2021-2022学年浙江省衢州市衢江区九年级（上）月考数学试卷（12月份）（附答案详解）

2021-2022学年浙江省衢州市衢江区横路初级中学九年级

（上）月考数学试卷（12月份）

1.已知。0的半径为30”，点4到圆心。的距离为4加，则点A与。。的位置关系是

（）

A.点A在O0内B.点A在。。上C•点A在。。外D.不能确定

2.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”.将这6张牌背

面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）

3.抛物线y=2（x-1/一2图象与y轴交点的坐标是（）

A.(0,2)B.(0,-2)C.(0,0)D.(-2,0)

4.已知2x=3y（yM0）,则下面结论成立的是（）

A.-=-B.-=-C.-=-

y23yy3

5.如图，在0。中，AB=BC,点。在。。上，4CDB=

Z.AOB=()

A.45°

B.50°

C.55°

D.60°

6.如图，在△ABC中，若DE//BC,司=：，BC=12cm,则DE的

长为（）

A.12cm

B.

C.4cm

D.30n

7.若方程a/+b%+c=0的两个根是一3和1,那么二次函数y=ax2+bx+c的图象

的对称轴是直线()

A.%=—3B.%=—2C.x=-1D.%=1

8.如图，已知点M是△ABC的重心,AB=18,MN"AB,

则MN的值是（）

A.9

D.6

9.如图，在RtAZBC中，Z.ACB=90\AC=BC=1,将

Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B

经过的路径为俞，则图中阴影部分的面积是()

10.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1,图象过

(1,0)点，部分图象如图所示，下列判断中：

①abc>0；

②炉—4ac>0；

@9a-3b+c=0；

④若点(-0.5,yi),(-2/2)均在抛物线上，则丫1>先；

⑤5a—2b+c<0.

其中正确的个数有()

A.2

B.3

C.4

D.5

11.抛物线y=2/-bx+3的对称轴是直线x=l,则。的值为.

12.表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况:

移植的棵数n200500800200012000

成活的棵数m187446730179010836

成活的频率里0.9350.8920.9130.8950.903

n

由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为.(精确到0.1)

13.如图所示，圆。的半径为5,AB为弦,0C14B,垂足为E,

如果CE=2,那么AB的长是.

14.如图，△A8C内接于00,4c

AB的长为.

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15.已知二次函数y=x2+(m—i)x+i,当x>1时，y随x的增大而增大，则机的取

值范围是.

16.将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A,A2,公…4020和

点M,M1(%…%019是正方形的顶点，连接4M2,4M3…4M2019分别交正

方形的边为M,A2M1，&时2…&019“2018于点Ni，N2,N3…N2019,四边形M1N14&

的面积是S1，四边形M2N2424的面积是S2，…，则52019为.

AA1A.2Z3^4幺5

17.如图，直线。〃/2〃，3，直线AC依次交匕、%、，3于A、B、C三点，直线DF依次

交。、，2、，3于。、E、F三点,若竟=%DE=2,求EF的长.

18.如图，00的弦AB和弦CQ相交于点E,AB=CD,求证：AD=CB.

19.如图，网格中每个小正方形的边长都是1.

(1)在图中画一个格点ADEF,使△ABCS^OEF,且相似比为1：2；

(2)仅用无刻度的直尺作出(1)中△DEF的外接圆的圆心.

一种购买.

(1)甲从中随机选取A套餐的概率是；

(2)甲乙分别选取一种套餐，请画出树状图(或列表)，并求甲、乙2人选取相同套餐

的概率.

21.如图，△ABC中，ZC=90。，AC=4cm,BC=3cm,动点P从点B出发以Isn/s速

度向点C移动，同时动点。从C出发以2czn/s的速度向点A移动，其中一个点到

终点另一个点也随之停止.设它们的运动时间为£.

(1)根据题意知：CQ=,CP=;(用含f的代数式表示):

(2)运动几秒时，ACPQ与△CBA相似？

22.某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高

与篮圈中心的水平距离77n.当球出手后水平距离为4机时到达最大高度4m,设篮球

运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.

(1)建立如图的平面直角坐标系，求出此轨迹所在抛物线的解析式.

(2)问此球能否准确投中？

(3)此时，若对方队员乙在甲前面2m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,

那么他能否拦截成功？为什么？

23.如图，己知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0,-5),与x轴交于点A和点B,

其中点B的坐标为(5,0),抛物线对称轴为直线尤=2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当0<x<5时，y的取值范围为.

(3)点P为该二次函数在第四象限内图象上的一动点，过点P作PQ〃y轴，交.BC

于点。，设线段尸。长为/，求/的最大值，并直接写出此时点尸的坐标.

24.新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90。，则称这个四边形为双直角四

边形.如图1,在四边形ABCD中，4A=4C=90。，那么四边形ABC。就是双直

角四边形.

(1)若四边形A8CC是双直角四边形，且48=3,BC=4,CD=2,求的长;

(2)已知，在图2中，四边形ABC。内接与。。，BC=CD且NB4C=45。；

①求证：四边形ABC。是双直角四边形；

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②若AB=AC,AD=1,求AB的长和四边形4BCD的面积.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：0A>3cm,则点A与。。的位置关系是：点A在圆外.

故选：C.

要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系：本题可由勾股

定理等性质算出点与圆心的距离d,则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r

时，点在圆内.

本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,

则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内

2.【答案】D

【解析】解：在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”.

将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为

O

故选：D.

直接利用概率公式计算可得.

本题主要考查概率公式，随机事件A的概率PQ4)=事件4可能出现的结果数+所有可能

出现的结果数.

3.【答案】C

【解析】解：当x=0时，y=2(x-I)2-2=2x(0-I)2-2=0.

•••抛物线y=2(%-I)2-2图象与y轴交点的坐标是(0,0).

故选：C.

代入x=。求出y值，进而即可得出二次函数图象与y轴的交点坐标.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入x=0求出y值是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键.根据等式的性质2,可得答案.

【解答】

解：4两边都除以2y,得尸|，故A符合题意；

A两边除以不同的整式，故B不符合题意；

C.两边都除以2)，，得］=｝故C不符合题意；

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D两边除以不同的整式，故。不符合题意.

故选4

5.【答案】B

【解析】解：•••在。。中，@=前，点。在。。上，/.CDB=25°,

•••UOB=2乙CDB=50°.

故选：B.

直接根据圆周角定理即可得出结论.

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等

于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查相似三角形的判定与性质，属于基础题型.

根据相似三角形的判定与性质得到当=登=：，即可求出答案.

ADDC3

【解答】

W：-DE//BC,

・•・△ADE^^ABC,

ADDE1

AB~BC~3

j.DE=4,

故选：C.

7.【答案】C

【解析】解：•.・方程Q%2+bx+c=0的两个根是一3和1,

・•・二次函数y=ax2+hx4-c的图象与x轴的交点分别为(一3,0),(1,0).

,・•此两点关于对称轴对称，

•••对称轴是直线%=千=—1.

故选：C.

先根据题意得出抛物线与X轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可

得出结论.

本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系

是解答此题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：••・点的是△ABC的重心，

AD=DB=-AB=9,—=

2CD3

・・•MN//AB,

・•・△CMNs&CDB,

.MN_CM_2rjnMN_2

••OB-CD-3，、9一3，

解得MN=6,

故选：D.

根据重心的定义得到DB=9,黑=|,证明△CMNS^SB,根据相似三角形的性质列

比例式进行计算，即可得到MN的长.

本题考查的是三角形的重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重

心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题

的关键.

9.【答案】A

【解析】解：：/-ACB=90°,AC=BC=1,

:.AB=yj2,

30-7TX(V2)2TC

S扇形ABD=360=6,

又•••Rt△ABC绕A点逆时针旋转30。后得到Rt△ADE,

RtAADE三Rt△ACB,

n

S阴影部分=ShADE+S扇形KBD~SAABC=S扇形ABD=g

故选：A.

先根据勾股定理得到4B=&，再根据扇形的面积公式计算出S肩磔BD，由旋转的性质

得到Rt△ADE三Rt△ACB,于是S阴影部分=SAADE+S^ABD-ShABC=S扇掰皿

本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积

转化为扇形A8O的面积是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题.

根据二次函数的性质一一判断即可.

【解答】

解：•••抛物线对称轴x=-1,经过(1,0),

**•-=-1,a+b+c=0,

2a

・•・b=2a,c=—3a,

va>0,

・•・b>0,c<0,

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abc<0,故①错误，

••・抛物线与x轴有交点，

・•,b2-4ac>0,故②正确，

・•・抛物线与x轴交于(一3,0),

・•・9。—3b+c=0,故③正确，

・・,点(-0.5/1),(-2,%)均在抛物线上，

—1.5>—2,

则％<及；故④错误，

5a—2b+c=5a—4a—3a=—2a<0,故⑤正确,

故选B.

11.【答案】4

【解析】解：-：y=2x2-bx+3,对称轴是直线x=l,

1,即—-=1,解得b=4.

2a4

故答案为4.

已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求6的值.

本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，公式法：y=a/+6x+c的顶点坐标为

白铲对称轴是％=一白

'2Q4aJ2a

12.【答案】0.9

【解析】解：根据表格数据可知：

苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9,

所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9.

故答案为：0.9.

用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右

摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来

估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

13.【答案】8

【解析】解：如图，连接OA；

OE=OC-CE=5-2=3；

vOCAB,

••AE-BE：

由勾股定理得：AE2=OA2-OE2,

•・•。4=5,OE=3,

.・・/E=4,AB=2AE=8.

故答案为8.

如图，连接04首先求出0E的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题.

该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题：作辅助线，构造直角三角形，灵活

运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键.

14.【答案】3V2

【解析】

【分析】

首先根据圆周角定理求出4408的度数，然后解直角三角形求出AB的长.

本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是求出4408=90。，此题难度不大.

【解答】

解：根据题意可知，

乙40B=2乙4cB=90°,

又知1。4=0B=3,

即4B=3V2,

故答案为3&.

15.【答案】m>-1

【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=-*=等，

•••当时，y的值随x值的增大而增大，

<1,

2

解得：m>-1.

故答案为：m>—1.

根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解.

本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是

解题的关键.

16•【答案】鬻

【解析】解：如图：将(n+1)个边长为1的正方形按如图所示的方式排列,

由题意可得出：△M1E4

则吗=吗"

EMiAE2

故MM=

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故四边形MiNi/i4的面积为Si=l-|xlx|=l-i=^；

同理可得出：如也=也生=士

EM?AE3

故四边形M2N2424的面积是S2=l-|xlxi=l-i=p

2366

则四边形MnNnAnAn+l的面积是又=1=煞・

当般+1=2020时，n=2019,

所以SQ9=^,

故答案为：S

根据题意得出：4M1MN1S4M1EA,进而求出MM的长，进而得出S「同理得出S2,

得出Sn的值，进而得出S2019的值.

此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及数字变化规律，得出四边形的面积变化规

律是解题关键.

17.【答案】解：vii//i2//Z3）直线AC依次交小％、%于A、B、C三点,直线。尸依

次交4、%、。于。、E、F三点，

:•-A-B=-D-E，

ACDF

--=-DE=2,

AC7f

42

—―，

7DF

解得：DF=3.5,

•••EF=DF-DE=3.5-2=1.5.

【解析】利用平行线分线段成比例定理得到黑=络然后把有关数据代入计算即可.

ACDF

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

18.【答案】证明：•.・AB=CD,

・•・AB=CD,

**•AD4-AC=AC+BC,

:.AD=BC,

・•・AD=BC.

【解析】欲证明4D=BC,只要证明求=BC.

本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

19.【答案】解：(1)如图，aCEF即为所求.

(2)如图，点尸即为ADEF的外接圆圆心.

(2)分别作。E,。尸的垂直平分线，两直线的交点即为所求的点P.

本题考查作图-相似变换、三角形的外接圆与圆心，熟练掌握相似的性质以及三角形的

外接圆的性质是解答本题的关键.

20.【答案】；

4

【解析】解：(1)甲从中随机选取A套餐的概率是点

故答案为：

(2)画树状图如下：

甲ABCD

乙ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中甲、乙2人选取相同套餐的结果有4种，

二甲、乙2人选取相同套餐的概率为卷=；.

164

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙2人选取相同套餐的结果有4种，

再由概率公式求解即可.

本题考查了树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合

两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】2tcm(3—t^cm

【解析】解：(1)经过f秒后，CQ=2tcm,CP=(3—t)cm,

故答案为：2/cm-,(3-t)cm.

(2)设经过f秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，

①若RtAABCsRtAQPC,则任=%,即±=9，解得t=1.2；

BCPC33-t

②若RtAABCsRtAPQC,贝胫=芸，即然解得t=j

QCDC2t311

由P点在BC边上的运动速度为lcm/s,。点在4c边上的速度为4crn/s,可求出f的取

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值范围应该为0<t<2,

验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件.

答：要使△CPQ与△CB4相似，运动的时间为1.2或看秒.

(1)结合题意，直接得出答案即可；

(2)设经过f秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若

QPC,②若RtAABCsRt"QC,然后列方程求解.

本题考查动点问题，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解决问题的关

键；特别是(2)注意分类讨论.

22.【答案】解：(1)根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：

4(0潦)，B(4,4),C(7,3)

设二次函数解析式为y=a(x-hY+k,

将点(0,争代入可得：16a+4=多

解得：a=—：,

二抛物线解析式为：y=-l(x-4)2+4；

(2)将C(7,3)点坐标代入抛物线解析式得：

1,

二一K(7-4)+4=3

9

二左边=右边

即C点在抛物线上，

二此球一定能投中；

(3)不能拦截成功，

理由：将x=2代入y=—(x—4)2+4得y=31

5

•••3->3.1

9

二他不能拦截成功.

【解析】(1)根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；

(2)令x=7,求出y的值，与3〃?比较即可作出判断；

2

(3)将x=2代入y=-1(X-4)+4得y=3：进而得出答案.

本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数

解决实际问题.

23.【答案】一9SyS0

【解析】解：(1)•••点8坐标为(5,0),抛物线对称轴为直线x=2,

•••点A坐标为(-1,0),

设抛物线解析式为y=a(x+l)(x-5),将(0,-5)代入解析式得一5=a(0+1)(0-5),

解得a=1,

:，y=(x+1)(%—5)=x2—4x—5.

(2)把x=2代入解析式可得y=22—2x4-5=-9,一9为函数最小值，

v5—2>2—0,

二当x=5时y取最大值，y=52-5x4-5=0,

-9<y<0.

故答案为：-9WyW0.

(3)设BC所在直线为y=kx+b,

将(5,0),(0,-5)代入可得：

(0=5k+b

t-5=b'

解砒工，

/.y=X—5,

设点尸横坐标为"?，则点尸坐标为(772,血2-4m-5),点。坐标为(私瓶一5),

/=(m—5)—(m2—4m—5)=—m2+5m,

当?n=|时，/有最大值，最大值为l=—(|)2+5x(|)=今

m=|时，m2-4m-5=(|)2-4x(|)-5=

此时点P坐标为(|,一吊).

(1)先求出点A坐标，然后设抛物线交点式解析式，再将点C(0,-5)代入求解.

(2)抛物线开口向上，顶点为最低点，x=2时y取最小值，5-2>2-0,%=5时、取

最大值.

(3)先求出BC所在直线解析式，然后用直线上点纵坐标-抛物线上对应点纵坐标.

本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过数形结合求

解.

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24.【答案】（1）解：如图1,

图1

连接8。，在RtABCD中，根据勾股定理得，BD2=BC2+CD2=20,

在RtZiAB。中，根据勾股定理得，AD=y/BD2-AB2=V20-9=VT1；

(2)①证明：如图2,连接3£),

vZ.BAC=45",

•••乙BDC=乙BAC=45",

•••BC=CD,

•••4CBD=乙BDC=45°,

乙BCD=