西交课件信号与系统chapterten

第10Z-TheZ-本章主要内Z变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换的推广。Z变换的基本思想、许多当然，Z变换与拉氏变换也存在着一些重要双边Z变Thez-Z变换的定义X(z)x(n)z zrejω当r时，zejω即为离散时间 X(rejω)x(n)rnejωnF[x(n)rnx(n)做Z变换就等于对x(n)rn做DTFT二.Z变换的收敛域并非Z平面上的任何复数都能使X(z收敛。Z平面上那些能使X(z)收敛的点的集合，就构成了X(z)的收敛域（ROC）。例1.x(n)anu(n)X(z)

anzn

1

z

当 1时，ROC包括了单位圆

Im单位ax(n)的aX(ejω)

z X(z|zejωX(ejω x(n)X(z)

zn 1

z从X(z)通过将 ejω得到X(ejω

11

1e

k

x(n)anu(n X(z)anznan a1

z1 1

Rea例4.x(n1)nu(n2nu(n2X(z)

(12

z

2nzn

Z平 12

z1 12z1

ROC:12

z

结论：2仅仅由X(z)，只有X(z)连同相应的ROCi当X(z是有理函数时，其ROC的边界总是由X(z)的极点所在的圆周界定的。X(ejω)X(z)三.X(z)的几何表示——N(z)

(zziX(z) M D(z)

(zzppMZ平面上表示出X(z)Z变换的TheRegionofConvergenceforthez-在ROC内，X(z)无极点z0，或z）。N1,不包括z设x(n)是右边序列，定义于N1，由x(n，N1n，有X(z)

n

x(n)znzr0ROC如果r1r0

n

1x(n)r1

00

n

n n

)N100

zr1当N10时,由于X(z的展开式中有若干个

不能为包括z0若r0ROC 1r0，则

x(n)r0n

当N10时，由于X(z)的展开式中包括有Z的负幂项，所以Z不能为零。若X(z)是有理函an,0nN a x(n) 其他N

1aNzN zNX(z)a

1 zN1(zz0（N－1阶

jImzz

j2πk

(N 0

Rez(k0,1N

(NzaZROCz例2.x(n)bn bx(n)bnu(n)bnu(nbnu(n) z1

Z平 bnu(n1)

1b1z1

zb1(z0b1时，ROCbz1例3.X(z)

(11z1)(12z1)

0

1/ 132极点：z1 132

Z零点：z0（二阶Z

z2x(n) z 13

z2时x(n)是双边序列，其 ROCROC

，是x(n)Z-反变TheInverseZ-一.Z-X(rejω)x(n)rnejωnx(n)rn1X(rejω)e2πx(n)1X(rejω)rne2π令zre ，则dzjrejωdω当ω从02π时，Z沿着ROCr其中C其中C是ROCx(n)

X(z)zc iiX(z)i

1a步骤：1.求出X(z)的所有极点 将X(z)展开为部分例：X(z

356

1z(1z1)(1z1) 将X(z)X(z)

ROC:|z|1/11 11

ROC2:|z|1/x(n)(1)nu(n) 1 n ) 2.幂级数展开法:（X(z)x(n)znx(1)zx(0)x(1)z1x(2)z2x(n)zn展开式中zn项的系数即为x(n)。当X(z)是35 例：X(z) (11z1)(11z1

z X(z)

ROC1:|z|1/11 11

ROC2:|z|1/多个极点时）难以得出x(n)的闭式。式X(z)的反变换。3.留数法：X(z)x(n)2π

X(z)zn1dz Res[X(z)zn1,ziiiiin0x(nRes[X(z)zn1ziizi是C内的极点in0x(nRes[X(z)zn1zi 10.4.由零极点图对离散时变换几何求GeometricEvaluationoftheFourierTransformfromthePole-ZeroPlot当ROCz1时，Z况就是X(ejω，因此也可以利用零极点图对其例1.

y(n)ay(n1)h(n)anu(n)

H(z)

1

z当a1时，ROCH(ejω) 1aejωeaea1H(ejω

V1/V

22

处 H(ejω)有最大值当ωπ

H(ejω

H(ejω

随ω 0aaa aeae1H(ejω0πaπa h(n衰减越快，s(n)上升越快。 例2.y(n)2rcosθy(n1)r2y(n2)0r 0θ h(n)rnsin(n1)θH(z)

12rcosθz1r2 re 零点：z0（二阶 eV1V3当ω从0π时，在靠近ωθ处频率响若r越接近于1，H(ejω)的峰值 h(n)和s(n于平坦，而h(n和s(n)的变化速率会加快。 0r 0θ π4π4Z变换的性PropertiesoftheZ-x1(n)X1(z)x2(n)X2

ROC:ROC:则ax1(nbx2naX1(zbX2z)ROCR1 若x(n)X(z) 则x(nn0X(z)z

ROCRz0和z使ROC在z0，z有可能改变。若x(n)X

ROC:n则z0x(n)X(z/z0 ROC: nzR时X(z收敛，故|zz0|R时，X(zz0zz0

若z是一般复数

re

X(zz ω0，而且在径向有r0倍的尺度变化11x(nX(z)则x(nX(z1

ROC1/RX(z如果zi是X(z)的零/极点, 1/ 就是X(z1i的零/极点。由于z也是X(z)的零/极点ii1/i

也是X(z1)的零/极X(z)与X(z1的零极点呈共轭倒量对称i例：X(z)的ROCi

1/z1z 2

0ii则X(z1的ROC

z3

1/若x(n)X(z)x(n/kxk(n)0

ROC:n为k其它1k x(n)X(zkk

ROC:R kX(z) znx(r)zrkX k rx(nX(z)x*nX*(z*

x*X(z)X*(z若x1(n)X1z

ROC:x2(n)X2( x1(n)x2(n)X1(z)X2(z)

ROC:ROC包括R1 x(n)x(n) xn

(nm)zn x(m)X(z)zmX(z)

(z)x(nX(z)nx(nzdX

ROC:ROC:X(z)的反变换，或具有高阶极点的X(z)的 X(z)ln(1az1)

zdX(z) 1dX(z)

a(a)n1u(n1)nx(n) 1az1x(n)a(a)n1u(n1)1(a)nu(nn例X(z)

(1

zanu(n)

1

z 1)

dz1 dX(z)

x(n)nanu(n) (1若x(n)是因果信号，且x(nX(z)则x(0)limX(z)z证明：将Xz)按定义式展X(z)x(0)x(1)z1x(2)z2x(n)zn显然当

limX(z)x(n)是因果信号，且x(nX(z，X(z)

limx(n)lim(z1)X(z)

x(n)0,n

X(z)除了在z1(z1X(zlim(z1)X(z)lim[x(n1)x(n)]zn m

lim [x(n1)lim[x(0)x(1)x(1)x(0)x(m1)limx(m1) 这其实表明：如果值等于X(z)在z1处的留数。lim(z1)X(z)Res[X常用信号的Z变换SomeCommonZ-Transform 利用Z变换分析与表征LTI系ysisandCharacterizationofLTISystemsUsingZ-Transforms一.系统特性与H(z的关系:LTI系统的特性可以由h(n)或H(ejω)描述，因而也可以由H(z)连同ROC来表征。H(z)称为系统函数。系统的特性应该在系因果性：如果LTIn0时有h(n)0,所以,H(z的ROC是最外部极点的外部，并且包括z。稳定性：若LTI系统稳定，则h(n)即h(n的DTFT存在，表明单位圆在H(z)ROC内。即H(z)的ROC必包括单因此，因果稳定的LTIH(z H(z)是关于Z的有理函数时，因果性要求H(z)的分子阶由x(n)X(z)及其ROCR1由系统的描述求得H(zROCR2由Y(z)X(z)H(z)Y(z并确定它的ROC包括R1R2。对Y(z)做反变换得到y(n)。 aky(nk)bkx(nkk k kazkY(z)kk

bzkkkk

X(z)bbkNH(z)k Nkazk

k统函数H(z)和单位脉冲响应h(n)。y(n)x(n)5x(n1)8x(nY(z)(15z18z3)XH(z)15z18z

y(n)3y(n1)3y(n2)y(n3)(13z13z2z3)Y(z)X(z)H(z)

(1z1)3

h(n)1(n1)(n2)u(n)

系统函数的代数属性与方框图表SystemFunctionAlgebraandBlockDiagramRepresentations H1H1(zH2(z RH(z)H1(z)H2(z ROC包括 RH2(z)HH2(z)H1(z)H(z)H1(z)H2(z

R

X(

G(HG(H1(

Y(X1(z)X(z)Y(z)G(z)Y(z)X1(z)H1(z)X(z)H1(z)Y(z)H1(z)G(z)H(z)

H1(1H1(z)G(

ROC：包括

1N(zNbz N1μzH(z)

k 0

NkakNkk

k

1ηN 21 z1

N/0

0H(z) 1 z1α

k

k(zDbDa

α 2α2

DβD DβDDα21D

2N 2N2将H(z)展开为部分分式，在无重阶极点H(z)

k11ηz1 N/

r 0 k11 z 0

b0N/a

Hk(z) kb0/x(n)

α11DαDαD

0r02r

y(n)N1Dα2ND

1N

单边Z变换The lZ-一单边Zχ(z)x(n)zn信号的双边Z变换。因此单边Z变换χ(z的ROC一定是最外部极点的外部，并且包括|z|。x(n)

1 2πj

χ(z)z换X(z与单边Z变换χ(z不同。 x(n)anu(n)X(z) 1az1

zχ(z)

1

z

χ(z)X(z)例2.x(nan1u(n对其做双边ZX(zχ(z)an1zn

z1z

z

1 χ(z)X(z