2021-2022学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理科）（附答案详解）

2021-2022学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理

科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.某人在打靶中，连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是（）

A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.至少有一次中靶D.只有一次中靶

2.已知复数z=l-2i,则工为（）

Z

A12-n1,2.12.p.1।2.

A•一厂丁B--3+3JC5-5lD-5+5£

3.如图是某公司500名员工的月收入的频率分布直方图，则该公司月收入在2500元以

上的人数是（）

A.175B.200C.225D.250

4.已知/（%）的导函数（。）的图象如图所示，那么/（%）的图象最有可能

5.在区间［-曷］上随机取一个数”，则事件泻”发生的概率为（）

6.对具有线性相关关系的变量4,y,测得一组数据如下表

X14569

y1540607080

根据上表，利用最小二乘法得到回归直线方程为;=8.5%+a，据此模型来预测当

x=40时，y的估计值为（）

A.340.5B.350.5C.360.5D.370.5

7.已知函数/（久）=x+e-x,则函数f（x）在［-1,1］的最小值为（）

A.1B.1+-C.—1+eD.1--

ee

8.随机变量X的取值范围为0,1,2,若「«=0）=；*«）=1,则。（X）=（）

A.-B.立C.1D.J

4224

9.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：

①4F〃NC

②CN与BM所成角为60。

③EC与CF为异面直线

④ED1BM

以上四个命题中，正确命题的序号是（）

A.①②B.②③④C.②④D.③④

10.若函数/（x）=-2x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）

A.a>1B.-1<a<0C.a<1D.0<a<1

11.甲、乙、丙、丁、戊、己共6人随机地排成一行，则甲、乙不相邻，丁、戊相邻的

概率为（）

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12.已知函数/'(x)=e"+ax有两个零点%i，%2,且久i>久2,则下列说法不正确的是()

A.a<-eB.xr+x2>ln(x1x2)+2

C.>1D.f(x)有极小值点X。=ln(-a)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.(V^+的展开式中x的系数是.(用数字作答)

14.是复平面内的平行四边形，A,B,C三点对应的复数分别是l+2i,-2-i,

-5i,则点。对应的复数为

15.成都天府广场设置了一些石髡供大家休息，这些石髡是由正方体截去八个一样的正

三棱锥得到的“半正多面体”(图1),半正多面体是由两种或两种以上的正多边形

围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱长为a的正方体截得

的半正多面体，则该半正多面体共有个面，其体积为.

16.已知/'(x)是定义域为(—8,0)u(0,+8)的偶函数，且/'(1)=0,当》<0时，xf'M-

3/(%)>0,则使得/'(%)<0成立的x的取值范围是

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知函数/(久)=3/—12%.

(1)求/'(%)在点(1,/(D)处的切线方程；

(2)求人乃在区间［—3,3］上的单减区间.

18.共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用

汽车用户的数据如下，用两种模型①y=bx+a：②y=ba+a分别进行拟合，

进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：

日期工(天)12345

用户y(人)1322455568

模型①的残差值-1.1—2.8—1.2-1.90.4

模型②的残差值0.3-5.4-3.2-1.63.8

(1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②

的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；

(2)求出(1)中所选模型的回归方程.

(参考公式：小会笨薯a-一后参考数据NL戏=55,£之1.3=752)

19.已知％=1是/(x)=2x-?-/nx的一个极值点.

(1)求a的值;

(2)设函数g(x)=f(x)+T，若函数9。)在区间口,2］内单调递减，求b的取值范围.

20.2021年，乐山市38家4级旅游景区累计接待游客1743万人次，同比2020年增长

33.69%,其中多数人为自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关,

在“五一”旅游期间，随机抽取了100名游客，得如下所示的列联表:

自助游非自助游合计

男性3045

女性10

合计100

(1)请将上面的列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“自助

游”与性别有关系？

(2)若以抽取样本的频率为概率，从“五一”游客中随机抽取3人，求抽取3人中恰

有1人选择“自助游”的概率.

n(ad-bc)2

附：K2=其中M

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'=a+b+c+d.

P(K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

21.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面4BCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角

形，侧面P4。J■底面4BCC,平面PBCCI平面41。=八

(1)判断，与BC的位置关系并给予证明；

(2)求平面PBC与平面PAD所成二面角的余弦值.

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22.已知函数f(x)=-xlnx.

(1)设/(x)=ax2-f(x)(aGR),试讨论F(x)的单调性；

(2)斜率为k的直线与曲线y=/'(x)交于4(%,%),8(“2,、2)(/<%2)两点，求证:

/<~^<x2.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：根据对立事件的定义可得

事件“两次都不中靶”的对立事件为“至少有一次中靶”

故选：C.

根据对立事件的定义，两个事件不可能同时发生且必须有一件发生，我们根据事件“两

次都不中靶”的易求出其对立事件.

本题考查的知识点是对立事件，熟练掌握对立事件的定义是解答本题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：z=l-2i,

1+2/1,2.

则一=-----------=-4--I.

人(l-2i)(l+2i)55

故选：D.

根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：由图可知，收入在2500元以上的有：

500x500x(0.0005+0.0003+0.0001)=225(A).

故选：C.

利用直方图的定义、性质计算即可.

本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象的应用，利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后判断函数的

图象即可.

【解答】

解：由题意可知函数在x<0,%>2时，导函数f'(x)<0,函数是减函数，

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xe(o,2)时，导函数/'(x)>0,函数是增函数，

函数的图象如图。.

故选：D.

5.【答案】A

【解析】解：y=cosx在［一泉0］单调递增；y=cosx在［0申单调递减.

T7z九、TC

Xcosf——)=——，COS-=——，

、6，262

则由cosxNm%W［一10］可得一)W冗W

2Noo

则在区间上随机取一个数X,

事件“COSX>立”发生的概率为上旦=

22~^3

故选:A.

利用几何概型去求在区间上随机取一个数X，事件“COSX2号”发生的概率.

本题主要考查几何概型，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由表中数据可得，x=ix(l+4+5+6+9)=5,y=ix(15+40+60+

70+80)=53,

・••最小二乘法得到回归直线方程为;=8.5%+a，

53=8.5x5+a，解得a=10.5'

故回归直线方程为y=8.5久+105

当x=4°时，y=8.5x40+10.5=350.5-

故选：B.

根据已知条件，求出x,y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回

归方程，再将x=40代入，即可求解.

本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：f(x)=x+e~x,xG［-1,1］,则/'(x)=1-e-x=xe［-1,1］,

当一lWx<0时，r(x)=g<0,f(x)单调递减,

当0cxW1时，/(乃=鳌＞0,/(%)单调递增，

则/'(x)在x=0时取得最小值/(0)=0+e。=1.

故选：A.

利用导函数求得函数门乃在［-1,1］上的单调区间，进而求得函数/(乃在［-1,1］的最小值.

本题考查了利用导数求函数的最值问题，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：设P(x=1)=p,P(X=2)=q,

•••E(X)=0x［+p+2q=1①，

又］+p+q=1,②

由①②得，p=土q=%

•••D(X)=*0-l)2+i(l-l)2+i(2-l)2=i,

故选：c.

设p(x=l)=p,P(x=2)=q,则由P(X=0)=［,E(X)=1,列出方程组，求出p,

q,由此能求出D(X).

本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求

法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

9.【答案】C

【解析】解：先将正方体复原，连接BE,CF,EM,如图,

对于①，由题意得BC〃EN,BC=EN,

则四边形BCNE为平行四边形，则BE〃CN,

又BEJ.AF,则4FLNC,故①错误；

对于②，由BE〃CN知NEBM或其补角为CN与所成角，

又AEBM为等边三角形，则4EBM=60。，即CN与所成角为60。，故②正确;

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对于③，由题意得CD〃EF,CD=EF,

则四边形CDEF为平行四边形，则ED〃CF,故③错误；

对于④，由题意得CFIBM,又ED〃C凡则EDJ.BM,故④正确.

故选：C.

先复原正方体，再由异面直线的定义及线线平行及垂直依次判断四个命题即可求解.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的极值问题，属于中档题.

求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可.

【解答】

解：f(x)的定义域是(0,+8),

「(X)=%-2+?=三产，

若函数f(x)有两个不同的极值点，

则g(x)=%2-2x+a=0在(0,+8)有2个不同的实数根，

g(x)对称轴为直线x=1,在y轴右侧，

叫g(0)=a>0，

解得0<a<1,

故选D

11.【答案】A

【解析】解：依题意甲、乙、丙、丁、戊、己共6人随机地排成一行有蝮=720种排法，

其中满足甲、乙不相邻，丁、戊相邻的有的•朗・煦=144种排法，

所以甲、乙不相邻，丁、戊相邻的概率P=^=t；

故选：A.

首先求出基本事件总数，再利用捆绑法、插空法求出满足甲、乙不相邻，丁、戊相邻的

基本事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得；

本题主要考查古典概型，属于基础题.

12.【答案】C

【解析】解:由题意，函数f(x)=e"+ax,则/'(%)=e*+a,

当。之0时，((%)=婷+。>0在/?上恒成立，所以函数/。)单调递增，不符合题意；

当aV0时，令，(久)=e”+QV0,解得%>ln(—a),

令/'(%)=e*+Q<0,解得％<ln(-a),

所以函数/(%)在(-8,In(-a))上单调递减，在(In(-a),+8)上单调递增，

因为函数/'(%)=ex+ax有两个零点与，小且>%2，

对4,则/(ln(—a))=e1n(-a)+aZn(-a)=-a+aln(—d)=—a(l—ln(—a))<0,且a<

0,所以1一In(-a)<0,解得a<-e,所以4项正确；

X2QX

对B,a<—e,且e*i+axi=0,e+ax2=0,故/=ln(—。，X2=ln(-ax2)»

2

所以与4-x2=ln(ax1x2)=2Zn(-a)+ln(x1x2)>24-ln(x1x2)，所以3正确；

对C,由f(0)=1>0,则0V&V1，但%i%2>1不能确定，所以C不正确；

对D,由函数/(%)在(一8,皿一0))上单调递减，在(ln(-a),+8)上单调递增，

所以函数的极小值点为%o=In(-a),且+不V2%o=2仇(一Q),所以。正确；

故选：C.

求得函数的导数，得到函数的单调区间，利用函数的性质，逐项判定，即可求解.

本题考查了导数的综合应用，属于中档题.

13.【答案】10

【解析】解：(々+1)5的展开式的通项公式为.+]=制.令子=1，解得「=3,

故(代+1)5的展开式中x的系数是牖=10,

故答案为10.

在二项展开式的通项公式中，令》的幕指数等于1,求出r的值，即可求得展开式中x的

系数.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属

于中档题.

14.【答案】3-2i

【解析】解：4B,C三点对应的复数分别是l+2i,-2-i,-Si,

则复平面内4B,C三点对应点的坐标为4(1,2),B(-2,—1),C(0,-5),

设复平面内点。坐标为D(x,y),

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则同=(_3,-3)，DC=(-x,-5-y),

又ABC。是复平面内的平行四边形，

则=万亍，则解得｛；=:2，则D(3,—2),

则点。对应的复数为3-2「

故答案为：3-2i.

设复平面内点。坐标为D(x,y),利用向量相等列出关于X、y方程，解之即可求得点。坐

标，进而求得点。对应的复数.

本题主要考查复数的几何意义，以及向量相等的性质，属于基础题.

15.【答案】14fa3

6

【解析】解：石髡是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的“半正多面体”，

则该半正多面体共有8+6=14个面；

该半正多面体的体积为-8*；*5吟吟吟=?。3.

322226

故答案为：(1)14；(2)13.

利用石髡的结构特征即可求得该半正多面体的表面个数；利用正方体体积减去8个小三

棱锥的体积即可求得该半正多面体的体积.

本题考查了半正多面体的体积计算，属于基础题.

16.【答案】(-1,0)11(0,1)

【解析】解：设9。)=詈，

•・•/(x)是定义域为(一8,0)u(0,+8)的偶函数，二9(%)是奇函数,且"(无)=xf；3f(X),

♦.,当x<0时，x/'(x)—3/(%)>0,二x<0时，g'(x)>0,g(x)是增函数，

又g(x)是奇函数，•••当%>0时，也是增函数，

•."(1)=0,f(x)是偶函数，二/(一1)=0,即g(-l)=g(l)=0,

作出g(x)函数的大致图象：

由图可知，要使得f(x)<0,即当x<0时，g(x)>0,可得xe(-l,o)；

当x>0时，g(x)<0,可得x€(0,1).

二使得f(x)<0成立的x的取值范围是(一1,0)U(0,1).

故答案为：(-1,0)U(0,1).

由已知构造函数，运用导数求出单调性，再根据条件即可求解.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化、数形结合思想，构造函数是关

键，是中档题.

17.【答案】解：(1)由f(x)=37一12%,得/'(x)=9/-12,

则((1)=-3,又/(1)=-9,

故切线为y+9=—3Q—1),

即3x+y+6=0；

(2)令/(x)=0,得;c=土平，

由「。)<0,解得一2cx<2，

33

则f(x)在(-平，平)上单调递减，

故-x)在区间［-3,3］上的单减区间为(-平，手).

【解析】(1)先求导，然后求出/(I),再求切线方程即可；

(2)由/'(x)<0,解得—誓<%(苧，然后求出减区间即可.

本题考查了导数的几何意义，重点考查了利用导数求函数的单调区间，属基础题.

18.【答案】解：(1)应该选择模型①，

模型①的残差值的绝对值之和为1.1+2.8+1.2+1.9+0.4=7.4,

模型②的残差值的绝对值之和为0.3+5.4+3.2+1.6+3.8=14.3,

因为7.4<14.3,

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又残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，

所以模型①的拟合效果较好，应该选模型①；

HK—r",-1+2+3+4+5„-13+22+45+55+68

(2)由题可知：x=-----------=3,y=-------------------=40.6,

又把1々%=752,2葭*=55,

所以b===752Tx3X406=史=143，

Ef=iX?-5x255-5X3X310

则a=y-bx=40.6-14.3x3=-2.3;

故y关于x的回归方程为y=14.3x-2.3.

【解析】(1)结合图表信息，求出残差值的绝对值之和，然后比较大小即可;

(2)由图表信息，结合参考公式，求出线性回归方程即可.

本题考查了残差的运算，重点考查了线性回归方程的求法，属基础题.

19.【答案】解：⑴由/(x)=2x*—mx,定义域为(0,+8).

则尸(“)=『，

因为％=1是=2%-?一"》的一个极值点，

所以/'(1)=0,解得a=-l,

经检验，适合题意，所以a=-l；

(2)由(1)得g(x)=2%+^-lnx［x>0),

则g'(x)=2->0).

因为函数g(x)在［1,2］上单调递减，

所以g'(x)<0在［1,2］上恒成立，

即2-9一］W0在［1,2］上恒成立,

2

所以bN(2x-x)max,xe［1,2］,

因为xe［1,2］,

又函数/i(x)=2M—x在口,2］上为增函数，

即(2/-X)max=6,

即b>6,

所以b的取值范围是［6,+8］.

【解析】(1)先求导，由X=1是人尤)=2X-£一加尤的一个极值点，则((1)=0,解得a

的值，然后检验即可；

2

(2)函数g(x)在［1,2］上单调递减，等价于g'(x)<0在［1,2］上恒成立，即b>(2x-x)max,

x6［1,2］,然后求解即可.

本题考查了导数的应用，重点考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属基础题.

20.【答案】解：(1)依题意可得2x2列联表如下所示:

自助游非自助游合计

男性301545

女性451055

合计7525100

**g盥守=*“3。＜3.841,

・•・没有95%的把握认为自助游与性别有关系.

(2)记3人中选择“自助游”的人数为X,则X的所有可能取值为：0,1,2,3,

依题意X〜8(3,手，且P(X=j)=窝©，(:广^=0,1,2,3),

••.有1人选择自助游的概率为P(X=1)=«©1&)2=3

【解析】(1)根据题干所给数据得到列联表，计算出卡方，即可判断;

(2)记3人中选择“自助游”的人数为X,依题意可得X〜8(3,》，根据二项分布的概率公

式求出P(X=1),即可得解.

本题主要考查独立性检验公式，以及二项分布的概率公式，属于基础题.

21.【答案】证明：(1W/BC；

•••底面4BCC为正方形，:AD//BC,

BC仁平面24。，4。u平面24。，

BC〃平面/MD,

•••BCu平面PCB,平面PBCn平面PAD=，，

1//BC；

(2)解：取4。的中点0,BC的中点G,连接OP、OG,

依题意P。14D,侧面PSD1底面4BCD,侧面PADn底面力BCD=4D,P。u侧面PAD,

所以PO_L底面ABC。,

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又4BCD是正方形，所以OGJ.AD,

建立如图所示空间直角坐标系：则P(0,0,V5),B(2,-l,0),C(2,l,0),G(2,0,0),

设平面PBC的法向量为元=(x,y,z),而=(2,-1,一百)，於=(0,2,0)，

森二真…3，y=。,

所以

所以元=(4,0,1),

•••侧面P/W1底面4BCD,侧面PADC底面/BCD=/W,OGLAD,OGu平面4BCD,

OG_L平面PAD,.•.平面PAD的法向量为沅=(2,0,0),

设平面PBC与平面PAD所成二面角为0,显然二面角为锐二面角,

nm_V3_