高中数学指数函数

指数函数(1)[教课目的]理解指数函数的观点和意义,察看指数函数图象变化规律和底数的关系,联合函数定义域和值域加深对指数函数图象和性质的认识。[学习指导]要点：对指数函数图象和性质理解掌握，并能运用。难点：对图象和性质的深刻认识和掌握。教材剖析:1、指数函数图象和性质：函数yax(a0,a1,xR)叫指数函数，它的图象和性质见表指数函数yaxa0,a1的性质对应图象0a1ya1定义域为，值域为0,,(0,1)x为随意实数，ax0恒建立，图0yx0a1a1象位于x轴上方0x0a1ya1a01,yax的图象都经过点0,1(0,1)x0ya1aa1,ax01当a1时，若x2x1，则ax2ax1，0a1y1a它是增函数；当0a1时，若x0x1，则ax2ax1，它是减函数x2当a1时，若x，则ax1；y0y1若x0，则0ax110y10x当01时，若x0，则0ax1；ya1y若x0，则ax11y100x2、学习的注意问题①定义域是R。因为指数的观点已经扩大到有理数和无理数，因此在底数a>0的前提下，x能够是随意实数。②规定a>0，a≠1的原由是：在y＝ax中，若a＝1，则y＝1，它是一个常数函数。为了保证当x取分数时ax存心义，一定要求a≥0；可是a＝0时，ax只有x>0存心义，且y＝ax＝0也有常数函数。3、学习方法、解题技巧、思想方法①当底数a大小不准时，一定分“a>1”和“0<a<1”两种情况议论。②当0<a<1时，x→＋∞,y→0；当a>1时，x→－∞，y→0，当a>1时，a的值越大，图象越凑近y轴，递加速度越快。当0<a<1时，a的值越小，图象越凑近y轴，递减的速度越快。（此中“x→＋∞”意义是：“x凑近于正无量大”）③熟习指数函数在同向来角坐标系中的图象的相对地点与底数大小的关系。在y轴右边，图象从上到下相应的底数由大变小；由y轴左边，图象从下到上相应的底数由大变小。[例题剖析]例1．（Ⅰ）指数函数f(x)ax(a>0且a≠1)的图象过点（3，π），1则f(3)剖析：先求出yax分析式，再代入即可。②③（Ⅱ）如图y④①是指数函数①yax，②ybx，③ycx，④ydx图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（B）A：a<b<1<c<dB：b<a<1<d<cC：1<a<b<c<dD：a<b<1<d<c解答：法一、依据指数函数图象地点与底数关系可选（B）法二、x=1与指数函数①②③④的交点纵坐标分别为a、b、c、d，依据a、b、c、d地点即可判断出a、b、c、d大小，选（B）评注：法二比法一更简单易懂，法二中x=1称为指数函数特点线。熟练运用特点线比较底数大小带来极大方便。例2．（Ⅰ）若(a2a2)x(a2a2)1x，求x取值范围.剖析：首选结构指数函数y(a2a2)x∵a2a2(a1)27124∴在R上是增函数,进而问题解决。解答：∵a2a2(a1)2714y(a2a2)x在R上是增函数∴x＞1-x∴x12(Ⅱ)已知：0<a<1，x>y>1，则以下各式中正确的选项是（B）A：xayaB：axayC：axayD：axyaa解答：关于A：∵x(x)a(x)01∴xayayayy关于B：依据指数函数性质知，正确。关于D：∵axa01,而yay01∴axya综上所述，选（B）例3．求以下函数定义域及值域1(2)x；③y4x2x①y2x4；②y2x111；④y10x13剖析：因为指数函数yax（a>0且a≠1）的定义域R，∴函数yaf(x)a>0且a≠1）与函数f(x)的定义域同样，利用指数函数单一性求值域。解答：①令x－4≠0∴定义域：x/x4∵110∴2x41∴值域：y/y0且y1x4②定义域：R2x3x30∵x0∴y()()()1∴值域y/y1322③定义域：R∵y(2x)222x1(2x1)2又∵2x0∴y>1∴值域：y/y1④令2x10∴x10x1x1∴定义域：x/x1或x1值域：y/y1且y10

x<－1或x≥1评注：求与指数函数相关值域时，注意充分充分考虑并利用指数函数自己要求并利用好单一性，第①小题切不可以遗漏y＞0.例4．求函数y4x2x1，x[3,2]的最大值和最小值。解答：∵y(1)x(1)x1(1)2x(1)x1[(1)x1]234222224令t(1)x∴y(t1)23224又∵x[3,2]∴1t8即：3y57∴值域：[3，57]444评注：经过指数运算，配凑成二次式，进而解决问题。[本课练习]1、若c＜0，则不等式中建立的一个是（C）A：c2cB：c(1)cC：2c(1)cD：2c(1)c(1)2222、函数yx1值域是（）3BA：(－∞，0)B：（0，1〕C：[1，＋∞）D：（－∞，1〕3、函数yax21(a0且a1)图象必过点（D）A：(0，1)B：（1，1）C：（2，0）D：（2，2）4、当x＞0，函数f(x)(a21)x值总大于，则a的范围（）1CA：1a2B：a1C：a2D：a25、2x1(x0)，若，则的取值范围（D）设函数f(x)1x2(x0)A：（－1，1）B：（－1，＋∞）C：D：1)(1,)(,2)(0,)(,6、函数yax24(a0且a1)，当a(0,1)时，有最（大）值是（a4）；当a(1,)时，有最（小）值是（a4）。７、f(x)2x的图象，关于