高考文科数学真题答案全国卷

2014年高考文科数学真题及答案全国卷1一、选择题(题型注释)1•已知集合M={x1—1<x<3},N={xI-2<x<1},则M"N=()A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)【答案】B【解析】试题分析：根据集合的运算法则可得：M"N={xI-1<x<1},即选B.考点：集合的运算•若tana>0，贝卩A.sina>0B.cosa>0C.sin2a>0D.cos2a>0【答案】C【解析】试题分析：由tana=沁>0，可得：sina,cosa同正或同负，即可排除A和B,又cosa由sin2a=2sina-cosa，故sin2a>0.考点：同角三角函数的关系•设z=+i，则IzI=+iA.1B.三2C.上3D.222【答案】B【解析】1-i1-i11试题分析：根据复数运算法则可得：z=丄+i=・+i=・+i=1-1i，由+i(1+i)(1-i)222模的运算可得：1z巳中+(-2)2=¥.考点：复数的运算4•已知双曲线二^―=1(a>0)的离心率为2,则a=a23*C耳D-1答案】D解析】试题分析：由离心率e=C可得：e2=a2±3=22，解得：a=1.aa2考点：复数的运算5•设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是A.f(x)g(x)是偶函数B・If(x)1g(x)是奇函数C.f(x)Ig(x)I是奇函数D.If(x)g(x)I是奇函数【答案】C【解析】试题分析：由函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，可得：If(x)I和Ig(x)I均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C.考点：函数的奇偶性6•设D,E,F分别为AABC的三边BC,CA,AB的中点，则EB+FC=A.ADB.1ADC.1BCD.BC2【答案】A【解析】试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在ABEF中，EB=EF+FB=EF+1AB，同理FC=FE+EC=FE+1AC，贝卩22EB+FC=(EF+^B)+(FE+1ACJ=(^1B土A于1(AB+AC)=AD2222．考点:存量的运算—‘—.一‘一‘一‘一‘一»一»P兀兀b[7•在函数①y=cosI2xI，②y=IcosxI，③y=cos(2x+)，④y=tan(2x一)中，最64小正周期为兀的所有函数为A.①②③B・①③④C・②④D・①③【答案】A【解析】试题分析：①中函数是一个偶函数，其周期与y=cos2x相同，T=孚=兀：②中函数y=IcosxI的周期是函数y=cosx周期的一半，即T=兀：③T=手=兀;@T=才，则选A.考点：三角函数的图象和性质8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】B【解析】试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．考点：三视图的考查执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.20B.7C.16D.15258【答案】D【解析】试题分析：根据题意由1<3成立，则循环，即M二1+1二3,a二2,b二3,n二2;又由2222<3成立，则循环，即M二2+2二8,a二3,b二8,n二3;又由3<3成立，则循环，即TOC\o"1-5"\h\z323M=-+-=乞,a二b二匕,n二4;又由4<3不成立，则出循环，输出M=.288388考点：算法的循环结构已知抛物线C：y2二x的焦点为F,A(X,y)是C上一点，AF\=-x，则x=()o0400A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方1115程为：x=一一，则有：丨AF1=x+，即有x+=—x，可解得x=1.40404400考点：抛物线的方程和定义已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x°，且x>0，则a的取值范围是(A)(2,+a)(B)(1,+a)(C)(—8,-2)(D)(—8,-1)【答案】C【解析】试题分析：根据题中函数特征，当a=0时，函数f(x)=-3x2+1显然有两个零点且一正一负；当a>0时，求导可得：f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2)，利用导数的正负与函22数单调性的关系可得：xg(-8,0)和xg(-,+8)时函数单调递增；xg(0,2)时函数单调aa

递减，显然存在负零点;当a<0时，求导可得：f'（x）二3ax2-6x二3x（ax-2），利用导数的正负与函数单调性的关系可得：xe（-也2）和xe（0,+如时函数单调递减;axe（2xe（2,0）时函数单调递增，欲要使得函数有唯a的零点且为正，则满足：f(?)>0

彳a，f(0)>0即得：aX（万）3-3（72+1>0，可解得：a2>4，则a>2（舍去）,a<-2.考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用12.设x，y满足约束条件$*y-a，且z=x+ay的最小值为7,则a二Lx-y<-1,（A）-5（B）3（C）-5或3（D）5或-3【答案】B【解析】试题分析：根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为A（-»-b，又由题中z=x+ay可知，当a>0时，z有最小值：22a-a-1a*1a2*2a-1z=+ax=222则吕=7，解得：a=3;当a<0时，z无最小值.故选B考点：线性规划的应用13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为.2【答案】-3【解析】试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语;数1，语，数2;数2，数1，语;数2，语，数1;语，数2，数1;语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：P=4=2.63考点：古典概率的计算14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.【答案】A【解析】试题分析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：

考点：命题的逻辑分析考点：命题的逻辑分析15.设函数f(x)=<ex15.设函数f(x)=<丄贝U使得f(x)<2成立的x的取值范围是X3,x>1,【答案】(-8,8]【解析】试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当x<1时，由ex-1<2，可解得：x<1+ln2,则此时：x<1;当x>1时，由x3<2，可解得：x<23二8，则此时：1<x<8，综合上述两种情况可得：xG(-8,8]考点：1.分段函数;2.解不等式16.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点•从A点测得M点的仰角上MAN=60。，C点的仰角ZCAB=45。以及ZMAC=75。；从C点测得ZMCA=60°.已知山高BC=100m，则山高MN=m•【答案】150【解析】试题分析：根据题意，在^ABC中，已知ZCAB=450,ZABC=90。,BC二100，易得:AC=100、迈；在^AMC中，已知ZMAC=75。,ZMCA=60。,AC=100\迈，易得：ZAMC=450，由正弦定理可解得：一AC=一AM，即：sinZAMCsinZACMAM=10竺2=100J3；在AAMN中，已知近2ZMAN=600,ZMNA=900,AM=100*3，易得：MN=150m.考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用八、解答题17•已知｛a｝是递增的等差数列，a,a是方程x2-5x+6=0的根。n24（I）求｛a｝的通项公式；n（II）求数列｛才｝的前n项和.【答案】（1）a=n+1；（2）S=2—n2n2n+1【解析】试题分析：（1）根据题中所给一元二次方程x2—5x+6=0，可运用因式分解的方法求出它的两根为2,3,即可得出等差数列中的a=2,a=3，运用等差数列的定义求出2413公差为d,则a—a=2d，故d=-,从而a=-・即可求出通项公式；（2）由第（1）42212小题中已求出通项，易求出：a=出，写出它的前n项的形式：2n2n+1S=丄+-++n+-+出，观察此式特征，发现它是一个差比数列，故可采用错n222-2n2n+1位相减的方法进行数列求和，即两边同乘-，即：-S=-+—++n+-+出，22n2-242n+12n+2将两式相减可得：-S=—+（丄+—++丄）—出=-+-（1—丄）—出，所以2n222-242n+12n+2442n+12n+2S=2—出・…n2n+1试题解析：（1）方程x2—5x+6=0的两根为2,3，由题意得a=2,a=-.241-设数列｛a｝的公差为d,则a-a=2d，故d=-，从而a=-.n42212所以｛a｝的通项公式为a=1n+1・nn2（2）设｛你｝的前n项和为S，由（1）知你=，贝卩2nn2n2n+1-4n+1n+2TOC\o"1-5"\h\zS=++++n222-2n2n+1c-4n+1n+2S=++++n2-242n+12n+2两式相减得1s•=A+（丄+丄++丄）—2n222-242n+12n+2所以S二2-出.n2n+1考点：1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】(1)质量指标值的样本平均数为100，质量指标值的样本方差为104不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】试题分析：(1)根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数／总数计算出各组的频率，再根据：高度=频率／组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图;(2)根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均数为X=80X0.06+90X0.26+100x0.38+110x0.22+120x0.08=100，进而由方差公式可得:质量指标值的样本方差为s2二(-20)2X0.06+(-10)2X0.26+0X0.38+102x0.22+202x0.08二104;(3)根据题意可知质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.试题解析:(1)质量指标值的样本平均数为X=80X0.06+90X0.26+100x0.38+110x0.22+120x0.08=100.质量指标值的样本方差为s2二(-20)2X0.06+(-10)2X0.26+0X0.38+102x0.22+202x0.08二104.所以这种产品质量指标值质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08—0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.考点:1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数与方差的计算19.如图，三棱柱ABC-ABC中，侧面BBCC为菱形，BC的中点为O,且AO丄平111111面BBCC.11证明：BC丄AB;1若AC丄AB,ZCBB二60,BC二1,求三棱柱ABC-ABC的高.11111【答案】(1)详见解析；(2)三棱柱ABC-ABC的高为旦.1117【解析】试题分析：(1)根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结BC，则O为BC与BC的交点，又因为侧面BBCC为菱形，11111对角线相互垂直BC丄BC;又AO丄平面BBCC，所以BC丄AO，根据线面垂直的11111判定定理可得：BC丄平面ABO，结合线面垂直的性质：由于ABu平面ABO，故1BC丄AB;(2)要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O到平面ABC1的距离，即：作OD丄BC，垂足为D,连结AD,作OH丄AD，垂足为H,则由线面垂直的判定定理可得OH丄平面ABC，再根据三角形面积相等：OH-AD=OD-OA，可求出OH的长度，最后由三棱柱ABC-ABC的高为此距离的两倍即可确定出高.111试题解析：(1)连结BC，则O为BC与BC的交点.111因为侧面BBCC为菱形，所以BC丄BC.1111又AO丄平面BBCC，所以BC丄AO，111故BC丄平面ABO.1由于ABu平面ABO，故BC丄AB.1(2)作OD丄BC，垂足为D,连结AD，作OH丄AD，垂足为H.由于，BC丄OD，故BC丄平面AOD,所以OH丄BC,又OH丄AD，所以OH丄平面ABC./3

因为ZCBB=6Oo，所以ACBB为等边三角形，又BC=1，可得OD二二.11411由于AC丄AB，所以OA=-BC=-,1212

由OH•AD=由OH•AD=OD•OA,且AD=^OD2+OA2得OH14又O为BC的中点，所以点B到平面ABC的距离为匸1.i17故三棱柱ABC-ABC的高为旦.1117考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用20•已知点P(2,2)，圆C:x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；⑵当|OP|=|OM|时，求l的方程及APOM的面积【答案】(1)(x-1)2+(y-3)2=2;(2)l的方程为y=-1x+1;APOM的面积为罟•【解析】试题分析：(1)先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16，所以圆心为C(0,4)，半径为4,根据求曲线方程的方法可设M(x,y),由向量的知识和几何关系：CM•MP=0，运用向量数量积运算可得方程：(x-1)2+(y-3)2=2;(2)由第(1"所求可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，迈为半径的圆，加之题中条件IOP1=1OMI，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON丄PM，不难得出l的方程为y=--x+8;结合面积公式可求又APOM的3面积为16•5试题解析：(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16，所以圆心为C(0,4)，半径为4,设M(x,y)，则CM=(x,y-4)，MP=(2-x,2-y)，由题设矢口CM•MP=0，故x(2-心(y-4)(2-y)=0，即(x-1)2+(y-3)2=2•由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2•(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，迈为半径的圆.由于IOPI=IOMI，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON丄PM•因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-1，故l的方程为y=-1x+8・333又IOP1=1OM1=2迈,O到l的距离为仝10,丨PM1=兰10,所以APOM的面积为16・555考点：1・曲线方程的求法;2・圆的方程与几何性质;3・直线与圆的位置关系21•设函数f(x)=aInx+-~-x2-bx(a丰1)，曲线y=f(x)在点G,f(1))处的切线斜2率为0求b;若存在x>1,使得f(x)<旦，求a的取值范围。00a-1【答案】(1)b=1;(2)(-迈-1疋-1)U(1,+Q・【解析】试题分析：(1)根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行求导可得：f'(x)=a+(1-a)x-b，利用上述关系不难求得f'(l)=0，即可得xb=1;(2)由第(1)小题中所求b，则函数f(x)完全确定下来，则它的导数可求出并化简得：f'(x)=a+(1-a)x-1=匕(x--)(x-1)根据题意可得要对旦与1的TOC\o"1-5"\h\zxx1-a1-a大小关系进行分类讨论，则可分以下三类：(i)若a<，则一^<1，故当xg(1,+力)21-a时，f'(x)>0，f(x)在(1,)单调递增，所以，存在x>1，使得f(x)<旦的充要00a-1条件为f(1)<旦，即匕-1<旦，所以-迈-1<aS迈-1.(ii)若1<a<1，a—12a—12贝寸_^>1，故当xg(1,—)时，f'(x)<0；当xg(-^―,+8)时，f'(x)>0，f(x)在1-a1-a1-a(1,旦)单调递减，在(旦,+8)单调递增•所以，存在x>1，使得f(x)<厶的充1-a1-a00a-1要条件为f(旦)<旦，无解则不合题意・(过)若a>1，贝1-aa-1f(1)=匕纟-1=HZ1<旦•综上，a的取值范围是(—2-1八‘2-1)U(1,+8)・22a-1试题解析：(1)f'(x)=a+(1-a)x-b，x由题设知f'(1)=0，解得b=1・1-a(2)f(x)的定义域为(0,+8)，由(1)知，f(x)=aInx+x2-x，2(i)若a<丄，则旦<1，故当xg(1,+8)时，f'(x)>0，f(x)在(1+8)单调递增，21-a

所以，存在X>1，使得f(X)<丄的充要条件为/(1)<旦，即匕a-1<旦,00a一1a一12a一1所以—辽-1<a<迈-1.(ii)若-<a<1，贝V—>1，故当xe(1,-A-)时，f'(x)<0；21—a1—a当xe(旦,+Q时，f'(x)>0，f(x)在(1,旦)单调递减，在(旦,+Q单调递增.1—a1—a1—a所以，存在x0>1所以，存在x0>1，使得f(x)<0aa—1的充要条件为f(—)<1—aaa—1而f(旦)=aIn旦+竺+旦>旦，所以不合题意.1—a1—a2(1—a)a—1a—1(iii)若a>1，则f(1)=匕—1=士1<旦・22a—1综上，a的取值范围是(-迈—1,迈—1)U(1,+s)・考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用22.如图，四边形ABCD是C■。的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE.证明：ZD=ZE；(II)设AD不是00的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：AADE为等边三角形.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析【解析】试题分析：(1)根据题意可知A，B，C，D四点共圆，利用对角互补的四边形有外接圆这个结论可得：ZD=ZCBE，由已知得ZCBE=ZE，故ZD=ZE;(2)不妨设出BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC，由等腰三角形三线合一可得：MN丄BC，故O在直线MN上，又AD不是圆O的直径,M为AD的中点，故0M丄AD，即MND，所以AD//BC，故ZA=ZCE，又ZCE=Z5，故ZA=ZE，由(1)知，ZD=ZE，所以AADE为等边三角形.试题解析：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以ZD=ZCBE，由已知得ZCBE=ZE，故ZD=ZE・设BC的中点为N，连结MN，则由MB=MC知MN丄BC，故O在直线MN上・又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故0M丄AD，即MN丄AD・所以AD//BC，故ZA=ZCBE，又ZCBE=ZE，故ZA=ZE・由(1)知，ZD=ZE，所以AADE为等边三角形.考点：1・圆的几何性质;2・等腰三角形的性质23.已知曲线C:乂+兰=1，直线l:/X二2+1(t为参数)9[y二2-2t写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|pa|的最大值与最小值.【答案】(1)曲线C的参