2022-2023学年四川省内江市高三（上）零模数学试卷（理科）（附答案详解）

2022-2023学年四川省内江市高三(±)零模数学试卷(理

科)

1.椭圆2/+y2=8的长轴长是()

A.2B.2V2C.4D.4V2

2.设Z=l+i(i是虚数单位)，则复数:+Z2在复平面上对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知五=(2,-2,-3),b=(2,0,4),则cos@,B)=()

A.—B.--C.OD.1

8585

4.函数/(%)=：/一inx的单调递减区间为()

A.(-1,1)B.(-8,1)C.(l,+oo)D.(0,1)

5.“ab<0”是“曲线。/+如2=1为双曲线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

6.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的

选法共有()

A.6种B.12种C.30种D.36种

7.如图,在直三棱柱480-4/16中，BC1面4CC14,

B4

CA=CC]=2CB,则直线与直线ZB1夹角的余弦值

为)

^

-

AB.5

遍

一

C3

V-5

5

D.-

5

8.点尸在曲线y=炉-x+|上移动，设点P处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围

是()

A.[0,5B.[0,川洋㈤

C.第兀)D.a号

已知P是椭圆1+1=1上的点，&、尸2分别是椭圆的左、右焦点，若熹黑=j

则△F1PF2的面积为()

A.3V3B.2V3C.V3D.—

10.随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=%则D(3X-2)=()

X-1()1

1

Pb

6

A.9B.7C.5D.3

11.已知A,8为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，为等腰三角形，顶角

为120。，则E的离心率为()

A.V5B.2C.V3D.V2

12.若函数f(x)=%2+ex-1(%<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对

称的点，则a的取值范围是()

A.(—co,y/e)B.(—oo,-^)C.(―-^,Ve)D.(―Ve,-^)

13.(1-+y)6的展开式中My4的系数为(用数字作答).

14.抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，。是原点，则成•而=.

15.已知函数/(x)=0-2)铲+以X-1)2有两个零点，”的取值范围是.

16.若双曲线/—?=1上存在两个点关于直线/：y=kx+4(k>0)对称，则实数A

的取值范围为.

17.2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日

在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学

随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的良，女生中有80

人对冰壶运动没有兴趣.

有兴趣没有兴趣合计

男

女80

合计

(1)完成上面2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与

性别有关？

(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人

中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X

的分布列和数学期望.

n(ad-dc)2

附：K2=(几=a+b+c+d).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

18.在AZBC中，4(-2,0),B(2,0),AC与BC斜率的积是

(1)求点C的轨迹方程;

(2)P(4,0),求PC的中点M的轨迹方程.

第2页，共15页

19.四棱锥P—4BCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，侧面PAD，底面ABCZ),

4BCD=60。，PA=PD=V2,E是8c的中点，点。在侧棱PC上.

(1)若Q是PC的中点，求二面角E—DQ—C的余弦值；

(2)是否存在Q,使24〃平面。EQ?若存在，求出震的值；若不存在，说明理由.

20.已知函数/'(%)=excosx—x.

(1)求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求函数/(x)在区间［0,方上的最大值和最小值.

21.已知椭圆+《=l(a>b>0)的左，右焦点分别为后、6，上下顶点分别为M、

N,点”的坐标为M(0,夜)，在下列两个条件中任选一个：①离心率e=¥；②四

边形FIMBN的面积为4,解答下列各题.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线/：x=my-l(zneR)交椭圆E于A、8两点，判断点G(-3,0)与以线段

A8为直径的圆的位置关系，并说明理由.

22.已知函数/(%)=e",g(x)=x+alnx,aeR.

(而)讨论g(x)的单调性；

(而)若/'(x)+2xNg(x)+%。，对任意xE(1,+8)恒成立，求。的最大值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：椭圆2M+y2=8的标准方程为

3=1，

48

即有a=2V2,

则椭圆的长轴长为2a=4V2,

故选：D.

将椭圆方程化为标准方程，可得椭圆的a,进而得到椭圆的长轴长2a的值.

本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的长轴长，注意化椭圆为标准方程，属于基

础题.

2.【答案】A

【解析】解：；z=1+i,

则复数2+z2=三+(1+i)2=泻竟+2i=l+i,

复数I+Z2在复平面上对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限.

故选：A.

利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标，则答案可求.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础

题.

3.【答案】B

【解析】解：va=(2,-2,-3),1=(2,0,4),

一一a-b4+0-124V85

•••cos<a,b>----------=—=-----=——.

\a\-\b\V17-2V585

故选：B.

利用空间向量的夹角余弦值公式cos<a,b>=黑，即可求得.

|a卜网

本题主要考查空间向量的夹角余弦值公式，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性的求法，函数的导数的应用，注意函数的定义域.

求出函数的定义域，利用导函数的符号列出不等式求解即可.

【解答】

第4页，共15页

解：函数f(%)=一]n%的定义域为：{%优>0}.

函数/(%)=[/-Inx的导函数为：f'(x)=x-p

令x--<0并且%>0,解得0V%V1.

X

函数/(%)=|x2—Inx的单调递减区间为(0,1).

故选：D.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了双曲线的标准方程及充分条件，必要条件的判断，属于基础题.

【解答】

解：一方面，若ab<0,得a>0,bV0或QV0,b>0.

此时，曲线。产+by2=1表示双曲线;

另一方面，若曲线a%2+by2=1表示双曲线，

则ab.0,1+(=1,代(0,此时必有她<。，

ab

故“ab<0”是“曲线a/+by2=1为双曲线”的充分必要条件.

故选C.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查两个计数原理的综合应用，排列组合，是基础题.

“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，利用分步计数原理，

求解即可.

【解答】

解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：

①甲、乙所选的课程中2门均不相同，

甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有鬣第=6种.

②甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，

从4门中先任选一门作为相同的课程，甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2

门中任选1门，由分步计数原理，此时共有程盘6=24种.

综上，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种.

故选C.

7.【答案】C

【解析】解：连接CBi交BG于。，若E是AC的中点，连接BE,ED,

■：ABC-&8传1为直棱柱，各侧面四边形为矩形，.•.。是C/的中点，

•••EZV/AB1，.•.直线BG与直线夹角，即为ED与BG的夹角NBDE或补角，

若BC=1,则CE=1,BD=CD空,BC1面4"出，ECu面亦的a，则CB1CE,

而ECICC],又BCDCCi=C,BC,CCiu面BCCH，二EC

又CDu面BCGBi，工CE_LCD,

ED=y/CD2+CE2=|,BE=y/CB2+CE2=0,

BD2+ED2-BE2

在△BOE中，由余弦定理，得cos/BOE

2BDED

故直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为

故选：C.

连接C/交8G于Q,若E是AC的中点，连接BE,ED,易得ED〃ABi，即直线BC1与

直线AB1夹角为NBDE或补角，进而求其余弦值.

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查空间思维能力，是中档题.

8.【答案】B

【解析】解：1tana=3x2-1,

・•・tanaE[—1,+8）.

当tanaE[0,+8）时，aG[0,^）；

当tanaG[—1,0）时，aG[},加）.

n3TT

・•・aG[0,-）11[—,/r）

L4

故选B.

根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜

率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系左=tana,求出a的范围即可.

此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切

函数的图象与性质.要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，

且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质.

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9.【答案】A

【解析】解：由题意可得：a=5,b=3,

所以c=4,即&F2=2c=8.

设F】P=rn,F2P=n,所以由椭圆的定义可得：m+n=10…①.

因为点篇=%所以由数量积的公式可得：cos＜而

所以＜丽，讯＞=2

在仆&PF2中N&PF2=60°,

所以由余弦定理可得:64=m2+n2—2mncos60°…②，

由①②可得：mn=12,所以工尸1尸「2=|ninsin60°=3V3.

故选4

先根据椭圆的方程求得c,进而求得因尸2|,设F1P=m,F2P=n,再根据条件求出

^FlPF2=60%然后利用余弦定理可求得，""的值，"利用三角形面积公式求解.

解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的定义，熟练利用数量积求向量

的夹角以及利用解三角形的知识求解面积问题.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

由E(X)=/利用随机变量X的分布列列出方程组，求出a="=T，由此能求出。(X),

再由。(3X-2)=9D(X),能求出结果.

本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考

查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

【解答】

解：•••E(X)=/

••・由随机变量X的分布列得：

(：+a+b=l

6解得a=：,

\-i+b=332

1,11,11,15

2

.•.D(X)=(-1-3)X-+(0--)^X-+(1--)2X-=-.

5

D(3X-2)=90(X)=9x-=5.

故选：C.

11.【答案】D

【解析】解：设M在双曲线捺—5=1的左支上，

且AM=AB=2a,Z.MAB=120",

则M的坐标为(-2a,Ua),

代入双曲线方程可得，

4Q23a2t

-a--2-----b--2=1,

可得Q=b,

c=Va24-b2=V2a,

即有

e=-a=V2.

故选：D.

设M在双曲线今-'=1的左支上，由题意可得例的坐标为(-2a,6a),代入双曲线方

程可得a=b,再由离心率公式即可得到所求值.

本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函

数的定义求得M的坐标是解题的关键.

12.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，

是函数图象和性质较为综合的应用.

由题意可得e*。-T-5(-殉+a)=0有负根，函数/i(x)=ex-1-ln(-x+a)为增函数,

由此能求出a的取值范围.

【解答】

解：由题意可得：存在&E(—8,0),

满足就+ex°—g=(―%o)2+ln(—%o+a)，

x

Bpe°-—ln(—%0+Q)=0有负根，

・•・当x趋近于负无穷大时，

x

e0-1-ln(-x0+Q)也趋近于负无穷大，

且函数h(%)=ex—j—ln(—%+a)为增函数，

若a<0,%TQ,h(x)>0,

此时靖。一］一也(一&+。)=0有负根，符合题意，

若a>0,则/i(0)=e°—|—Ina>0,

Ina<InV^,

・•・a<Ve,

・•.Q的取值范围是(一8,泥)，

故选：A.

13.【答案】9

第8页，共15页

【解析】解：二项式(x+y)6的展开式通项公式为Tr+1=C袅6-，r,r=0,1,…，6,

245

当r=4时，T5=C^xy,当r=5时，T6=C^xy,

所以含/y，的项为C"2y4+(_：).德_C^)x2y4=9x2y4,

故/y4的系数为9,

故答案为：9.

根据二项式定理求出含％2y4的项，即可得其系数.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】

4

【解析】由题意知，抛物线必=2x的焦点坐标为&0),.•.直线AB的方程为y=

y2=2x

由i得I/一(k2+2)%+=0,设4(%21),8(%2，、2),

y=k[x_

X-2xx_x

则+x2=^7^»X1X2=%丫1•=K1,k(%21)=k[l•2|(l+%2)+勺，

2

：.OA-OB=x1-x2+y1-y2=;+fc[j-1^+;]=

故答案为：-J.

4

由抛物线y=2x与过其焦点G，0)的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方

程，设出/(/,月)、B(X2，y2)两点坐标，M-OB=Xj-%2+yi-y2＞由韦达定理可以求

得答案.

本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，转为一元

二次方程根与系数的关系的问题.

15.【答案】(0,+8)

【解析】解：因为/1(X)=(x-2)e*+a(x-1)2,xER.

所以((%)=(x-i-)ex+2ao-1)=(x-l)(ex+2a).

(i)当a=0时，则/(x)=(x-2)e*,f(%)只有一个零点为x=2.

(i)设a>0,则当xe(-8,i)时，f(x)<o；当xe(l,+8)时,/'(©>0.

所以/(X)在(—8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

又/⑴=-e,/(2)=a,取b满足b<0且b<l吟则/'(b)>(b-2)+a(b-=

贴2-我>0,故/(X)存在两个零点.

(山)设a<0,由尸(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

若aN-：,则ln(-2a)Sl,故当x€(l,+8)时，f'(x)>0,

因此f(x)在(1,+8)上单调递增.又当％<1时，/(%)<0,

所以不存在两个零点.

若a<一]则ln(-2a)>l,故当xW(l/n(—2a))时，f'[x)<0；

当xe(ln(-2a),+8)时，f'(x)>0.因此/(x)在(1,In(-2a))上单调递减，

在(ln(-2a),+8)上单调递增.又当xW1时，/(x)<0,

所以f(x)不存在两个零点.综上可得a的取值范围为(0,+8).

故答案为：(0,+8).

首先求出函数的导函数，再对参数”分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可

得到所求范围.

本题考查了函数的函数、转化思想、分类讨论思想及导数的综合运用，属于中档题.

16.【答案】(0,加(苧,+8)

【解析】解：依题意，双曲线上两点4(*1，%),B(x2,y2)>

若点A、B关于直线/：y=kx+4(k>0)对称，贝U

设直线AB的方程是％=-ky+n,

代入双曲线方程/-?=1化简得：(3/c2-l)y2-6kny+3n2-3=0,

贝必=36k2n2-4(31-i)(3n2-3)>0,且3k2-1父0,解得31-1+n2>0,且

3k2-1片o

又yi+丫2=素，，设4B的中点是。(xo，y()),

所以出=华=建？殉=_协。+n=一舟.

因为A8的中点。在直线/：y=kx+4(k>0)上，

所以=卜,一?-+4,所以n/c=3上2—1,又3炉一1。o,

3k2-l3k2-1

所以九/fH0,即k。0,九H0,所以？I=

“kJ,

所以3k2-1+(专二)2>0,整理得(3/一1)(4/-1)>0,

所以0<k<然k>y,

实数％的取值范围为：(0,Ju谭,+8),

故答案为：(0，)U(^,+8).

设双曲线上两点2(xi，yi),B(x2>y2)>直线A3的方程是％=-1丫+葭，代入双曲线方程

化简得(非—l)y2一2kny+必—3=0,A8的中点是利用判别式大于0,韦

达定理结合48的中点£>在直线/：y=kx+4(k>0)上，转化求解女的范围即可.

本题主要考查直线与双曲线的综合问题，双曲线的几何性质等知识，属于中等题.

17.【答案】解：(1)依题意对冰壶运动有兴趣的人数为|^x(200+200)=270人，

则女生中对冰壶运动有兴趣的有200-80=120人，

男生中对冰壶运动有兴趣的有270-120=150人，

所以男生中对冰壶运动无兴趣的有200-150=50人，

故2X2列联表:

第10页，共15页

有兴趣没有兴趣合计

男15050200

女12080200

合计270130400

“2400x(150x80-50xl20)2400

•••K/=-------------------------—=—x10.256>6,635,

270x130x200x20039

•••有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.

(2)从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，抽到的男生人数、女生人数分别为：9'费=

5(A),9x黑=4(人)，

X的所有可能取值为0,1,2,

P(X=0)=乌=W=三，

17Cl3618

P(X=1)=^="=9,

',以369

05=2)=:=卷/

故X的分布列为：

X012

551

P

1896

故E(X)=0x葛+1X/2XR*

【解析】(1)根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再

计算出卡方，即可判断.

(2)首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意X的所有可能取值为0,1,2,

求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；

本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题.

18.【答案】解：(1)设点C坐标为(x,y),由题知心C/BC=WX」4=—；,

X+£X—L4

v2

整理得点C的轨迹方程为?+y2=1(X*+2)；

(2)设点M坐标为(x,y),点C坐标为。0，%)，

广+X。_4_a

由中点坐标公式得晶二°,即

2

将那?『代入？+『=1(行0),

得点M的轨迹方程为：色薯+y2=1(740).

【解析】(1)设点C坐标，根据题意直接列方程可得；

(2)由相关点法可得.

本题考查了轨迹方程的计算，属于中档题.

19.【答案】(1)解：取中点0,连接OP,OB,BD,

因为PA=PD,所以P014D,

因为侧面PAD•1底面A8C£>,且平面H4Dn底面4BCD=AD,

所以POJ■底面ABC。，可知，BOA.AD,PO1AD,

以0为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz,

则。(-1,0,0),E(-1,75,0),P(0,0,l),C(-2,V3,0),

因为。为PC中点，所以。(一1,4,},

所以屁=(0,71,0),而=(0,y,i),

所以平面OE。的法向量为石=(1,0,0),

因为虎=(-l,V3,0),DQ=(0,苧,}，

设平面OQC的法向量为芯=(x,y,z),

DC-=0—x+V3y=0

则即V3,1„

DQ-nJ=0—y+-z=0

I2J2

令x=遍，则y=l,z=—即通=（遮,1,—8）,

所以3〈宙E>=需=亨，

由图可知，二面角E—DQ-C为锐角，所以余弦值为今；

(2)解：设用=，正(0W4W1),

由(1)可知正=(-2,V3,-1),P4=(1,0,-1).

设Q(x,y,z),则的=(x,y,z-1),

又因为的=4定=(一2尢8;I,—冷,

x=-24

所以y=V5a,即Q(—22,V5尢—A+1),

z——A+1

所以在平面DEQ中，屁=(0,我,0),丽=(1一2九V3A,1-A),

所以平面OEQ的法向量为元>=(1—尢0,24-1),

又因为P4〃平面。EQ,所以可•4=0,

第12页，共15页

即(1-A)+(-1)(22-1)=0,解得2=I，

所以当；1=|时，即卷=|，P4〃平面OEQ.

【解析】(1)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-xyz利用向量法能求出二面角E-

DQ-C的余弦值；

(2)设所=4定(0S4S1),Q(x,y,z),推导出Q(—2尢遮；1,-4+1),利用向量法能求

出当;1=|时，P4〃平面。EQ.

本题考查了二面角的计算和线面平行的证明，属于中档题.

20.【答案】解：(1)v/(%)=excosx—%,

・•・/'(%)=ex(cosx-sinx)—1,

可得曲线y=/(%)在点(0/(0))处的切线斜率为k=尸(0)=0,

/(0)=1,切点为(0,1),

曲线y=f(x)在点(0J(0))处的切线方程为y=1；

(2)/(%)=excosx—%,

/'(%)=ex(cosx—sin%)—1,

令9(x)=ex(cosx—sinx)—1,

g'(x)=ex(cosx—sinx—sinx—cosx)=­2ex•sinx,

当％6［0,^］,可得g'(x)=-2ex•sinx<0,

即有g(x)在［0,/上单调递减，

可得g(x)<g(0)=o,即［(%)<o,

则/"(x)在［0,/上单调递减，

即有函数/(X)在区间［0,§上的最大值为/X0)=e°cosO-0=1；

最小值为f()=e5cosm-=-p

【解析】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和最值，考查运算能力，正确求导是

解题的关键，属于中等题.

(1)求出/(乃的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程；

(2)求出/'(x)的导数，再令g(x)=f'(x),求出g(x)的导数，可得g(x)在区间［0,堂的单调

性和最大值，即可得到/(x)的单调性，进而得到f(x)的最值.

21.【答案】解：(1)选①：由上顶点M(0,畲)，即6=企，

由0=£=玄，且&2—人2=&2—2=©2,可得&2=4,

a2

所以椭圆E的方程为：+：=1；

42

选②：由题设，|x26x2c=4,即be=2,而5=遮，

所以c=V2,故小=b24-c2=4,

所以椭圆E的方程为[+1=1；

42

(2)联立/：%=小丫一106/?)与9+?=1,

并整理可得：0n2+2)y2_2m