2022-2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第10章空间直线与平面(基础、典型、新文化、压轴)分类专项训练(含详解)

第10章空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）

分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2021♦上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线/与平面a没有公共点”是“直线/与平面a平行”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2022•上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（）

A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件.

二、填空题

3.（2021•上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体A瓦GR的所有棱中，既与A8共面，又与CG

共面的棱的条数为.

4.（2021・上海・华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三点确定个平面.（填数字）

5.（2022.上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是

6.（202卜上海•西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有.

7.（2021•上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体A8CO-ABG。中，异面直线A4

与BG所成角的大小为.

8.（2022・上海虹口•高二期末）在正四面体ABCO中，直线3c与AD所成角的

大小为•

9.（202卜上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有条直线与该直线垂直.

10.（2021•上海市宝山中学高二阶段练习）若平面a〃平面尸，aua,bu/3,则直线“和b的位置关系是

11.（2020・上海松江•高二期末）已知正方体ABCO-48C2的棱长为“，异面直线8。与A冉的距离为

12.（2022•上海・复旦附中高二期中）棱长为1的正方体中，异面直线与4G之间的距离为

13.（2021•上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体ABC。-A4GA的棱长为1,则异面直线A8与。片

之间的距离为.

三、解答题

14.（2021・上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥P-ABC中，已知平面

ABC,PA=3,PB=PC=BC=6.求二面角P-8C—A的正弦值

【典型】

一、单选题

1.（2021•上海•闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（）

A.同B.（°目。。・［吟

2.（2021.上海.高二专题练习）若“、6是异面直线，则下列命题中的假命题为（）

A.过直线。可以作一个平面并且只可以作一个平面a与直线平行

B.过直线。至多可以作一个平面a与直线b垂直

C.唯一存在一个平面a与直线。、方等距

D.可能存在平面a与直线a、b都垂直

3.（2021.上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面a,£和两条直线a,",下列命题中真命题是

A.若zwla,加1及，则〃//aB.若加//a,al夕,则WJ_L/7

C.若，〃//a,“〃£,a_L£,则机_L〃D.若加_L_L?,a_1■夕，则/〃_L”

二、填空题

4.（2021•上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线a与6成60。角，若c//a，则c与》所成的角等于

5.（2021・上海南汇中学高二阶段练习）二面角a-"£为60,异面直线。、b分别垂直于a、P，则。与6

所成角的大小是一

三、解答题

6.（2019♦上海•华师大二附中高二阶段练习）在正方体A/B/C/。/-ABC。中，E、尸分别是BC、4/。/的中点.

（1）求证：四边形B/EE尸是菱形;

（2）作出直线4c与平面B/EFQ的交点（写出作图步骤）.

【新文化】

一、填空题

1.（2021.上海.华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍蔑，中国古代算数中的一种几何形体，《九章

算术》中记载：“刍技者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，费，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,

顶部只有长没有宽为一条棱.刍登字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形A8CZ）为矩

形，AADE和ABC尸都是等腰三角形，AE=ED=BF=CF=®AD，EF//M,若A8=3EF,且">=2EF,

则异面直线AE与C尸所成角的大小为.

【压轴】

1.（2021•上海•西外高二期中）三棱锥P-ABC满足：ABVAC,ABVAP,AB=2,AP+AC=4,则该

三棱锥的体积V的取值范围是

第10章空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）

分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2021♦上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线/与平面a没有公共点”是“直线/与平面a平行”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.

【详解】若直线/与平面a没有公共点，那直线/与平面a只能平行，故充分条件成立；若直线/与平面a平

行，则直线/与平面。没有公共点，故必要性也成立，所以“直线/与平面a没有公共点''是"直线/与平面a平

行”的充分必要条件.

故选：C

2.（2022•上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（）

A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分又非必要条件.

【答案】A

【分析】空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面,

前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者.

【详解】解：空间四个点中，有三个点共线，

根据一条直线与宜线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，

前者可以推出后者，

当四个点共面时，不一定有三点共线，

后者不一定推出前者，

••・空间四个点中，有三个点共线是这四个点共面的充分不必要条件，

故选：A.

二、填空题

3.（2021♦上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体ABC。-A旦GR的所有棱中，既与A8共面，又与CG

共面的棱的条数为.

【答案】5

【分析】有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可得答案,

【详解】解：如图，满足条件的有3C,DC,BB},AA，D,C,,

故答案为:5.

4.（2021.上海.华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三点确定

个平面.（填数字）

【答案】1

【分析】由空间几何的公理求解即可

【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面

故答案为：1

5.（2022.上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是

【答案】异面

【分析】根据异面直线的定义，直接判断.

【详解】不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是异面.

故答案为：异面

6.（202卜上海•西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有.

【答案】平行、相交、异面

【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.

【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.

故答案为：平行、相交、异面.

7.（2021•上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，异面直线A用

G

与BC,所成角的大小为.

jr

【答案】60°##1

【分析】连接QG，8。，由正方体的结构特征知：OCJ/A与凡△8OG为等边三角形，即可知异面直线AB1

与BG所成角.

【详解】连接。G，8。，由正方体的结构特征知：DCJ/AB、、

AOG与BQ所成角即为异面宜线AB,与所成角，又上BDC,为等边三角

二£>C,与BG所成角60°,即异面直线A片与BC,所成角为60°.

故答案为：60°

8.（2022・上海虹口•高二期末）在正四面体ABCD中，直线8c与A。所成角的大小为

TT

【答案"

【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.

如图所示,

取8C中点E,连接AE,DE,

由已知4BCD为正四面体，

则AABC,△DBC均为正三角形,

所以AE_LBC,DELBC,

所以BC_L平面ADE,

故SC_LAD,

TT

即直线BC与直线A£＞的夹角为7，

故答案为：—.

2

9.（2021•上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有条直线与该直线垂直.

【答案】无数

【分析】根据点和直线、直线和直线的位置关系即可得出结果.

【详解】空间中过直线外一点可以作无数条直线与该直线垂宜.

故答案为：无数

10.（2021•上海市宝山中学高二阶段练习）若平面a〃平面夕，aua,bu/3,则直线。和匕的位置关系是

【答案】异面或平行

【分析】利用分别在两个平行平面内的两个直线没有公共点即可判断作答.

【详解】因平面a〃平面分，则平面a与平面乃没有公共点，而aua,bu0、于是得直线。和b没有公

共点，

所以直线。和人是异面直线或者是平行直线.

故答案为：异面或平行

11.（2020・上海松江・高二期末）已知正方体ABCO-A8CQ的棱长为“，异面直线8。与A4的距离为

【答案】a

【分析】根据线面垂直性质可得又8旦，4旦，可知所求距离为8瓦，从而得到结果.

【详解】

AB

BB、_L平面ABCD,8£>u平面ABCD网1BD

又BBt1AA异面直线BD与之间距离为BB,=a

故答案为“

【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.

12.（2022•上海•复旦附中高二期中）棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为.

【答案】1

【分析】根据题意，证得且A旦，BC，得到A片为异面直线A。与Bg的公垂线，即可求解.

【详解】如图所示，在正方体4BCO-A4GR中，

可得4用1平面ADRR,A,B,1平面BCC国,

因为AQu平面，4Gu平面BCGA,

所以A41A。且4耳J_8C，

所以44为异面直线与BC的公垂线,

又由正方体的棱长为1,可得A4=I，

所以异面直线A,D与B,C,的距离为1.

故答案为：1.

（2021•上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体A8CO-ABC。的棱

长为1,则异面直线A8与0,8,之间的距离为.

【答案】1

【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案•

【详解】如图：

c.

与AB、BQ均垂直，，8片即为两异面直线的距离,

故答案为：1

三、解答题

14.（2021•上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥尸-ABC中，已知平面

ABC,PA=3,PB=PC=BC=6.求二面角P-3C-A的正弦值

【答案】曲

3

【分析】取BC的中点D,连结PD,AD,根据线面垂直关系可知NPD4即为二面角P-8C-A的平面角，根

据所给边长关系可求得NPD4的正弦值.

【详解】

取BC的中点D,连结PD,AD

VPB=PC:.PDLBC

'：PA_L平面ABC,

二_L3c且BC_L面PAO

即BC_LA£>

NPZM即为二面角P—BC—A的平面角

,?PB=PC=BC=6

.・・PD=—X6=373

2

sinNPDA=B=2=立即二面角「一3C-A的正弦值是立

PD3633

【点睛】本题考查了二面角的求法，关键是找到二面角的平面角,属于基础题.

【典型】

一、单选题

1.（2021・上海・闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（）

A.[0,-JB.[0,-j。・[叼JD-[-2.

【答案】B

【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.

【详解】由异面直线所成角的定义可知，过空间一点分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的面角或锐

角为异面直线所成角，所以两条异面宜线所成角的取值范围是（0,^].

故选B.

【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角，需要学生熟知异面直线的定义以及性质，考查了转化思想，

属于基础题.

2.（2021・上海•高二专题练习）若人是异面直线，则下列命题中的假命题为（）

A.过直线〃可以作一个平面并且只可以作一个平面a与直线b平行

B.过直线。至多可以作一个平面a与直线匕垂直

C.唯一存在一个平面a与直线。、〃等距

D.可能存在平面a与直线a、6都垂直

【答案】D【分析】在A中，把直线匕平移与直线。相交，确定一个平面内平行于6；在B中，反设过直线

。能作平面a、夕使得b_La、b，0,推出矛盾；在C中，过异面直线。、b的公垂线段的中点作与该公

垂线垂直的平面可满足条件：在D中，若存在平面a与直线a、6都垂直，贝!I。//从

【详解】在A中，由于。、方是异面直线，把直线b平移与直线。相交，可确定一个平面，这个平面与直线

b平行，A选项正确；

在B中，若过直线。能作平面a、/使得6_La、则a〃万，这与ac尸="矛盾，

所以，过直线。最多只能作一个平面。与直线b垂直，由“ua,可得，_La,

当直线。与〃不垂直时，过直线“不能作平面与直线〃垂直，B选项正确；

在C中，由于。、b是异面直线，则两直线的公垂线段只有一条，过该公垂线段的中点作平面a与该公垂线

垂直，这样的平面a有且只有一个，且这个平面a与直线。、6等距，C选项正确：

在D中，若存在平面a与直线“、6都垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得a〃。，D错误.

故选：D.

【点睛】本题考查命题真假的判断，着重考查与异面直线相关的性质，考查推理能力，属于中等题.

3.（2021•上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面a,£和两条直线也〃，下列命题中真命题是

A.若加la,加1〃，则///aB.若m//a,al夕，则机_L£

C.若〃〃/a,〃//£,aJ_£,则D,若加110aJ■夕，则〃?"L”

【答案】D

【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断.

【详解】A中〃可能在a内，A错；B中机也可能在户内，B错；机与〃可能平行，C错；m±a,aL/3,

则或M2〃），若，〃u尸，则由"_L/?得"_Lm,若加//，则夕内有直线c//〃z,而易知c_L〃，从而加_L〃，

D正确.

故选D.

【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例.说明命题是正确时必须

证明.

二、填空题

4.（2021.上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线“与匕成60。角，若c〃a，则c与匕所成的角等于

【答案】60°

【分析】由已知可得c与人相交或异面.分两种情况，根据异面直线所成的角的概念结合平行公理即可得出

结论.

【详解】涉异面，c〃a,与人相交或异面.

当c与b相交时，根据异面直线。与b所成角的概念可知。与匕所成的角为60。角；

当c与人异面时,6空间不在"c上的一点分别作a泊的平行线m//a,n//b.

c//a,mile,

根据异面直线所成角的定义，相交直线机，〃所成的不超过直角的角既是异面直线”与b所成的角，乂是异面

直线c与人所成的角，根据异面直线〃与人成60。角，故异面直线c与〃所成的角为60。角.

故答案为:60°.

5.（2021・上海南汇中学高二阶段练习）二面角a-/-£为60,异面直线。、方分别垂直于a、p,则。与b

所成角的大小是一

【答案】60

【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线。、方分别垂直于a、夕两个平面，

则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角a-/-/7为&T，故异面直线所成角与二面角相

等，即可得到答案.

【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质

设异面直线〃、6的夹角为0

•.•二面角£-/-4为60,异面直线。、b分别垂直于a、B

则两条直线的夹角和二面角相等或互补，，6=60。

故答案为60

【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.

三、解答题

6.（2019•上海•华师大二附中高二阶段练习）在正方体A/B/C/Q/-ABCQ中，E、F分别是BC、A/。的中点.

（1）求证：四边形B/即产是菱形；（2）作出直线A/C与平面B/EF。的交点（写

出作图步骤）.

【分析】（1）取4。中点G,连接FG,BG,可证四边形8/8GF为平行四边形，四边形BEDG为平行四边

形，得到四边形8/EQF为平行四边形，再由AB/BE丝△8/A/F,可得/人得到四边形B/ECF是菱形;

（2）连接A/C和AC,则A/C与AC/的交点。，即为直线A/C与平面8/EFO的交点.

【详解】（1）证明：取AD中点G,连接FG,BG,如图1所示，

贝IJB/B〃尸G,B,B=FG,

.••四边形B/BGF为平行四边形，则8G〃8/F,

由ABC。为正方体，且E,G分别为BC,AC的中点,

可得BEDG为平行四边形，:.BG//DE,BG=DE,

则8/F〃QE,且8/F=OE,

二四边形8/E£＞尸为平行四边形，由ABiBE咨AB,A/,可得/尸,

，四边形小EOF是菱形；

(2)连接4/C和4G,则A/C与AC/的交点0,

即为直线A/C与平面8/EFO的交点，如图所示.

【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题,