河南省平顶山市库庄第一中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

河南省平顶山市库庄第一中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

（

）A．

B．C．

D．

参考答案：A略2.设随机变量X服从正态分布N（0，1），P(X>1)=p,则P(X>－1)=（）(A)p

(B)

1－p

(C)1－2p

(D)2p

参考答案：B∵P(X<－1)=P(X>1),则P(X>－1)=1－p

.3.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出选中的花中没有红色包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出选中的花中没有红色的概率．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，基本事件总数n=，选中的花中没有红色包含的基本事件个数m=，∴选中的花中没有红色的概率p==．故选：A．4.已知函数f（x）=．则f（）+f（）+…+f（）=（）A．2017 B．2016 C．4034 D．4032参考答案：D【考点】函数的值．【分析】根据函数的奇偶性求值即可．【解答】解：f（x）===2+，令g（x+）=，得g（x+）是奇函数，∴f（）+f（）+…+f（）=2×2016=4032，故选：D．5.设复数z=2+bi(b∈R)且=2，则复数的虚部为

(

)A.2

B.±2i

C.±2

D.±2参考答案：C因为=2，所以，因此选C。6.已知复数，则的虚部为()A. B. C.

D.参考答案：B复数＝＝＝的虚部是，故选B.7.函数的零点个数为（

）A．0

B．1

C．4

D．2参考答案：D．试题分析：当函数=0时，，函数的零点个数即为的交点个数，根据图像易知原函数的零点个数为2个，故选D.考点：函数的零点问题.8.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上的一点，且，则的值为(

)A．

B．

C．或

D．或参考答案：A略9.奥运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作。若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A. B.

C.

D.参考答案：答案：A10.在等比数列等于A．2

B．3

C．

D．参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在R上的奇函数满足＝(x≥0)，若，则实数的取值范围是________．参考答案：(-3,1)12.设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=．参考答案：2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y得到最大值点A，即可得到答案．解答：解：可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．当k＞0时，目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2；当k＜0时，①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=0×k+2，故k不存在．综上，k=2．故答案为：2．点评：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．13.如右图，从圆外一点引圆的割线和，过圆心，已知，则圆的半径等于

．参考答案：设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以。14.设△的内角的对边分别为，且，则

参考答案：【知识点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：【思路点拨】由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．15.已知在上是单调递减的，则函数在上的最大值是

.参考答案：116.若点P（x，y）满足线性约束条件，点A（3，），O为坐标原点，则的最大值_________.参考答案：6

略17.如果的展开式中各项系数之和为128，则含项的系数等于

．（用数字作答）参考答案：试题分析：根据题意，令可知展开式的各项系数和为，可知，所以所给的式子的展开式的通项为，令，解得，故该项的系数为.考点：二项式定理.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，（其中常数）（1）当时，求函数f(x)的极值；（2）若函数有两个零点，求证：.参考答案：（1）f(x)有极小值，无极大值；（2）证明见解析.【分析】（1）求出a＝e的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有0＜a≤e成立．若，则f（x）＝ex﹣a（lnx+1）≥0显然成立；若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证.【详解】函数的定义域为，（1）当时，，，在单调递增且当时，，所以在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以有极小值，无极大值.（2）先证明：当恒成立时，有成立若，则显然成立；若，由得，令，则，令，由得在上单调递增，又∵，所以在上为负，递减，在上为正，递增，∴，从而.因而函数若有两个零点，则，所以，由得，则，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增∴，则∴，由得，则，∴，综上.【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．19.（本题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.(3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：0.050.0100.0053.8416.6357.879

参考答案：有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.20.(12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为.(1)求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．参考答案：21.已知椭圆C：（a>b>0）经过点(0,)，离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；

（3）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．参考答案：?3k(x2－1)＝2x2k(x1－1)－5k(x1－1)?2kx1x2－5k(x1＋x2)＋8k＝0【注】：书写可证明：kBP－kDP＝···－···＝·······，证明值为0．22.（本小题满分12分）已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为，并且与平行.（1）求的值；

（2）已知实数，求函数，的最小值；（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】（1）2（2）（3）m∈（0，1）（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x-a

y=g（x-1）=ln（x-1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x-1）=由题意可得kl1=kl2，即a=1，∴f（x）=x2-x，f（2）=22-2=2（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2-（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t-1）（xlnx）+t2-t，

令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，

∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e

u2+（2t-1）u+t2-t图象的对称轴u=，抛物线开口向上

①当u=≤0即t≥时，y最小=t2-t②当u=≥e即t≤时，y最小=e2+（2t-1）e+t2-t

③当0＜＜e即＜t＜时，

y最小=y|u==-（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0

所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0

①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1-m）x2＞mx1+（1-m）x1=x1，

α=mx1+（1-m）x2＜mx2+（1-m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），

∴由f（x）的单调性知0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）

从而有|F（α）-F（β）|＜|F（x1）-F（x2）|，符合题设．

②当m≤0时，，α=mx1+（1-m）x2≥mx2+（1-m）x2=x2，

β=mx2+（1-m）x1≤mx1+（1-m）x1=x1，

由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α）

∴|F（α）-F（β）|≥|F（x1）-F（x2）|，与题设不符

③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，

得|F（α）-F（β）|≥|F（x1）-F（x2）|，与题设不符．

∴综合①、②、③得m∈（0，1）【思路点拨】（1）利用导数的