2021-2022学年吉林省长春市八年级（上）第二次月考数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年吉林省长春市宽城实验学校八年级（上）

第二次月考数学试卷

1.下列运算中，正确的是（）

A.a64-a2=a3B.—a2-a4=a6C.(ab)3=a3b3D.(a2)4=a6

2.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.%2+2x+3=(%+I)2+2B.(%+y)(x-y)=x2—y

C.x2—xy+y2=(x-y)2+xyD.2x-2y=2(x—y)

3.以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

4.等腰三角形的周长为20c“一边长为8a〃，那么腰长为（）

A.8cmB.IOC/HC.6cm或ScmD.12cm或Scm

5.如图，/.CAD=/.BAD,若依据“ASA”证明△ACD四△ABD,

则需添加的一个条件是（）

A.乙B=ZCB.Z.ADC=Z.ADB

C.AB=ACD.BD=CD

6.若(一2刀+£1)(>-1)的展开式中不含*的一次项，则”的值是()

A.-2B.2C.-1D.任意数

7.已知在△ABC中，4B>BC>AC.用直尺和圆规在边BC上确定一点P,使点P到

点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）

8.如图，将长方形纸片A8C。沿AE折叠，使点。恰好落在.

AnU

BC边上点尸处，若AB=6,AD=10,则EC的长为（）

A.2

B8

-

3

C

3

D

1-0

3

9.9的平方根是.

10.比较大小:V73.(选填“>”、或"=")

11.请举反例说明命题“对于任意实数x,M+6X+5的值总是正数”是假命题，你举

的反例是x=.(写出一个值即可)

12.若x+y=2a,x—y=2b,则/—y?的值为.

13.在△ABC中，ZC=90°,AD平分4B4C,BC=10,BD=7,则点。至UAB的距离

为.

14.如图，在5x3的正方形网格中，△4BC的顶点均在格点上，则

Z-ABC+Z-ACB=.

15.计算：/+口+|1-百|.

16.先化简，再求值：(y+2)(y-5)-(y-3)2,其中y=3.

17.若a+b=5,ab=3,求：

(1)求a?+的值；

(2)求a-b的值.

18.图①、图②均是6x5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C

均在格点上，在给定的网格中按要求画图.

要求：(1)在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等.

(2)在图②中画一个仆ACE使它与△ABC全等.

图①图②

19.如图，点D、A、C在同一条直线上，AB//CE,AB=CD,zfi=ZD,求证：AC=CE.

20.《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时.

如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A

正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距

离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？

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小汽车小汽车

B<»--.............................-°C

、、I

、I

、、I

--观--测---点---------

21.如图，点。是等边^ABC内一点，将C。绕点C顺时针旋转60。得到CD,连接OD,

AO,AD,

⑴求证：ABCO^^ACD.

(2)若NBOC=150。，OB=8,OC=6,求△力0D的面积.

22.仔细阅读下面例题解答问题

【例题】已知关于x的多项式/一轨+6有一个因式是Q+3),求另一个因式及

m的值.

解：设另一个因式为(x+n),

则好—4%+m=(x+3)(x+n),即产—4%+m=%2+(n+3)x+3n>.

北+3=-4解得产=-尸

v3n=min=-7

・•・另一个因式为(x-7),%的值为-21.

【问题】仿照以上方法解答下面问题：

(1)已知关于x的多项式/+7x+a有一个因式是(x-2),求另一个因式及〃的值.

(2)已知关于x的多项式2/+3x-％有一个因式是(％+4),求上的值.

23.教材呈现：如图是八年级上册数学教材第96页的部分内容.

3.角平分线

回忆

我们已经知道角是轴时称图形，角平分线所在的直

线是角的对称轴，如图1354,0C是ZAOB的角平分线,

P所示0C上的任意一点，作PD_OAFE_0B,垂足分别

为点D和点E,将NAOB沿OC对折，我们发现PD与PE

完全重合，由此即有：

角平分线的性质定理：角平分线上的在到角两边

的题离相等。

已知：如图，135%0C是ZAOB的平分线，点P是

0C上的任意一点，PD_OAFE_OB,垂直分别为点D

@13.5.4

和点E.

求证：PD=PE.

清写出定理------图中有两个直角三角形PDO和PEO,只要

的证明过程证明这两个三角形全等，即可证明PAPE.

为、第13章全等三角形

(1)请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过

程；

(2)定理应用：如图②，在四边形A5CQ中，NB=NC,点E在边8c上.AE平分

^BAD,OE平分乙1DC.求证：BE=CE.(添加辅助线，结合角平线性质和全等三角

形的知识)

图①图②

24.在等边三角形ABC中，点P从点B出发沿射线84运动，同时点。从点C出发沿

线段AC的延长线运动，P、。两点运动的速度相同，尸。与直线5c相交于点D.

(1)如图①，过点P作PE〃AC交BC于点E,求证：EP=CQ.

(2)如图②，过点P作直线8c的垂线，垂足为凡

①当点P在线段BA上运动时，求证：BF+CD=\BC.

②当点尸在线段54延长线上运动时，直接写出BF、CO与BC之间的数量关系.

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o

图①图②

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A、a6^a2=a4,故此选项错误；

B、-a2-a4=-a6,故此选项错误；

C、(ad)3=a3b3,正确；

D、(a2)4=a8,故此选项错误；

故选：C.

直接利用同底数塞的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、累的乘方运算法则分别计算

得出答案.

此题主要考查了同底数嘉的乘除运算以及积的乘方运算、塞的乘方运算，正确掌握相关

运算法则是解题关键.

2.【答案】D

【解析】解：4原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

氏原式变形是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；

C.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

D原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；

故选：D.

根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断

后利用排除法求解.

本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分.

3.【答案】C

【解析】解：A、不能，因为俨+22432；

B、不能,因为22+32n42；

C、能，因为32+42=52；

D、不能,因为42+52H62.

故选：C.

根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到三角形的形状.

22

解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形A8C的三边满足a?+b=c,则三角

形A8C是直角三角形.

4.【答案】C

【解析】［分析］

当腰长=8cni时，底边=20—8—8=4(cm)>当底边=8c?n时，腰长==6(cm),

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根据三角形的三边关系，即可推出腰长.

本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6c机为腰长还

是底边长.

［详解］

解：•••等腰三角形的周长为20cm,

二当腰长=8cm时，底边=20-8-8=4(cm),即三角形的三边长分别为：8cm,8CTH,

4cm；

:当底边=8cni时，腰长==6(cm),即三角形的三边长分别为：(>cm,6cm,8cm；

以上两组边长均可构成三角形；

二腰长为6cm或8c/n,

故选C.

5.【答案】B

【解析】解：•••^CAD=^BAD,AD=AD,

••・依据“ASA”证明△AC。丝△4BD,

需添加的一个条件是440c=乙4DB.

故选：B.

根据ZCAD=/.BAD,AD=40,再添力［U40C=即可依据"ASA''证明△力。。岭4

ABD.

本题考查了全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法.

6.【答案】A

【解析】解：(-2x+a)(x-1)

=—2x2+(a+2)x—a

r展开式中不含x的一次项，

••a+2=0,

a=-2,

故选：A.

先将多项式展开，然后令x的系数为0,求出。的值.

本题考查了多项式，熟练进行多项式乘以多项式运算是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：要使点P到点A、点B的距离相等，则作AB的垂直平分线.

故选：C.

根据线段垂直平分线的性质，作AB的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判

断.

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等

于已知角：作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线

).也考查了线段垂直平分线的性质.

8.【答案】B

【解析】解：•.•四边形A5CD是矩形，

•••AD=BC=10,AB=CD=6,

Z.B=乙BCD=90°,

由翻折可知：AD=AF=10,DE=EF,设EC=x,则OE=EF=6-x.

在Rt△ABF中，BF=y/AF2-AB2=V102-62=8,

CF=BC-BF=10-8=2,

在RMEFC中，EF2=CE2+CF2,

(6-x)2=x2+22,

故选：B.

由翻折可知：AD=AF=10.DE=EF,设EC=x,则DE=EF=6—x.在Rt△ECF中，

利用勾股定理构建方程即可解决问题.

本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关

键.

9.【答案】±3

【解析】解：•.•±3的平方是9,

9的平方根是±3.

故答案为：±3.

直接利用平方根的定义计算即可.

此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正

值为算术平方根.

10.【答案】<

【解析】解：•・・(夕)2=7,32=9,

7<9,

V7<3.

故答案为：<.

利用平方法比较大小即可.

本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键.

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11.【答案】一4(答案不唯一)

【解析】解：当x=—4时，%24-6x+5=(—4)2+6x(-4)+5=—3,

.••/+6x+5的值总是正数，是假命题，

故答案为：-4(答案不唯一).

把x=-4代入代数式，根据计算结果解答.

本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需

要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

12.【答案】4ab

【解析】解：1•,x+y=2a,x—y=2b,

■■■x2—y2=(x+y)(x—y')=2a-2b=4ab.

故答案是：4ab.

直接利用平方差公式代入求解.

本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结

果是相同项的平方减去相反项的平方.

13.【答案】3

【解析】解：如图，过力作。EJ.4B于E,

vBC=10,BD=7,

CD=BC-BD=3,

♦••“=90°,AQ平分4BAC,

:.DE=CD=3,

故答案为：3.

过。作CEL4B于E,根据角平分线性质求出DE=CD,即可得出答案.

本题考查了角平分线性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.

14.【答案】45。

【解析】解：方法一：如图，取格点。，连接40、CD,

根据网格和勾股定理，得

AD=DC=71?+2?=V5,AC=Vl2+32=V10,

•.AD2+DC2=AC2,

・•・AADC=90°,

:.乙DAC=45°.

・•・Z.DAC=乙ABC+AACB=45°.

故答案为：45°.

方法二：如图，取格点力，连接BD,

根据网格和勾股定理，得4B=Vl2+22=V5,AC=Vl2+32=V10>BC=5,

在△4BD中，AD=1,BD=Vl2+I2=V2,4B=遍,

竺—叱竺_叵_叱BC_5_V5

/£)-1'BD~y[2~lfAB一遍一1

AB_AC_BC

AD~BD~ABf

△ABCs^DAB,

:.Z-BAC=乙ADB=180°-45°=135°,

・•・/-ABC+Z.ACB=180°-135°=45°.

故答案为：45°.

方法一：根据网格和勾股定理可得三角形AOC是等腰直角三角形，再根据三角形外角

定义即可求出418c+44cB.方法二可以利用相似三角形的判定和性质可得结论.

本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，也可以利用相似三角形

的判定与性质、解决本题的关键是掌握勾股定理和其逆定理.

15.【答案】解：V4+V=8+|l-V3|

=2+(-2)+V3-l

=V3-1.

【解析】首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算

时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，

有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运

算律在实数范围内仍然适用.

16.【答案】解：原式=y2-5y+2y-10-(y2-6y+9)

=y2—5y+2y—10—y2+6y—9

=3y—19,

当y=3时,

原式=3x3-19

=9-19

=-10.

【解析】直接利用整式的混合运算法则化简，再合并同类项，把己知数据代入即可.

此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键.

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17.【答案】解：(l)・.・Q+b=5,ab=3,

・•・(a+b)2=25,

・•・a24-2ab+b2=25,

・•・Q2+川=25-2ab=25-6=19；

(2)va24-h2=19,a/?=3,

:.a2+廿-2ab=16,

A(a—b)2=16,

:・a一b=±4.

【解析】(1)直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；

(2)直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案.

此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键.

18.【答案】解：⑴如图①，△BCD即为所求;

图①图②

(2)如图②，AACE即为所求.

【解析】(1)根据网格即可在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等；

(2)根据网格即可在图②中画一个44CE使它与△4BC全等.

本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握平行线

的判定.

19.【答案】证明：-：AB//CE,

:.Z-BAC=/-DCE,

在△/8。和4COE中，

\LBAC=Z-DCE

AB=CD，

zB=4D

•••△ABC"CDE(ASA^

・•・AC=CE

【解析】只要证明△48C0△CDE,推出。4=CE即可.

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于

中考常考题型.

20.【答案】解：由勾股定理可得：BC=y/AB2-AC2=V502-302=40,

40米=0.04千米,

2秒=嬴小时・

1

0.04+——=72>70.

1800

所以超速了.

【解析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速.

本题考查勾股定理的应用，构造直角三角形，确定直角边，斜边求解.

21.【答案】⑴证明：MaBC是等边三角形,

・・・CB=CA,Z,ACB=60°,

vCO=CD,Z.OCD=60°,

:.Z.ACB=Z.OCD,

:.Z.BCO=Z-ACD,

在△BCO和△ACD中，

CB=CA

Z.BCO=Z.ACD,

CO=CD

BCOmAACD(SAS).

(2)解：•/BCO冬〉ACD,

:.BO=AD=8,乙BOC=Z.ADC=150°,

・・・CO=CD,Z,OCD=60°,

ODC是等边三角形，

二OD=OB=6,Z-ODC=60°,

Z-ADO=150°-60°=90°,

：•S^ADO=?40・D°=24.

【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可.

(2)证明440。=90°,AD=OB=6,OD=OC=6,可得结论.

本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的

面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

22.【答案】解：(1)设另一个因式为(x+n),

则+7%+a=(%—2)(%+n),即/+7x4-a=%24-(n-2)x—2n,

所以"2=7,

l—2几=a

解得：n=9,a=-18,

所以另一个因式为x+9,。的值为-18；

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(2)设另一个因式为(2%+九)，

贝Ij2/+3%—k=(%+4)(2%+九)，即2/+3%—fc=2x2+(n+8)x+4n,

所以『8=

Un=-k

解得：n=-5,k=20,

所以Z的值为20.

【解析】(1)设另一个因式为(x+九)，根据多项式乘以多项式法则展开得出/+7%+

a=x2+(n-2)x-2n,得出方程，求出方程的解即可；

(2)设另一个因式为(2x+n),根据多项式乘以多项式法则展开得出2/+3x-k=

2x2+(n+8)x+4n,得出方程，求出方程的解即可.

本题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解等知识点，能得出方程是解此题的关键.

23.【答案】(1)解：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；

己知：0c是乙4OB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD1OA,PE1OB,垂足分

别是点。和E;

求证：PD=PE-.

证明：:OC是NAOB的平分线，

乙P0D=乙POE,

vPD1OA,PE1OB,

•••乙PDO=4PEO=90",

在小POD^IlAPOE中，

2P0D=Z.POE

Z.PDO=乙PEO,

.OP=OP

•••△POD芸POE(AAS),

：.PD=PE；

(2)定理应用：幺

证明：过E作EF14B于凡七6,4。于6,EHJ.CD于H,/V\Q

ME平分/BAD,QE平分N/WC,F

：.EF=EG=EH,BEC

在ABE尸与ACEH中，图②

ZB=ZC

Z.BFE=乙CHE=90°,

EF=EH

BEF丝△CEH(44S),

:•BE=CE.

【解析】(1)证明△POD以P0EQ