极坐标的概念

（-）极坐标概念

确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法

称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）

而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置

是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。

1.1极坐标系定义

在平面上选一定点0,由0出发的一条射线0X,规定一个长度单位和角的正

方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中。为极点，射线

0X为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（P,0）O

1.2平面内的点与极坐标系的关系

平面内有一点P,|0P|用P表示，P称为P点的极径；0X到0P的角o叫

极角，P（P,9）为极坐标。

（1）有一组极坐标（P,0）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；

（2）在极坐标系中有一个点P,则有无数组极坐标与其对应。

①P点固定后，极角不固定。（P,0）与（P,2kn+。）（kWz）

表示同一点坐标；

②P点固定后，P的值可正、可负。P>0时，极角的始边为0X轴，

终边为赤线；P<0,极轴始边为OX轴，终边为丽的反向延长线；规定：P=0

时，极角为任意角，如（P,0）与（P,2kn+0）及（-P,2kn+n+0）（kCz）

表示同一点。

.•.极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。

例1.在极坐标系中，点P（P,0）与Q（-P,）的位置是（）

A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称

（9=-

C.重合D.关于直线2（pSR）对称

分析：Q（-P,2n-e）与（p,n-o）表示同一点，它与点P（P,e）

3=-

关于直线2（PGR）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。故选D。

例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是

B<2,—)

4，那么C的坐标可能是()

<2后任)

B.4

C,12疗，GD.(3,兀)

分析：VA2,4)/C2,T)极径相同，极角相差”，A、B以极点对称，又|AB|=4,

r区ZAQC=-Q^--=—

△ABC为等边△,g=2S,2,C对应极角为4+24.

.，有净或°C后，故选B。

例3.A、B两点的极坐标分别为A(P”0,),B(P2,02),则

IAB|=o

分析：用余弦定理可得1四=而「十波-Zpgcos”广的)此结论可作为公

式。

1.3极坐标与直角坐标的互化

取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标

系中P(P,9),设在直角坐标系中P(x,y)

付=#+/

则p2=x?+y2、1K(注意角所在象限)

此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。

例L将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。

2cos8+2

R=-----5——

⑴4⑵sin8

3_36

2

(3)4+icos6(4)P2=2COS20

小士=格8=皑==-1

解:⑴x4得y=-x；

⑵Psin0=2cos0+2,P2sin20=2pcos0+2P,y=+/,(

y-2x)J4(x?+y2)得y2=4(x+1)；

(3)4P2+5P2cos20=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36；

(4)P-2P::(cos20-sin'0),(x2+y2)=2x2-2y~

日+±=]

例2.椭圆43-在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中的

方程为()

=3=4p1="

A.’2-CQS。B.Q2-cosfiC.3+an26D.

/12

P=4-+--c--a-s-J—&

2222

pcos6psin6_2=12

分析：-4—十-3，得飞+-2g故选c。

(~)极坐标方程的确定

2.1几种直线的极坐标方程

(1)从极点。发出的一条射线(如图1),其极坐标方程为：O=0.(P>O)；

(2)过极点0的一条直线(),其极坐标方程为9=e,(pGR)；

(3)如图3过点(a,o)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：Pcos0=a；

⑷如图4过点(a,“)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：Pcos0=-a；

(5)如图5平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：

Psin0=a；

(6)如图6平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为:

Psin0=-a；

（7）如图7过点M（a,0.），且与极径0M垂直的直线的极坐标方程为:

Pcos（0-0i）=a.

例1.过点心彳,且与极轴平行的直线的极坐标方程是（）

111

A.PcosfiB.p=1C.PIngD.'sin6

分析：极点到直线距离d=l.根据直线极坐标方程（5）得Psin9=1,故选C。

例2.已知点P的坐标为（1,n）,那么通过P点且垂直于极轴的直线的极

坐标方程为（）（上海94年高考题）

A.P=1B.P=cos9C.Pcos0=TD.Pcos。=1

分析：根据直线极坐标方程⑷得pcose=-1故选C。

¥=-1+—

y=1+—f

例3.已知直线的参数方程为：3（t为参数），直线I?的极

坐标方程为（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。则II

与I2的夹角是（）

宜位11

——arct^-arc很一

A.4B.3c.3D.2

[i咨

1y=1+且fki」

1-

分析：直线I3化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率2;直线

外"日-币）=2化为普通方程夕81ng“cos”2逝，即J>-X=2力，其斜率峻=1,两直

，1

/ga=-r=3i

1+

线夹角若为a,则-2,a=arctg'—3,故选C。

2.2儿种圆的极坐标方程

⑴圆心为极点，半径为r的圆的极坐标方程为：P=r(9GR)；

(2)圆心0，(r,0),半径为r的圆的极坐标方程为：P=2rcos0；

⑶圆心O'(r,“)，半径为r的圆的极坐标方程为：P=-2rcos0；

p=2尸cas(y_0)=»sin。

⑷圆心0'，半径为r的圆的极坐标方程为:

(y,——)

(5)圆心0'2,半径为r的圆的极坐标方程为:

3万

p=cas(--8}=sin9

(6)一般圆的极坐标方程：圆心O'(P。，90),半径为r的极坐标方程。

2J

设动点(P,0),依据余弦定理得P■+P0-2Ppocos(0-0o)=r即P,-[2Po

22

cos(0-00)]p+po-r=O.

以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。轨迹法就是设

曲线动点为(P,0),然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关系；

二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程。

江

例L极坐标方程’cos《4——所表示的曲线是()

A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆

分析：

p=cas(--g今#=p(cos—cos^+sin—sin&)

444

二月2=¥(0cos8+psin&)n/+贯=-^-(x+y)

故选Do

例2.极坐标方程P-(l+2cos0)p+2cos0=0所表示的曲线是()

A.抛物线B.一直线和一个圆C.两条直线D.两相交圆

分析：

夕,-(1+2cos。)p+2cos0-0=i(0-1)(0-2cas6)=0n0=1或0=2cosG是两交

的圆故选D。

例3.极坐标方程分别是P=-cos0和P=-sin0的两个圆的圆心距是()

理

A.2B.箱C.1D,2

0,(——»JT)On(--.—)

解法一：圆P=-cos6圆心2；圆P=-sin9,圆心22

根据两个点间距离

IQQ1=4Pi+-2PiP2cos(^i~

=+_2(一；)(一；)cos]=-y-

V222222,应选D；

解法二：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，

1

且两圆都过极点，半径都为亍根据两个点间距离

IQQ1=J/??+P2-2pjp2cos(6>)-^)

=Jg)2+_2(一；)(-1)COS9¥

I222222,应选D；

解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，

-I6。21=J<->2+<->2=—

且两圆都过极点，半径都为彳，根据勾股定理，*222.

解法四：0»=皿6@=>>+/2_丫=。；7=£^日=5产+>2-3=0.圆心、£目602|一三.

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2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一•的极坐标方程：

（1）圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常

数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。

（2）圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点0为极点，以过定点所作

定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。那么在

此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程0-Jecos?其中p是焦点到相应

川川

------€39-........

准线的距禺。在椭圆和双曲线中P就是相应直角坐标系中的c,a.

⑶将°、YC®8化为直角坐标方程（l-e2）x?+y2-2e2px-e2PJO,其中OVeV

1时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e>l时两方程表示双曲线

（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=l时两方程表示抛物线（极点和原点是抛

物线焦点）。

例1.设椭圆（0<e<l）.求:

焦点的极坐标，两条准线的极坐标方程。

PA=。+---

解：令。=0得A点极径1T①

一c理

9=n得A'点极径②

_ep_&2p

由①+②得“1-3①-②得'1->

b=-c2=-----(0<e<l)

Is2p

,0)

&为极点1-e3

2e2p

f>cosff=p-t------T

左准线PCOS0=~p,右准线1-e.

p=»—

例2.求双曲线l-ecos8(e>l)的a、b、c,焦点的坐标和准线的方程。

p=c+“=|斗与

解：令e=oI-el"1(e>l)①

ep

n=c-a=-----_

9=n1+e②

a=空c=丹b=智—Ji

由①、②得©2T/T「-I

焦点B(0,0)为极点，件(2c,n)即02T

202P

p-zc=p--=--

右准线PCOS9=-p左准线eT

例3.求圆锥曲线过焦点的弦AB之长

lAB^p+p叨士

A£1-^cos&l-^cos(^+0)

_一]一

1一©cos9l+e'cos&

2sp

=---2---5-

1一寸cds9

当e=l时，抛物线过焦点弦长由d8

解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统一标

准极坐标方程的极点是其一个焦点。也正因为此，遇到圆锥曲线有关焦点弦问题,

用极坐标方程来解题，运算要简捷。

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(三)极坐标方程的应用

3.1由极坐标方程讨论曲线及性质

8

例1.椭圆前的焦距是()

89.

A.3B.2C.3D.1

c1

8x1a=—_=_

a3._

3n、—c=L、2c=

8b2s

1----cosfl叱］__=_

分析：极坐标方程化为标准式3*5/3应

选B.

2

例2.若圆锥曲线0=3-2COS8的一条准线方程是PCOS9=1,则另一条准线

的极坐标方程是

2。_2

a=3

a=-6,c

P二一r—b22

1----cos3__=__

分析：化标准式3a23，两条准线间距离

2a2IS与13

~=T...另一条准线为a关号

9

例3.双曲线"4-5cas/的渐近线方程是.

分析：化标准线

9_

］一一C0S&

4

设双曲线渐近线上一动点M(P,0)。

__4

令47cos氏=0=8$出=5此时p不存在，为渐近线与极轴夹角。在

△MO'F中(如图)根据正弦定理

P=cn4=3

sin(arccas5-7)sin(^-arccos5-)，sin(^-orrc—5)y双曲线的两条渐近线的方程

3—3

p=-----------7p=~/

arccos-)sin(曰+arccos-)

为：5〉和5,.

解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质。主要记住椭圆和双曲

及直线的极坐标方程；例3求双曲线渐近线的极坐标方程高考

大纲不作要求，有同学愿用极坐标求动点轨迹研究可作参考。

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3.2圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用

因为圆锥曲线的统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点，且过极点弦长可

直接得P1+P2之值。因此遇到有关过焦点弦问题用极坐标方程解决，可简化做

题过程。

16市

例1.过椭圆'=5-3cos®的左焦点作一条倾角为W的直线I,则它被曲线截

得的弦长是。

解：设直线I与曲线交点为“B"可)、3+ff)它被曲线截得的

一16163232640

|阴=6+G=--+----------------------=---+----=-----

,4江71391

5-3cos—j-3ocos—

长33

焦距旧同"万,过椭圆焦点F]

例2.已知椭圆长轴AAf=6,

一他

N两点，若/F2F|M=a,(0Wa<7t).当a取什么

值时，|MN|等于椭圆短轴的长。

用极坐标解题较好)以B为7一,

解：(此题MN是过焦点弦问题,

极点，FF2所在射线为极轴建立极坐标系。

______c2、笈b21

====

Va=3,六2应，6=^7=l/^-T5

[_

p=-空-------=---3-------

1—ecosS2有

1----cos8

椭圆的极坐标方程为3

11

I耳必=P11尸1加=02

3-2"cos。3+2"cosa

16

IMV|-02

3-242cosa3+2^2cosa9-8cos3a

——J—=2cosa=+—a=-^.a=—

令：9-8cos2a266

例3.过抛物线/=2px的焦点F作两条互相垂直的直线i।和i2,分别与抛

11

物线交于A、B点和C、D点（1）求证：两+两为定值；（2）求|AB|+|CD|的最

小值。

解：（1）以焦点F为极点，x轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则y2=2px

p=—J

的极坐标方程为1-ssS

R3fS

、几A/n\hilln/n\仇尸3,8+不）P（P4，,）

设A（Pi，。）则8（。2，。+兀），2,2

IAB\=0+G=——---F--——=2?

1-cosfi1+casflsi±i26

=

IS=Pi+C=7-^-7+.^rn二4^

1+sind1—sinueggg

l1_sin2flcojd_1

|月B|+|C02p+2pIp(为定值)

|明出口=2P-------N8P

(2)sinJflcosJ6sir?26

>a=-

当sir?20=l4时，等号成立，，最小值为8P

解评：抛物线直角坐标方程中p与极坐标方程中p相同，因此抛物线直角坐

标方程(原点为抛物线顶点)与极坐标方程(极点为抛物线焦点)互换极为容易,

过焦点弦问题用极坐标方程解决较好。

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［同步检测］

1.曲线的极坐标方程P=4sin0化为直角坐标方程为()(98年全国高考题)

A.x2+(y+2)J4B.x2+(y-2)2=4

C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4

2.已知点P的坐标为(1,n),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程

为()(94年上海高考题)

A.p=1B.p=cos6C.Pcos0=-1D.Pcos0=1

3.°\S+R的半径和圆心的极坐标分别为()

2.<2.->2,<2.--)

A.3B.3

1T兀'

Cl,vI,n.一)

C.3D.3

16

4.双曲线'=3-5COSO的顶点坐标是()

A.(8,0),(2,U)B.(-8,0),(2,n)

C.(-8,0),(-2,n)D.(8,0),(-2,n)

21

5.椭圆°=5-2cos®的长轴长,短轴长,短轴上顶点

的坐标_______，焦点坐标,准线方程o

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［强化练习］

~^AOB=—

1.设椭圆&b（a>b>0）,A、B为椭圆上任意两点，且2（其

11

中。为坐标轴原点），求证：I四'+|。『为定值。

2.设有一彗星，围绕地球沿一抛物线轨迹运行，地球恰好位于这轨迹的焦点

处。当此彗星离地球为d万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角

tr

为了，求这彗星运行中与地球的最短距离。

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同步检测答案：

1.B2.C3.C4.B

提示：

1.P2=4pcos。x'+y'-4x=0x*12+*(y-2)2=4故选B；

2.把P=l,0=n代入方程，只有C成立；

,,.一、-=2ri(cosflcos--sinffsin—〉,

3.化为直角坐标方程"P33得

/+,…折=0,（X育+。+亍）2=1半径『］,圆心1.当

"-亍化为极坐标

（1.“力

3.故选C。

—c=—5

a3

—白=—16

4.a3a=3,b=4,c=5顶点A(c-a,兀)A'(-(a+c),0)

5

<b=J21

c=2

，2a=10,2B-2屈

短轴上顶点坐标为""-"8°*〉，焦点（°,0）

(4,0),准线

c21cb'c29

ptos&=--pcas0=—+2c=—

2或c2

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强化练习解答：

f+E=1

1.解『8’化为极坐标方程x=Pcos。，y=Psin0,得

a_♦♦

b*12P2cos26+a2p2sin20=a2b2,即'a，c"e+a2an.2e

）（）

[11i>222-2/n,t?COS’（。+—+/Slil2x3H---

----1---4-----1----=---1--+---1--=-b---c--o-s----S--+--4----s-i-n----0--§■-----------'--2------，-------------------2--

|网2|。利屋外2。出正

b2（cos2£+sin?驴+/（sm2§+cos3g）b2+d2

=-------------否-------------=w]淀管

2.解：以地球所在位置为极点，抛物线对称轴为极轴建立极坐标系，设抛物

线方程为,=匚焉

L兀

I目=一

36江2-百

・・•♦d在抛物线上,故内内一。。吩=--c。铲丁&；

{&=—

又：（…也可能在抛物线上故*'（一侬/^-

2-召.

•••抛物线上各点中顶点离焦点最近，...慧星与地球最短距离为丁-

（万公里）或4（万公里）。

3.解：以F为极点，过F而垂直于I,方向向右为正建立极坐标系。

（n>0.--<—）

⑴设N（p,o）,22，过F作FKJ_I于K,设|FK|=p,

|炳=上一_,,,|孙=上一"

cos®,（其中|FN|=P）,仙08

1——cos5

①若尸，即0<p<l时，N的轨迹为双曲线P右

支的一部分（如右图）。

②若尸，即p=l时，N的轨迹为抛物线P一部分

（如右图）。

0<—<11——cosS

③若P即p>l时，N为椭圆P的一部分。

|MM|=—^―+——--------=------------------------=---------------------------r

整一可

，。团1-1ca^coscos^OSS_^2+PL

n

-cosff=-

①若0<p<2时，则2时，|MN|Bi„=4

p2

②若p>2时，则cos@=l时，P-1

极坐标-型例题分析

发布时间：2005年7月24日14时58分

例1点M（l,口）是否在曲线C：P（3-4cos。）=1上，为什么？

分析点M（l,口）的极坐标可以有无数种表示形式，点M是否在曲

线C上，只要点M有其中一个极坐标满足方程.

解由1•（3-4cos冗）W1不能判断点M不在曲线C上，

•.•点M（l,n）,即是M（T,211）

且T•（3-4cos2n）=1

.,.点M（l,口）在曲线C：P（3-4cos0）=l上.

说明解此题要注意“点和极坐标”的“一多对应”特性，适合曲

线的极坐标方程的每一对有序实数（P,0）所确定的点一定在此曲线

上，但此曲线上点的坐标不一定全适合此方程.

例2化下列极坐标方程为直角坐标方程.

（DP=1+二。C2）P=0

分析要利用PcosO=x；Psino=y；PWy,进行转化

解（DP-袅石O2PC-8=1

^2PWe=P（P>Q）

・•.斯羯直用坐标方程知2-=67了8#8

（2）原方程OP=-6cot0c«c8«-P-~Q

=Psir？0=16cos0

当PWO时，两边乘以P:P'sir?0=-6Pcos0

即：y'=-6x(xW0)

当P=0时，原方程有解，曲线过原点.

所得直角坐标方程为：y2=-6x.

说明化极坐标方程为直角坐标方程时，要注意变形的等价性，特

别要检查极点是否在曲线上.这是因为在变形过程中，通常要用P去乘

方程的两轴以及电8中有寸噬限制.对于(1)曲线P=.1-

zl+co«2o

不过极点，在得至lj2P2cos2e=P后，如不限制P>0,则原点在曲

线

21巧寸上硼F了等价性I对于⑶如果直接需过侬的曲线

P+6cot9c«0或P=Q6A,再fl减p而8­得到丁=

因为原点不在曲线y=$上，而导致两个方程不等价.

2Z.

例3已加直线的横坐标方程为P面(8+：)=孝，则极点到谟

42

直线的距离是

分析由极坐标的定义，P（P>0时）或|p|（pV0时）为曲线上点

到极点的距离，因此可求Ip的最小值，另一种方法是化直线的极坐标

方程为普通方程，再利用点到直线的距离公式求解.

Utt-由孚，

42

亚

fflP,=FR

二当恒《。+。1=1时，IPI有最小值q.

，视点到直线的距离为卓.

帽二•.卬须8+：）=，

C兀c页里

P（aQ9co»—+co«6iQ—）=—

Tr4

/.Psin9+Pcos6=1.

.•.直线的直角坐标方程是x+y-l=0

点到直线的距肉力塔驾-孝

说明解法一需要对极坐标的概念有较深刻的理解；解法二的关键

一步是化极坐标方程为直角坐标方程，这是解决极坐标问题的常用方

法.

碑点4曲iffl*昌=1上，0为原点，0A10B,京距

急*原为定值，

分析如图3-3,|OAL0B|是从原点出发的两条线段的长度，启

发我们把椭圆方程化为极坐标方程后，利用极径的意义求解.

解以原点为极点，ox为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程

是，

由OAiOB,碰设MPi，。)，B(Pa,a+—)

■1I11

"^WPT^PT

cos3a+An‘aanaa+＜：■*a

=*b5

=*营墟值.

说明对有心圆锥曲线，若涉及曲线上的点与中心连线的问题，则

通常以中心为极点，对称轴为极轴建立极坐标系；若涉及抛物线顶点弦

的问题，则通常以顶点为极点，对称轴为极轴建立极坐标系.

极坐标-例题

发布时间：2005年7月24日14时46分

例13-2-1①把点MK极坐标(5,争fl减直角坐标,

(2)把点N的直角坐标(-3,4)化成极坐标；

(3)化曲线E的极坐标方程：kPcos29+3Psin2。-6cos。=0为直角

坐标方程，并说明曲线的形状.

解(1)设M的直角坐标为(x,y),贝IJ

c4兀5.c4兀5J3

K-pcos0-5co«----y■Pin0-5MI-3^-——

32,32

故3的直角坐标为(-全-挈).

◎脚球的旗断为(P,8),则研T，且。

知f二刎R角.所乩8-兀-atidig：.

故N点横坐标为(5,兀-皿83

(3)在方程kpcos20+3Psin29-6cos0=0两边同乘以P得

kP2cos20+3P■sin2。-6Pcos。=0

用x=Pcos。，y=Psin9代入得

kx2+3y2-6x=0

因极点在曲线上，则原点也满足方程.

当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；

3

_______________/

当味曲缀为1181—^+孑

Fk

3

"-PA/

当/0时，前线为双前线T--3T.

k?k

注(i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为

断的*fr.融Q,Q睢时，血8咤

的值，再由(x,y)所在象限确定。为第几象限角，得出0的值.

(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以P,

使方程中出现P2,PCOS0,psino.以便直接代入公式转化.

但应考查P=0时的点是否在曲线上.

例13-2-2已知锐角NAOB=2a内一动点P,过P向角的两边0A,

0B

作垂线，PML0A于M,PN_LOB于N.当四边形PMON面积为定值

a,时，求P点的轨迹.

解如右图，以0为极点，ZA0B的平分线为极轴建立极坐标系.设

P点坐标为(P,9)(-a<0<a,p>0).则NM0P=a-6,ZP0N=

a+0.所以

0M=Pcos(a-9),PM=Psin(a-0)

0N=Pcos(a+0),PN=Psin(a+0)

于是SPMON-SAPOM+SAPON

-JpicoKCL_8)i<a-8)+；p1col(a+8)6«a+8)

1

■，[轲p

2a-20)*sm(2a+20)]Wn2acos2B

2

由题设知

P72a7

An2a•cos28-aaOPacos29"_

2m2a

OPacosJ0-PJ而,0-一g.

sin2a

用M・P皿8,LP血8代入得P点轨迹的戳I方程

一_r・_^_

“in2Q

故P点轨迹为以。为中心，ZA0B的平分线所在直线为对称轴，

长.短件长埒丸上和再轴双曲线夹在NAQB内的部分.

注与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求

轨迹方程较方便.在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易.

例13-2-3已知椭圆(x-2)2+4y2=4.P为椭圆上一动点，。为原点，

以0P为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△0PQ.求Q点

轨迹方程.

3

5c

解以。为极点，Ox为极轴建立极坐标系.

化椭圆方程(x-2T+4y2=4为

x?+4y2-4x=0

用x=Pcos0,y=Psin0代入得椭圆的极坐标方程

P2cos'0+4P'sir?9-4Pcos0=0

设Q,P两点的极坐标分别为（P,0）,（P',O'）.

ttP-J2p't0-♦+1,即P,•*P,

0,«0-----,

4

因点P在椭圆上，故

◎,■cn企，.■C冗

（亍P尸CO?（8-G*4（~ypyjii?（e——）

O-j（PCM。+P而0）1*（Paa6-pcos9/-2（PcosB4*Pan6）-0

A

用x=Pcos。，y=Psin0代入上式得

7（K*y）a*（y-x）1-2（B*y）-0

4

OH+5y'-6q-8K-8y-0

这就是点Q的轨迹方程.

注因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方

程.又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便.

M3-2-4

焦距.

解［法T设长轴两端点为Al,A2,其极坐标为(P1,0),(p2,n),

则

p.■-------5,P---------

13-2')3*2

8^WtK2a=Pi+Pi=6,®E2c=p1-Pa=4,afcfe2b=2/^P；=2^.

5

W

-------为P.

3-2c«eI-^-co«6

5

2

2

3

故长忖长.斓长.常距分刖方6,264.

例13-2-5诩胤吗+/=晌左耐力^婚触时域丽品鸟

为右焦点；ZMF,F2=a.若|MN|等于椭圆短轴长，求a(OWaVn).

解由=lfta=3,b=Lc=242.=

尊,

3c4

以左焦点B为极点，射线FE为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

坐标方程为P.EF，即

p---------=--------

3-2五CM0

设M点的极坐标为(Pi,a)则N点极坐标为(p2,n+a).于是

IMNJ-P^P,---------------+-----1------------5^—

3-2j5co«a3+2点ea9-8“a

由题设%l|Mh1-2b-2.所以

6--，

--------j-T"'20COSa-t—

9-8“a2

E)/冗-5瓦

因0<a<兀,故a-w或,去■.

66

注对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点,

建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解

极坐标•例题

发布时间：2005年7月24日14时46分

例13-2-1⑴把点投坐标(5,等汹成直角坐标,

(2)把点N的直角坐标(-3,4)化成极坐标；

(3)化曲线E的极坐标方程：kPcos"9+3Psin'。-6cos。=0为直角

坐标方程，并说明曲线的形状.

解(1)设M的直角坐标为(x,y),贝IJ

g4兀5.4兀5^

K-Pcos9-5co*—y----y-Pin9-5«n—y--——

故的直触标为G，-吟.

口8),0P=gW・5,Ige且6

为第二象IR角，所以8■兀-0：.

故侬欲坐标为(5,兀-皿8》.

(3)在方程kPcos'0+3Psin2。-6cos0=0两边同乘以P得

kP'cos"0+3P-sin29-6Pcos0=0

用x=Pcos0,y=Psin0代入得

kxJ+3yJ-6x=0

因极点在曲线上，则原点也满足方程.

当k=0时，曲