2021-2022学年江西省萍乡市中考试题猜想数学试卷含解析及点睛

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.二次函数丫=2*2+（:的图象如图所示，正比例函数y=ax与反比例函数y=£在同一坐标系中的图象可能是（）

x

2.在数轴上到原点距离等于3的数是（）

A.3B.-3C.3或-3D.不知道

3.根据文化和旅游部发布的《“五一”假日旅游指南》，今年“五一”期间居民出游意愿达36.6%,预计“五一”期间全

固有望接待国内游客1.49亿人次，实现国内旅游收入880亿元.将880亿用科学记数法表示应为（）

A.8x107B.880x10**C.8.8xl09D.8.8xlO10

4.若抛物线y=/-3x+c与y轴的交点为（0,2）,则下列说法正确的是（）

A.抛物线开口向下

B.抛物线与r•轴的交点为（-1,0）,（3,0）

C.当x=l时，y有最大值为0

3

D.抛物线的对称轴是直线x=」

2

—4）（04x<2）

5.如图，函数y=（J,八的图象记为ci,它与x轴交于点O和点Ai；将ci绕点Ai旋转180。得C2,交

-2x+8（2<x<4）

x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180。得C3,交x轴于点A3…如此进行下去，若点P（103,m）在图象上，那么m的

值是（）

D.4

6.如图1,点尸从AABC的顶点A出发，沿A-3-C匀速运动，到点C停止运动.点尸运动时，线段AP的长度y

与运动时间x的函数关系如图2所示，其中。为曲线部分的最低点，则AA5C的面积是（)

8.下列运算正确的是（）

B.cr»a—a'C.(3ab)2=6a2b2D.a6-i-aJ=a2

9.如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是（）

10.如图，在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,点D在BC上，BD=3,DC=1,点P是AB上的动点，则PC+PD的

最小值为（）

BDC

A.4B.5C.6D.7

11.如图是二次函数y=ax?+bx+c(a#))图象如图所示，则下列结论，①c<0,②2a+b=0；③a+b+c=O,@b2-4ac<0,

其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4

12.某城2014年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，到2016年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增

长率为x,由题意所列方程正确的是().

A.300(1+%)=363B.300(1+xf=363C.300(1+2x)=363D.300(1-x)2=363

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图，二次函数y=ax2+〃x+c(a/))的图象与x轴相交于点A、B,若其对称轴为直线x=2,则OB-OA的值为.

14.近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了

“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班的学生成绩统计如下：

成绩(分)60708090100

人数4812115

则该办学生成绩的众数和中位数分别是()

A.70分，80分B.80分，80分

C.90分，80分D.80分，90分

15.数学的美无处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦,

如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐.例如，三根弦长度之比是15：12：10,把它们绷得一样

紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so,研究15、12、10这三个数的倒数发现：

=我们称15、12、10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x,5,3(x>5),则x的值是.

12151012

16.因式分解：x2-3x+(x-3)=.

17.若关于x的方程kx2+2x-l=0有实数根，则k的取值范围是.

18.已知点A(xi,y。、B(X2,yz)在直线y=kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当xiVx?时，yi与yz的大小

关系为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）先化简，再求值：方——1其中x的值从不等式组L）的整数解中选取.

B+X）x2+2X+1[2%-1<4

20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数乂=以+优。工0）的图象与）'轴相交于点A，与反比例函数

%=K（&HO）的图象相交于点B（3,2）,C（-l,n）.

x

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出,〉%时，x的取值范围；

（3）在y轴上是否存在点尸，使为等腰三角形，如果存在，请求点P的坐标，若不存在，请说明理由.

21.（6分）如图，矩形ABCD绕点C顺时针旋转90。后得到矩形CEFG,连接DG交EF于H,连接AF交DG于M；

（1）求证：AM=FM；

DG

（2）若NAMD=a.求证：---=cosa.

AF

A士D

BCG

22.（8分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E,交BA的延长线点F.问:

图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；求证：AAPEsaFPA；猜想：线段PC,PE,PF之间存在什么关系？

并说明理由.

23.（8分）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字2、3、4（背面完全相同）,

现将标有数字的一面朝下.小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和

小亮抽得的两个数字之和.请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率.如果和为奇数，则小明胜；若

和为偶数，则小亮胜.你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由.

24.(10分)如图，对称轴为直线x=-l的抛物线丫=僦2+6*+(：伍/0)与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐

标为(—3,0).

(1)求点B的坐标；

(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.

①若点P在抛物线上，且$语=4$^^，求点P的坐标;

②设点Q是线段AC上的动点，作QD_Lx轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.

25.(10分)综合与探究

如图，抛物线y=-@/一拽彳+6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,直线I经过

33

B,C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM,将线段MC绕点M顺时针旋转

90。得到线段MD,连接CD,BD.设点M运动的时间为t请解答下列问题：

(1)求点A的坐标与直线1的表达式；

(2)①直接写出点D的坐标(用含t的式子表示)，并求点D落在直线1上时的t的值；

②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；

(3)在点M运动的过程中，在直线1上是否存在点P,使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标;

备用图

26.(12分)如图，已知AC和BD相交于点O,且AB〃DC,OA=OB.

求证：OC=OD.

27.(12分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，直线y=kx+b交BC于点E(1,m),交AB于点F

]YI

(4,-),反比例函数y=—(x>0)的图象经过点E,F.

2x

(1)求反比例函数及一次函数解析式;

(2)点P是线段EF上一点，连接PO、PA,若△POA的面积等于△EBF的面积，求点P的坐标.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

根据二次函数图像位置确定a<O,c>0,即可确定正比例函数和反比例函数图像位置.

【详解】

解：由二次函数的图像可知a<0,c〉0,

.•.正比例函数过二四象限，反比例函数过一三象限.

故选C.

【点睛】

本题考查了函数图像的性质，属于简单题，熟悉系数与函数图像的关系是解题关键.

2、C

【解析】

根据数轴上到原点距离等于3的数为绝对值是3的数即可求解.

【详解】

绝对值为3的数有3,-3.故答案为C

【点睛】

本题考查数轴上距离的意义，解题的关键是知道数轴上的点到原点的距离为绝对值.

3、D

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中10a|VlO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【详解】

880亿=88000000000=8.8x101°,

故选D.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl()n的形式，其中收回＜10,n为整数，表示时关键

要正确确定a的值以及n的值.

4、D

【解析】

A、由a=l＞0,可得出抛物线开口向上，A选项错误；

B、由抛物线与y轴的交点坐标可得出c值，进而可得出抛物线的解析式，令y=0求出x值，由此可得出抛物线与x

轴的交点为(1,0)、(1,0),B选项错误；

C、由抛物线开口向上，可得出y无最大值，C选项错误；

IK由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线x=-士，D选项正确.

2

综上即可得出结论.

【详解】

解：A、Va=l＞0,

二抛物线开口向上，A选项错误；

B、•.•抛物线y=xL3x+c与y轴的交点为(0,1),

:.c=l,

.••抛物线的解析式为y=x'-3x+l.

当y=0时,有x'-3x+l=0,

解得：Xl=l,Xl=l,

.•.抛物线与X轴的交点为(1,())、(1,0),B选项错误；

C、•.•抛物线开口向上，

，y无最大值，C选项错误；

D、•.•抛物线的解析式为y=xl3x+L

...抛物线的对称轴为直线x=-2=-二=』，D选项正确.

2a2x12

故选D.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函

数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键.

5、C

【解析】

求出G与X轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在X轴上方，然后求出到抛物线65平移的距离，再根据

向右平移横坐标加表示出抛物线的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解.

【详解】

令y=0,则｛1°=°，

--2%+8

解得玉=0,赴=4,

・•.A(4,o),

由图可知,抛物线。26在X轴下方，

相当于抛物线G向右平移4x(26-1)=100个单位得到得到c25，再将C25绕点A”旋转180。得C26,

•••C2b此时的解析式为尸(x-100)(xT00-4尸(x-100)(x-104),

•••PCI03,加)在第26段抛物线。26上，

•••m=(103-100)(103-104)=-3.

故答案是：C.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是根据题意得到P点所在函数表达式.

6、B

【解析】

过点A作AMLBC于点M,由题意可知当点P运动到点M时，AP最小，此时长为4,

观察图象可知AB=AC=5,

:.BM=7AB2-AM2=3，BC=2BM=6,

ASAABC=—BC?^M=12,

2

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据已知和图象能确定出AB、AC的长，以及点P运动到与BC垂直时最

短是解题的关键.

7、C

【解析】

分析：根据30。角的三角函数值代入计算即可.

详解：2cos30°=2x2^=6.

2

故选C.

点睛：此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30。、45。、60。角的三角函数值是解题关键.

8、B

【解析】

分析：本题考察幕的乘方，同底数募的乘法，积的乘方和同底数塞的除法.

3

解析：丫=/,故A选项错误；a-a=/故B选项正确；（3a4=9a2〃故c选项错误;公苏=/故口选项错误.

故选B.

9、B

【解析】

试题分析：长方体的主视图为矩形，圆柱的主视图为矩形，根据立体图形可得：主视图的上面和下面各为一个矩形，

且下面矩形的长比上面矩形的长要长一点，两个矩形的宽一样大小.

考点：三视图.

10、B

【解析】

试题解析：过点C作CO_L48于。，延长CO到(7,使。。=OC,连接OO,交48于P,连接CP.

此时。「+”=〃尸+?。=。。的值最小."：DC=i,BC=4,：.BD=3,连接8C,由对称性可知NC5E=NC8E=41。，

ZCBCf=90°,J.BC'LBC,ZBCC'=ZBC'C=4r,：.BC=BC'=4,根据勾股定理可得

DC=dBC。+BD?=&+4?=L故选氏

11、B

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断C与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴

交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】

①抛物线与y轴交于负半轴，则c<l,故①正确；

b

②对称轴*=----=1,则2a+6=l.故②正确；

2a

③由图可知：当x=l时，产a+b+cVl.故③错误；

④由图可知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则炉-4ac>L故④错误.

综上所述：正确的结论有2个.

故选B.

【点睛】

本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的值求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，

根的判别式的熟练运用.

12、B

【解析】

先用含有x的式子表示2015年的绿化面积，进而用含有x的式子表示2016年的绿化面积，根据等式关系列方程即可.

【详解】

由题意得，绿化面积平均每年的增长率为x,则2015年的绿化面积为300(1+x),2016年的绿化面积为300(1+x)

(1+x),经过两年的增长，绿化面积由300公顷变为363公顷.可列出方程：300(1+x)2=363.故选B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，找准其中的等式关系式解答此题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、4

【解析】

试题分析：设OB的长度为x,则根据二次函数的对称性可得：点B的坐标为(x+2,0),点A的坐标为(2-x,0),贝!!

OB-OA=x+2-(x-2)=4.

点睛：本题主要考查的就是二次函数的性质.如果二次函数与x轴的两个交点坐标为(再，0)和(々，0)，则函数的对称

轴为直线：.在解决二次函数的题目时，我们一定要注意区分点的坐标和线段的长度之间的区别，如果点在x

2

的正半轴，则点的横坐标就是线段的长度，如果点在x的负半轴，则点的横坐标的相反数就是线段的长度.

14、B.

【解析】

试题分析：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中80出现12次，出现的次数最多，故这组数据的

众数为80分；

中位数是一组数据从小到大(或从大到小)排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数).因此这组40个按大

小排序的数据中，中位数是按从小到大排列后第20,21个数的平均数，而第20,21个数都在80分组，故这组数据的

中位数为80分.

故选B.

考点：1.众数；2.中位数.

15、1.

【解析】

依据调和数的意义，有！一，=:一，,解得x=l.

5x35

16、(x-3)(x+l)；

【解析】

根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x2-3X+X-3

=x2-2x-3=(x-3)(x+1)；或先把前两项提公因式，然后再把x-3看做整体提公因式：原式=x(x-3)+(x-3)=

(x-3)(x+1).

故答案为(x-3)(x+1).

点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般

步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式=（。+与（。—"），完全平方公式/±2必+》2=（4±»2）、三检

查（彻底分解），进行分解因式即可.

17、k>-l

【解析】

首先讨论当％=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当攵H0时，利用根的判别式A=b2-4ac=4+4kK）,两者结合得

出答案即可.

【详解】

当％=0时，方程是一元一次方程：2x—1=0,尤=《，方程有实数根；

当攵。0时，方程是一元二次方程，A=/?2—4ac=4+4左20,

解得：攵2-1且ZHO.

综上所述，关于8的方程依2+2彳-1=0有实数根，则左的取值范围是左2-1.

故答案为kN-1.

【点睛】

考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略攵=0

这种情况.

18、yi>yi

【解析】分析：直接利用一次函数的性质分析得出答案.

详解：:•直线经过第一、二、四象限，

•••y随x的增大而减小，

Vxi<xi,

•*.yi与yi的大小关系为：yi>yi-

故答案为：>.

点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数增减性是解题关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、-2.

【解析】

试题分析：先算括号里面的，再算除法，解不等式组，求出x的取值范围，选出合适的x的值代入求值即可.

-x2（x+l）（x-l）

试题解析：原式=/4、十/八

x（x+l）（X+1）

-xx+1x

=------x-------=--------

x+1x-1x-1

-x<\但5

解(得-1金<不，

2x-l<42

•••不等式组的整数解为-1,0,1,2

若分式有意义，只能取x=2,

2

.,.原式=------2

2-1

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值.许多问题还需运

用到常见的数学思想，如化归思想(即转化)、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定

帮助.

20、(1)y=2x—4；y=9；(2)—l<x<0或x>3；(3)存在，P(0,—4+3石)或尸(0,-4—3&)或P(O,8)或

X

【解析】

(D利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；

(2)利用图象直接得出结论；

(3)分BP=BA、BP=BA、/%=依三种情况讨论，即可得出结论.

【详解】

(1)•.•一次函数与反比例函数y=±,相交于点B(3,2),C(-l,n),

X

把仇3,2)代入y=A得：2=七,

x3

:・k=6,

...反比例函数解析式为y=9,

X

把C(T,〃)代入y=9得：〃=二，

X-1

，=-6,

工点C的坐标为(-1,-6),

2=3k+b

把3(3,2),C(—1,-6)代入丁=奴+〃得：，，一

-b=-k+b

,k=2

解得：

...一次函数解析式为y=2X—4；

(2)根据函数图像可知:

当-l<x<0或%>3时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方,

・••当Tvx<0或x>3时，Y>为；

⑶存在P(0,-4+3石)或P(0,-4-3石)或尸(0,8)或时，APAB为等腰三角形，理由如下:

.,.令x=0得，y=-4,

...点A的坐标为(0,-4),

•••点B的坐标为6(3,2),

...点D的坐标为50,2),

：,AB=&3-0)2+(2+4)2=五+6=375，

①当=时，贝iJAP=3后，

•••4((),-4),

...点P的坐标为：6QT+3新)、〃(0,-4—36)；

②当旅=84时，

•.•Afi4P是等腰三角形，BD±AP,

.,.台力平分475,

.•.D4=DP=2—(—4)=6,

•••点D的坐标为50,2),

...点P的坐标为(0,2+6),即鸟(0,8)

③当=时，如图：

设B4=PJ5=X,

则DP=DA—PA=6-x,

,/在RtABDO中，DB=3，DP=6—x,PB=x，

•••由勾股定理得：

PB2=DB2+DP2，

x2=32+(6-X)2,

解得：x=：，

4

•J4O,-4),

5

.••点p的坐标为［。,-4+4｝即AI。—a)

综上所述，当P(0,-4+3石)或P(0,—4—36)或P(0,8)或P(0,一时，△PAB为等腰三角形.

【点睛】

本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，利用图象确定函数值满足条件的自变量的范围，等腰三角形的性

质，勾股定理，解(D的关键是待定系数法的应用，解(2)的关键是利用函数图象确定x的范围，解(3)的关键是

分类讨论.

21、(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

(1)由旋转性质可知：AD=FG,DC=CG,可得NCGD=45。，可求NFGH=NFHG=45。，贝！］HF=FG=AD,所以可证

△ADM之△MHF,结论可得.

(2)作FN_LDG垂足为N,且MF=FG,可得HN=GN,且DM=MH,可证2MN=DG,由第一问可得2MF=AF,由

MN

cosa=cosZFMG=------，代入可证结论成立

MF

【详解】

(1)由旋转性质可知：

CD=CG且NDCG=90。，

二NDGC=45°从而NDGF=45°,

VNEFG=90。，

.•.HF=FG=AD

又由旋转可知，AD〃EF,

.,.ZDAM=ZHFM,

又,../DMA=NHMF,

/.△ADM^AFHM

AAM=FM

(2)作FNJ_DG垂足为N

，DM=MH,AM=MF=-AF

2

VFH=FG,FN±HG

.\HN=NG

VDG=DM+HM+HN+NG=2(MH+HN)

1

/.MN=-DG

2

MN

VcosZFMG=——

MF

2MNDG

.,.cosZAMD=

2MF~AF

DG

-----=cosa

AF

【点睛】

本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，三角函数，关键是构造直角三角形.

22、（1）ACPD.理由参见解析；（2）证明参见解析；（3）PC2=PE«PF.理由参见解析.

【解析】

（1）根据菱形的性质，利用SAS来判定两三角形全等；（2）根据第一问的全等三角形结论及已知，利用两组角相等

则两三角形相似来判定即可；（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论.

【详解】

解：⑴△APD^ACPD.

理由：•••四边形ABCD是菱形,

.,.AD=CD,ZADP=ZCDP.

又•.,PD=PD,/.△APD^ACPD(SAS).

(2)VAAPD^ACPD,

:.ZDAP=ZDCP,

VCD/7AB,

二ZDCF=ZDAP=ZCFB,

又：NFPA=NFPA,

.,.△APE^AFPA(两组角相等则两三角形相似).

(3)猜想：PC2=PE»PF.

理由：VAAPE^AFPA,

APPF

—=—即PA2=PE»PF.

FPPA

VAAPD^ACPD,

.,.PA=PC.

.,.PC2=PE»PF.

【点睛】

本题考查1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定；3.菱形的性质，综合性较强.

23、（1）列表见解析；（2）这个游戏规则对双方不公平.

【解析】

（1）首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可;

（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性.

【详解】

（1）列表如下：

234

22+222+3=52+4-6

33+2=53+3=6344=7

44+2=64+3=74+4=8

31

由表可知，总共有9种结果，其中和为6的有3种，则这两数和为6的概率§=

（2）这个游戏规则对双方不公平.理由如下：

因为尸（和为奇数）=-,尸（和为偶数）=士，而一声士，所以这个游戏规则对双方是不公平的.

9999

【点睛】

本题考查了列表法求概率.注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

24、（1）点B的坐标为（1,0）.

（2）①点P的坐标为（4,21）或（-4,5）.

9

②线段QD长度的最大值为一.

4

【解析】

（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标.

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到“Boe，设出点P的坐标，根据SAPOC=4SABOC

列式求解即可求得点P的坐标.

②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为（q,-q-3）,从而由QD_Lx轴交抛物

线于点D,得点D的坐标为（q,q2+2q-3）,从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理

求解.

【详解】

解：（1）,:A、B两点关于对称轴x=-l对称,且A点的坐标为（-3,0）,

.,.点B的坐标为(1,0).

(2)①\•抛物线a=1,对称轴为x=—1,经过点A(-3,0),

a=1

a=1

•••，—二=一1,解得<

b=2.

2a

c=—3

9a2-3b+c=0

・•・抛物线的解析式为y=x2+2x-3.

13

・・・B点的坐标为(0,-3).AOB=LOC=3.A=-x1x3=-.

ABOC22

i3

设点P的坐标为(p,p2+2p-3),则SAPQC=-x3x|p|=-|p|.

3

：S^poc=4Sg0c，—|p|—6,解得p=±4。

当p=4时p2+2p—3=21；当p=-4时，p2+2p_3=5,

.,.点P的坐标为(4,21)或(-4,5).

②设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A,C的坐标代入，得：

-3k+b=0fk=-l

5,),解得：S,

b=-3[b=-3

...直线AC的解析式为y=-X-3.

V点Q在线段AC上，.•.设点Q的坐标为(q,-q-3).

又,:QD±x轴交抛物线于点D,/,点D的坐标为(q,q?+2q-3).

Va=-l<0,-3<--<0

2

9

•••线段QD长度的最大值为二.

4

25、(1)A(-3,0),y=-gx+G；(2)①D(t-3+G，t-3),②CD最小值为屈；(3)P(2,-G),理

由见解析.

【解析】

(1)当y=0时，-旦£一巫x+导。,解方程求得A(-3,0),B(1,0),由解析式得C(0,百)，待定系

33

数法可求直线1的表达式；

(2)分当点M在AO上运动时，当点M在OB上运动时，进行讨论可求D点坐标，将D点坐标代入直线解析式求

得t的值；线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，根据勾股定理可求点M运动的过程中

线段CD长度的最小值；

(3)分当点M在AO上运动时，即0VtV3时，当点M在OB上运动时，即3&q时，进行讨论可求P点坐标.

【详解】

(1)当y=0时，--2Y3x+6=0,解得xi=l,X2=-3,

33

•点A在点B的左侧，

...A(-3,0),B(1,0),

由解析式得C(0,百)，

设直线1的表达式为y=kx+b,将B,C两点坐标代入得b=百mk-

故直线1的表达式为y=-&x+&；

(2)当点M在AO上运动时，如图：

由题意可知AM=t,OM=3-t,MC±MD,过点D作x轴的垂线垂足为N,

ZDMN+ZCMO=90°,ZCMO+ZMCO=90°,

.*.ZMCO=ZDMN,

在41\1(：0与4DMN中，

MD=MC

\4DCM=4DMN,

/COM=NMND

/.△MCO^ADMN,

.•.MN=OC=G，DN=OM=3-t,

D(t-3+5/3>t-3)；

同理，当点M在OB上运动时，如图,

yApy3"

OM=t-3,AMCO^ADMN,MN=OC=V3»ON=t-3+73，DN=OM=t-3,

AD（t-3+百，t-3）.

综上得，D（t-3+石，t-，3）.

将D点坐标代入直线解析式得t=6-26,

线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，

•••M在AB上运动，

当CM±AB时，CM最短，CD最短，即CM=CO=百，根据勾股定理得CD最小R；

（3）当点M在AO上运动时，如图，即0<tV3时，

.•.ZCBO=60°,

•..△BDP是等边三角形，

.,.ZDBP=ZBDP=60°,BD=BP,

,r-「，DN

：.ZNBD=60°,DN=3-t,AN=t+j3,NB=4-t-J3，tanZNBO="?^-,

3-t

百，解得t=3-6,

4-r-V3

经检验t=3-V3是此方程的解，

过点P作x轴的垂线交于点Q