12月调研数学试题【含答案】

2023届河北省沧州市海兴县高三上学期12月调研数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为或，因此，.故选：B.2．已知复数z满足：，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】首先根据复数的除法运算求出，然后根据复数的乘法运算即可求出结果.【详解】因为，所以，因此.故选：A.3．某高校甲､乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（

）A．3，5 B．3，3 C．3.5，5 D．3.5，4【答案】C【分析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.【详解】由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为，乙成绩等级的众数为5.故选：C.4．若x，y，z为非零实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】解：因为，，所以,故充分;当，，时，满足，但不满足.故不必要，故选：A.5．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（

）A．若，则函数f(x)的值域为B．点是函数f（x）图象的一个对称中心C．函数f（x）在区间上是增函数D．函数f（x）的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到【答案】A【分析】结合五点法求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域及三角函数图象变换判断即得．【详解】由题图及五点作图法得，，，则，，故.由，得，故，函数f(x)在区间上不是增函数，故A正确，C错误；∵当时，，所以点不是函数f(x)图象的一个对称中心，故B错误；由，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D错误.故选：A．6．已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解.【详解】设与的夹角为，因为，，所以．故选：B7．满足，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】满足等价于在恒成立，构造函数，利用导数判断其单调性，进而即可判断结果.【详解】满足，即，令，，，，当时，在恒成立，在为增函数，则，即，符合题意，当时，令，，当时，，当时，，所以在为增函数，在为减函数，，命题成立只需即可.令，，当，，即，即，命题不成立.综上.故选：D.8．已知函数，若时，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将不等式转化为，然后再求最值即可.【详解】不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有．故选：C二、多选题9．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（

）A． B．的公差为9C． D．【答案】BD【分析】设的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可判断A、B，再根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得；【详解】解：设的公差为.由，得，又，联立方程组解得，所以A错误，B正确；因为，，所以，故C错误；因为，所以D正确.故选：BD10．已知函数的零点为，则（

）A．的值为5 B．的值为4C． D．【答案】AD【分析】由函数的零点为，得到，变形为，由为增函数，得到判断AB，再结合零点存在定理判断CD。【详解】∵，∴，∴．令为增函数，∴由，得，∴．∴．由，，又由，，有，则.故选：AD11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率为2B．若，且，则C．以线段，为直径的两个圆外切D．若点P在第二象限，则【答案】ACD【分析】通过求得，从而求得双曲线的离心率，由此判断A选项的正确性.结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性.通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性.结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.【详解】对于A，设，则，因为，，所以，由，得，故A正确.对于B，因为，所以，根据双曲线的定义可得，又因为，所以，整理得.由，可得，即，解得，故B错误，对于C，设的中点为，O为原点.因为为的中位线，所以，则可知以线段，为直径的两个圆外切，故C正确.对于D，设，则，.因为，所以，，则渐近线方程为，所以，.又，，所以，因为，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】求解双曲线离心率有关问题，可考虑直接法计算出，从而求得双曲线的离心率；也可以考虑建立或的关系式，通过整体求出或来求得双曲线的离心率.12．已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱，的中点，M为线段BD上的动点，则（

）A．B．C．三棱锥的体积为定值D．M为BD的中点时，则二面角的平面角为60°【答案】BC【分析】由题可得与不平行可判断A，利用线面垂直的判断定理及性质定理判断B，利用棱锥的体积公式可判断C，利用坐标法可判断D.【详解】由正方体的性质可知，与不平行，故A错误；由正方体的性质可知，又，∴平面，又平面，∴，故B正确；由题可知M到平面的距离为定值d=2，三角形的面积为定值，所以为定值，故C正确；如图建立空间直角坐标系，则∴，设平面PQM的法向量为，则，令，则，平面的法向量可取，设二面角的平面角为，则，故D错误.故选：BC.三、填空题13．若的展开式中的系数为224，则正实数的值为______．【答案】2【分析】根据二项式展开式的通项公式求得的系数和的系数，由此可得答案.【详解】展开式中通项，所以时，得到的系数为，时，得到的系数为，从而的展开式中的系数为，解得或，所以正实数的值为2．故答案为：2.【点睛】易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2)二项式通项公式：（）①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意．14．2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）【答案】36【分析】先将4名同学按2,1,1分成3组，再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.【详解】将4名同学按2,1,1分成3组有种方法.再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种则所有分配方案共有种故答案为：3615．已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则______．【答案】3【分析】设出，则可得，根据数量积的坐标运算可得到的表达式，结合可得答案.【详解】设，则,且，则，故答案为：316．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示）【答案】（，n为奇数）【分析】可得为奇数时，即数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.【详解】当为奇数时，为偶数，为奇数，则，故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，（，n为奇数），故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为（，n为奇数）.故答案为：（，n为奇数）.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列.四、解答题17．已知等差数列的首项为2，且，，成等比数列.数列的前n项和为，且.(1)求与的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的公差，由此求得.利用来求得.（2）利用错位相减求和法求得.【详解】（1）设的公差为d，因为，所以，解得，所以.数列的前n项和为，且，①当时，，②①-②，得.当时，，满足，所以.（2）因为，所以.③，④③-④，得，所以.18．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．(1)求角A的大小；(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）利用正余弦定理即求；（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.【详解】（1）∵且,∴，即，∴，又，∴；（2）选①∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，即，∴由基本不等式可得：，∴，当且仅当时取“=”，∴，即的面积的最小值为；②因为AD是BC边上的中线，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∵，∴，在中，，由余弦定理得，∴∴，解得，当且仅当时取“=”，所以，即的面积的最大值为.19．某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．(1)用表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果；(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数的数值，部分结果如下表所示：年份1997-20162007-2016线性回归模型0.9306指数回归模型0.98990.978①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.【答案】(1)，(2)①0.996，②不吻合，理由见解析.【分析】（1）观察两图，根据的范围，我们只需要确定哪个图像关联系数更高，即选择较大的那个相关系数；（2）第一小问可根据第（1）问中确定的的值，通过来计算；第二小问可通过计算出来的数据跟已有的数据对比，选出最适合模拟最近的年份的回归模型，并且按照这个回归模型来模拟，预测2020年是否能够突破100万亿，并且根据回归模型的增长趋势来判断.【详解】（1）由散点图可知，图2拟合效果更好、相关系数较大，所以，．（2）①0.996②由图2中的线性回归模型得到的相关指数为0.996，是所有回归模型的相关指数中数值最大的，而且2017年是最近的年份，因此选择图2中的线性回归模型来估计2017年的GDP，是比较精准的．按照图2中的线性回归模型来估计（延长回归直线可发现），2020年不能突破100万亿元．估计与事实不吻合．综合两张图来考虑，我国的GDP随年份的增长整体上呈现指数增长的趋势，而且2020年比2016年又多发展了4年，指数回归趋于明显，因此，按照线性回归模型得到的估计值与实际数据有偏差、不吻合，属于正常现象．20．如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．(1)求证：；(2)若二面角的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；CK的长度为2【分析】（1）由已知条件可得平面ADE，再由线面垂直的性质可证得结论，（2）方法一：由已知可得是二面角A－EF－D的平面角，即，过A作，垂足为G，则由面面垂直的性质可得平面CDEF，连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，然后在，和中计算即可，方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量求解即可【详解】（1）因为，，，所以平面ADE．因为平面ADE，所以．（2）方法一：因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．因为平面ADE，所以平面平面ADE．过A作，垂足为G，因为平面平面，所以平面CDEF．连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，即．在中，因为，，所以．在中，因为，所以．设，过K作于H，则．在中，由，得，解之得或（舍），所以，即．方法二：因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A（2，0，0），，设直线AK与平面CDEF所成角为，则，从而．设平面CDEF法向量为，直线AK的方向向量与平面CDEF法向量所成的角为，则．因为，所以，令，则所以，解得．此时，点K为点F，CK的长度为2．21．已知椭圆：（），、分别为椭圆的左、右顶点.点，为坐标原点，椭圆长轴长等于，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过作垂直于轴的直线，为上的一个动点，与椭圆交与点，与椭圆交与点.求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据条件：椭圆长轴长等于，离心率为等到方程即可求解；（2）设方程为，将其与椭圆联立，再根据椭圆上的点得到关系