2023年高考物理一轮复习第5章机械能及其守恒定律第3节机械能守恒定律及其应用学案新人教版

第三节机械能守恒定律及其应用(对应学生用书第85页)[教材知识速填]知识点1重力做功与重力势能1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．(2)重力做功不引起物体机械能的变化．2．重力势能(1)公式：Ep＝mgh.(2)特性：①矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．②系统性：重力势能是物体和地球共有的．③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关．3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp.易错判断(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关．(√)(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关．(√)(3)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．(√)知识点2弹性势能1．大小弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．2．弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．易错判断(1)发生弹性形变的物体都具有弹性势能．(√)(2)弹力做正功，弹性势能一定增加．(×)(3)同一个弹簧在弹性限度内的形变量越大，它具有的弹性势能越大．(√)知识点3机械能守恒定律1．机械能动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能．2．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．(2)守恒的条件：只有重力或弹力做功．(3)守恒表达式：mgh1＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝mgh2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2).易错判断(1)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．(×)(2)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒．(×)(3)做曲线运动的物体机械能可能守恒．(√)[教材习题回访]考查点：机械能守恒的判断1．(粤教版必修2P82T2改编)(多项选择)忽略空气阻力，以下物体运动过程中满足机械能守恒的是()A．电梯匀速下降B．物体自由下落C．物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端D．物体沿着斜面匀速下滑[答案]BC考查点：含弹簧的机械能守恒问题2．(人教版必修2P80T1改编)把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图5­3­1甲所示．迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)．忽略弹簧的质量和空气阻力．那么小球从A位置运动到C位置的过程中，以下说法正确的选项是()图5­3­1A．经过位置B时小球的加速度为0B．经过位置B时小球的速度最大C．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒D．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小[答案]C考查点：机械能守恒定律的应用3．(人教版必修2P78T3改编)(多项选择)如图5­3­2所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．假设以地面为零势能面，而且不计空气阻力，那么以下说法中正确的选项是()图5­3­2A．重力对物体做的功为mghB．物体在海平面上的势能为mghC．物体在海平面上的动能为eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－mghD．物体在海平面上的机械能为eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)[答案]AD考查点：机械守恒定律与圆周运动的组合4．(人教版必修2P80T2改编)如下图是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施．管道除D点右侧水平局部粗糙外，其余局部均光滑．假设挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、第二个圆管轨道A、B内部(圆管A比圆管B高)．某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过第一个圆管轨道A内部最高位置时，对管壁恰好无压力．那么这名挑战者()A．经过管道A最高点时的机械能大于经过管道B最低点时的机械能B．经过管道A最低点时的动能大于经过管道B最低点时的动能C．经过管道B最高点时对管外侧壁有压力D．不能经过管道B的最高点[答案]C(对应学生用书第86页)机械能守恒的理解与判断机械能守恒的判断方法1．利用机械能的定义判断：分析动能和势能的和是否变化．2．用做功判断：假设物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，那么机械能守恒．3．用能量转化来判断：假设物体或系统只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，那么物体或系统机械能守恒．[题组通关]1．(多项选择)如图5­3­3所示，完整的撑杆跳高过程可以简化成三个阶段：持杆助跑、撑杆起跳上升、越杆下落(下落时人杆别离)，最后落在软垫上速度减为零．不计空气阻力，那么()图5­3­3A．运发动在整个跳高过程中机械能守恒B．运发动在撑杆起跳上升过程中机械能守恒C．在撑杆起跳上升过程中，杆的弹性势能转化为运发动的重力势能且弹性势能减少量小于运发动的重力势能增加量D．运发动落在软垫上时做减速运动，处于超重状态CD[运发动持杆助跑阶段运发动对杆做功，机械能不守恒，最后从落在软垫上到速度减为零的过程中阻力做功，机械能也不守恒，故A错误；运发动在撑杆起跳上升过程中，杆从开始形变到杆恢复原状，先是运发动局部动能转化为重力势能和杆的弹性势能，后弹性势能和运发动的动能转化为重力势能，使用杆的过程中，运发动与杆组成的系统机械能守恒，运发动的机械能不守恒，故B错误；在撑杆起跳上升过程中，运发动的动能和杆的弹性势能转化为运发动的重力势能，所以杆的弹性势能减少量一定小于运发动的重力势能增加量，故C正确；运发动落在软垫上时做减速运动，加速度的方向向上，因而运发动处于超重状态，故D正确．]2．在如图5­3­4所示的物理过程示意图中，甲图一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，那么关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，以下判断中正确的选项是()【导学号：84370221】图5­3­4A．甲图中小球机械能守恒B．乙图中小球A机械能守恒C．丙图中小球机械能守恒D．丁图中小球机械能守恒A[甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，A正确；乙图过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但两个小球组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，C错误；丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，D错误．][反思总结]关于机械能守恒条件的四点提醒：1机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力做功〞不等于“只受重力作用〞.2分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统.3系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒.4对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否那么机械能必定不守恒.单个物体的机械能守恒1．机械能守恒定律的表达式2．应用机械能守恒定律的一般步骤(1)选取研究对象(2)受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件(3)确定初、末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况(4)选择适宜的表达式列出方程，进行求解(5)对计算结果进行必要的讨论和说明[多维探究]考向1含有弹簧的单个物体的机械能问题1．(2023·贵阳模拟)如图5­3­5所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点．将小球拉至A点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v.重力加速度为g，以下说法正确的选项是()图5­3­5A．小球运动到B点时的动能等于mghB．小球由A点到B点重力势能减少eq\f(1,2)mv2C．小球由A点到B点克服弹力做功为mghD．小球到达B点时弹簧的弹性势能为mgh－eq\f(1,2)mv2D[小球由A点到B点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧由原长到发生伸长的形变，小球动能增加量小于重力势能减少量，A项错误；小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，B项错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，D项正确；弹簧弹性势能增加量等于小球克服弹力所做的功，C项错误．]2．如图5­3­6所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L【导学号：84370222】图5­3­6A．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了eq\r(3)mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变[题眼点拨]“最大距离时弹簧的长度变为2LB[在圆环下滑到最大距离的过程中，弹簧弹力对圆环做功，圆环的机械能不守恒，选项A错误；利用几何关系可知圆环下落的距离为h＝eq\r(2L2－L2)＝eq\r(3)L，此过程圆环的重力势能的变化量为ΔEp＝mgh＝eq\r(3)mgL，根据功能关系，弹簧弹性势能的增加量等于圆环重力势能的减少量，即ΔEp＝eq\r(3)mgL，选项B正确；圆环下落到最大距离时速度为零，所受合力不为零，选项C错误；把圆环和弹簧看成一个系统，系统的机械能守恒，即圆环的重力势能、弹簧的弹性势能与圆环的动能之和保持不变，选项D错误．]考向2不含弹簧的单个物体的机械能问题3．(多项选择)(2023·兰州一模)如图5­3­7所示，竖直面内光滑的eq\f(3,4)圆形导轨固定在一水平地面上，半径为R.一个质量为m的小球从距水平地面正上方h高处的P点由静止开始自由下落，恰好从N点沿切线方向进入圆轨道．不考虑空气阻力，那么以下说法正确的选项是()图5­3­7A．适当调整高度h，可使小球从轨道最高点M飞出后，恰好落在轨道右端口N处B．假设h＝2R，那么小球在轨道最低点对轨道的压力为5mgC．只有h大于等于2.5R时，小球才能到达圆轨道的最高点MD．假设h＝R，那么小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R的位置，该过程重力做功为mgRBC[假设小球从M到N做平抛运动，那么有，可得vM=eq\r(\f(gR,2)),而球到达最高点M时速度至少应满足mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，故A错误；从P点到最低点过程由机械能守恒可得2mgR＝eq\f(1,2)mv2，由向心力公式得FN－mg＝meq\f(v2,R)，解得FN＝5mg，由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力为5mg，故B正确；由机械能守恒得mg(h－2R)＝eq\f(1,2)mv2，代入v＝eq\r(gR)解得h＝2.5R，故C正确；假设h＝R，那么小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R的位置，该过程重力做功为0，D错误．]4.如图5­3­8所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．h＝2m，s＝eq\r(2)m，取重力加速度大小g＝10m/s2.图5­3­8(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)假设环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小.【导学号：84370223】[题眼点拨]①“b为抛物线顶点〞“与轨道间无相互作用〞说明小环从b到c的运动符合平抛运动规律．[解析](1)设环到b点时速度为vb，圆弧轨道半径为r，小环从a到b由机械能守恒有mgr＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,b)①环与bc段轨道间无相互作用力，从b到c环做平抛运动h＝eq\f(1,2)gt2②s＝vbt③联立可得r＝eq\f(s2,4h)④代入数据得r＝0.25m.(2)环从b点由静止下滑至c点过程中机械能守恒，设到c点时速度为vc，那么mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,c)⑤在bc段两次过程中环沿同一轨迹运动，经过同一点时速度方向相同设环在c点时速度与水平方向间的夹角为θ，那么环做平抛运动时tanθ＝eq\f(vy,vb)⑥vy＝gt⑦联立①②⑥⑦式可得tanθ＝2eq\r(2)⑧那么环从b点由静止开始滑到c点时速度的水平分量vcx为vcx＝vccosθ⑨联立⑤⑧⑨三式可得vcx＝eq\f(2,3)eq\r(10)m/s.[答案](1)0.25m(2)eq\f(2,3)eq\r(10)m/s(2023·全国Ⅲ卷)如图，在竖直平面内有由eq\f(1,4)圆弧AB和eq\f(1,2)圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为eq\f(R,2).一小球在A点正上方与A相距eq\f(R,4)处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．(1)求小球在B、A两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．[解析](1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mgeq\f(R,4)①设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mgeq\f(5R,4)②由①②式得eq\f(EkB,EkA)＝5.③(2)假设小球能沿轨道运动到C点，那么小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0④设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝meq\f(v\o\al(2,C),\f(R,2))⑤由④⑤式得，vC应满足mg≤meq\f(2v\o\al(2,C),R)⑥由机械能守恒定律得mgeq\f(R,4)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)⑦由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．[答案](1)5(2)能沿轨道运动到C点多个物体的机械能守恒[母题]一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图5­3­9所示．已经A球始终不离开圆柱内外表，且细绳足够长，假设不计一切摩擦，求：图5­3­9(1)A球沿圆柱内外表滑至最低点时速度的大小；(2)A球沿圆柱内外表运动的最大位移．【自主思考】(1)A球滑至最低点时，A、B两球速度大小相等吗？[提示]不相等，A球速度沿绳方向的分量与B球速度等大．(2)A球何时位移最大？[提示]速度为零时．[解析](1)设A球沿圆柱内外表滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，那么根据机械能守恒定律有甲2mgR－eq\r(2)mgR＝eq\f(1,2)×2mv2＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)由图甲可知，A球的速度v与B球速度vB的关系为vB＝v1＝vcos45°联立解得v＝2eq\r(\f(2－\r(2),5)gR).(2)当A球的速度为零时，A球沿圆柱内外表运动的位移最大，设为x，如图乙所示，由几何关系可知A球下降的高度h＝eq\f(x,2R)eq\r(4R2－x2)，根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0乙解得x＝eq\r(3)R.[答案](1)2eq\r(\f(2－\r(2),5)gR)(2)eq\r(3)R[母题迁移]迁移1将细绳挂在定滑轮两侧1.如图5­3­10所示，两物块a、b质量分别为m、2m，用细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦．开始时，两物块a、b距离地面高度相同，用手托住物块b，然后突然由静止释放，直至物块a、b间高度差为h(物块b图5­3­10A．物块b重力势能减少了2mghB．物块b机械能减少了eq\f(2,3)mghC．物块a的机械能逐渐减小D．物块a重力势能的增加量小于其动能的增加量B[物块a、b间高度差为h时，物块a上升的高度为eq\f(h,2)，物块b下降的高度为eq\f(h,2)，物块b重力势能减少了2mg·eq\f(h,2)＝mgh，选项A错误；物块b机械能减少了ΔEb＝2mg·eq\f(h,2)－eq\f(1,2)×2mv2，对物块a、b整体根据机械能守恒定律有0＝－2mg·eq\f(h,2)＋mg·eq\f(h,2)＋eq\f(1,2)×3mv2，得eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,6)mgh，ΔEb＝eq\f(2,3)mgh，选项B正确；物块a的机械能逐渐增加eq\f(2,3)mgh，选项C错误；物块a重力势能的增加量ΔEpa＝mg·eq\f(h,2)＝eq\f(1,2)mgh，其动能的增加量ΔEka＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,6)mgh，得ΔEpa>ΔEka，选项D错误．]迁移2将细绳改为轻杆2．(2023·湖南十校联考)如图5­3­11所示，半径为R的光滑圆环竖直放置，直径MN沿竖直方向，环上套有两个小球A和B，A、B之间用一长为eq\r(3)R的轻杆相连，小球可以沿环自由滑动，开始时杆处于水平状态，A的质量为m，重力加速度为g.图5­3­11(1)假设B球质量也为m，求此时杆对B球的弹力大小；(2)假设B球的质量为3m，由静止释放轻杆，求B球由初始位置到达N点的过程中，轻杆对B【导学号：84370224】[题眼点拨]“长为eq\r(3)R的轻杆〞此类信息说明此题要用到几何关系分析位置变化．[解析](1)对B球受力分析，如下图，根据平衡条件有F＝mgtan60°＝eq\r(3)mg.(2)由系统机械能守恒得3mg×eq\f(1,2)R－mgR＝eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,B)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，又vA＝vB.对B运用动能定理得3mg×eq\f(1,2)R＋W＝eq\f(1,2)×3mveq\o\al(2,B).联立以上各式解得W＝－eq\f(9,8)mgR.[答案](1)eq\r(3)mg(2)－eq\f(9,8)mgR(多项选择)(2023·全国Ⅱ卷)如下图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.那么()A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为eq\r(2gh)C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mgBD[由题意知，系统机械能守恒．设某时刻a、b的速度分别为va、vb.此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图．因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v∥与v′∥是相等的，即vacosθ＝vbsinθ.当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,a)，解得va＝eq\r(2gh)，选项B正确．同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误．杆对b的作用先是推力后是拉力，对a那么先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误．b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确．正确选项为B、D.]迁移3将连接的细绳改为弹簧3.(2023·河北定州中学模拟)如图5­