2022年下半年初中数学教资考试高频重点知识点汇总【分章节整理】

全国初中数学教师资格证考试重点知识点梳理汇总

全国教师资格证考试初中数学高频重点

知识点梳理汇总【分章节归纳】

人教版七年级上

第一章有理数

1.1正数和负数

（一）正数：大于0的数叫正数，为了明确表达意义，正数前面加上符号“+”，这里的"+”

通吊省因曲数：小于0的数叫负数，在正数的前面加上符号（重点看教材例子）

（二）0既不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数。

1.2.1有理数

（-）有理数：整数和分数统称有理数。

（二）有理数的分类：

①②

'正整数'正整数

正有理数

正分数整数零

有理数［负整数

有理数4零

负整数'正分数

负有理数分数＜

负分数负分数

1.2.2数轴

（-）数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。

（二）画数轴的步骤：

（1）画直线；

（2）在直线上取一点作为原点：

（3）确定正方向，并用箭头表示；

（4）根据需要选取适当单位长度。

（三）一般的，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离

是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3相反数

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（一）相反数：只有符号不同的两个数。一般地a和-a互为相反数，0的相反数还是0。

（-）相反数的和为0=a+b=00a、b互为相反数。

1.2.4绝对值

（一）绝对值:一般地，数轴上表示数a的点与远点的距离叫做数a的绝对值,记做㈤。

（二）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

即

1.如果Q>0,那么|a|=a；

2.如果a=0,那么|a|=0；

3.如果a<0,那么|a|=-a。

4.有理数大小比较

（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数；

（2）两个负数，绝对值大的反而小。

（3）异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对

值。

1.3有理数的加减法

（-）有理数的加法法则：

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝时值减去

较小的绝对值。互为相反数的两个数相加和为0；

3.一个数同0相加，仍得这个数。

（二）有理数加法的运算律

1.加法的交换律：a+b=&+a；

2.加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

（三）有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+（-0,

（四）引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算：a+b-c=a+b+（-c）o

1.4有理数的乘除法

（-）有理数的乘法法则：

1.两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

2.任何数与0相乘都得0o

（二）几个不是。的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇

数时，积是负数。

（三）几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0。

（四）乘积是1的两个数互为倒数。

（五）有理数乘法的运算律：

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1.乘法的交换律：ab=ba.

2.乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

3.乘法的分配律:a（6+c）=ab+acQ

（六）有理数的除法法则

1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a+b=a-彳0）。

2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,

都得0。

（七）有理数加减乘除混合运算法则：先乘除，后加减。

1.5.1乘方

（―）乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幕，在a”中，a

叫做底数，n叫做指数。

（二）有理数乘方的法则：

1.负数的奇次嘉是负数，负数的偶次幕是正数。

2.正数的任何次幕都是正数，0的任何正整数次基都是0o

（三）有理数的混合运算顺序：（重点看教材例子）

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

1.5.2科学计数法

科学记数法：把一个大于10的数记成ax10”的形式（其中a大于或等于1且小于10,n

是整数），这种记数法叫科学记数法。

1.5.3近似数

近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数的精确到哪一位。

第二章整式的加减

2.1整式

（-）单项式

1.单项式：式子中只含数或字母的积，叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。

2.单项式的系数与次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，

所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

（二）多项式

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1.多项式：几个单项式的和叫做多项式。，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项

叫常数项。

2.多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

（三）整式

单项式与多项式统称为整式。

2.2整式的加减

（-）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

（-）合并同类项：把多项式中的同类项合并成同一项，叫做合并同类项。

（三）合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，ft

字母连同它的指数不变。

（四）去括号法则：

1.如果括号外面的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

2.如果括号外面的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

（五）整式加减的运算法则：一般的，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后

在合并同类项。

第三章一元一次方程

3.1从算式到方程

3.1.1一元一次方程

（-）方程：含有未知数的等式叫方程。

（二）一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1,等号两边都是整

式，这样的方程叫做一元一次方程。

（三）解方程和方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,

这个值就是方程的解。

3.1.2等式的性质

（-）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果任相等。即如果。=b,那么

。±c=b±c。

（二）等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即

如果Q=b,那么ac=6c；如果Q=，（cWO）,那么?

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3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项

移项：把等式一遍的某项变号后移到另一边，叫做移项。

3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母

（一）一元一次方程的标准形式：ax+b=O（x是未知数，a、b是已知数，且a/））。

（二）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为I

等，通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据

等式的基本性质和运算律等。

3.4实际问题与一元一次方程

（-）基本过程

用一元一次方程解决实际问题的基本过程如本章开头所示。

（-）常用公式

1.行程问题：距离=速度•时间，速度=需，时间=黔；

2.工程问题：工作量=工效•工时，工效=耳含，工时=1瞥；

3.比率问题：部分=全体•比率，比率=罂，全体=蕊；

4.顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

5.商品价格问题：售价=定价・折•上，利润=售价-成本，利润率=售价二成本X100%;

1U

6.周长、面积、体积问题：

。长方形=2（。+b）,SK/J形=ab,

,正方形=4。,$正方形=02,

22

Cm=2TVRSM=,s环形=7r(7?-r),

V长方形=abc，匕E方形=Q',

林=江R2hM丹锥—^2ho

第四章几何图形初步

4.1几何图形

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4.1.1立体图形与平面图形

（-）立体图形：几何体的各部分不都在同一平面内的图形叫做几何图形。

（二）平面图形：有些几何图形的各部分都在同一平面内叫做平面图形。

（三）展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以

展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

4.1.2点、线、面、体

（一）体：几何体也简称为体。

（二）面：包围体的是面。

（三）线：面和面相交的地方形成线。

（四）点：线和线相交的地方形成点.

4.2直线、射线、线段

（一）事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。

（二）相交：当两条不同的直线有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做

交点。

（三）中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的

中点。

（四）基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。

（五）距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

4.3角

4.3.1角

（-）角的单位：度（°）、分（，）、秒（"）。

（二）单位换算：1。=6011=60"。

4.3.2角的比较与运算

角的平分线：一般的，从一个顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个

角的平分线。

4.3.4余角和补角

（-）余角：如果两个角的和等于90。（直角），就说这两个角互为余角，其中每一个

角是另一个角的余角。

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（二）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个

角是另一个角的补角。

（三）性质：同角（等角）的补角相等。同角（等角）的余角相等。

第五章相交线与平行线

5.1相交线

（一）相交线

1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻

补角。也可以表述为两个角有一条公共边，另一条边互为反向延长线。

2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对

顶角。

3.性质：对顶角相等。

（-）垂线

1.垂直：直线a与6的夹角为90。时，我们说Q与6互相垂直，记作

2.垂线：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其

中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

3.儿何语言：•••AB_LC£）,，NAOC=90°

或者ZAOC=90°AB1CD

4.垂线的画法：一靠、二过、三画

一靠：把三角板的一条直角边靠在已知直线上:

二过：让三角板的另一条直角边经过已知的点;

三画：沿着直角边经过已知点画直线。

5.性质：

（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（点在线外和点在线

上两种情况）

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最

短。

6.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

7.同位角、内错角、同旁内角（两条直线被第三条直线所截，

三线八角）

（1）同位角：N1与/5像这样具有相同位置关系的一对角

叫做同位角。（F型）

（2）内错角：Z2与/6像这样的一对角叫做内错角.（ZQ

型）7

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（3）同旁内角：N2与N5像这样的一对角叫做同旁内角。（U型）

5.2平行线及其判定

（一）平行线

1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。a与b互相平行，记作

2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即如果b//a,

c/Ia,那么b//a0

（二）平行线的判定

1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同

位角相等，两直线平行；

2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内

错角相等，两直线平行；

3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成:

同旁内角互补，两直线平行。

5.3平行线的性质

（-）平行线的性质

1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。

2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。

3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互

补。

（-）命题、定理、证明

1.命题：判断一件事情的语句叫命题。命题是由题设和结论两部分组成，命题常可以写

成如果…那么…的形式。即如果+题设，那么+结论。

2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。性质和定理都

是真命题。

3.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。

4.定理：经过推理证实得到的命题叫做定理。

5.证明：一个命题的正确性需要经过推理才能做出正确判断，这个推理过程叫做证明。

5.4平移

（一）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做

平移平移变换，简称平移。

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（二）对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的，

这样的两个点叫做对应点。

（三）平移特点：

1.平移不改变图形的形状和大小；

2.对应点连线平行且相等。

人教版七年级下

第六章实数

6.1平方根

（一）算术平方根：如果一个正数X的平方等于a,B|Jx2=a,那么这个正数x叫做a

的算术平方根。a的算术平方根记为上，a叫做被开方数，aNO.

（二）规定：。的算术平方根是0。

（三）平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。如

果/=应那么x叫做a的平方根。

注意：-3和-3是9的平方根：9的平方根是±3。

（四）开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

（五）被开方数越大，对应的算术平方根也越大。

（六）正数有两个平方根，他们互为相反数：0的平方根是0,负数没有平方根。

（七）算数平方根是他本身的数是0,1。平方根是他本身的数是0。

6.2立方根

（一）立方根：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就

是说，如果=°,那么x叫做a的立方根。

（-）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

（三）表示方法：一个数a的立方根，用符号“正”表示，读作“三次根号”，其中

a是被开方数。

（四）立方根是他本身的数是-1,0,1。

6.3实数

（-）无理数：无限不循环小数又叫无理数。

无理数分为三类：（1）开方开不尽的数，如V3,V7

（2）含有兀的数

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(3)具有一定规律的无限不循环小数，0.1001001...

(-)实数：有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应。

(三)分类：

'[■正有理数]

有理数｛01有限小数或无限循环小数(正实数

实数(〔负有理数J或实数(0

无理数｛曙黑｝无限不循环小数负实数

(四)性质：

1.数a的相反数是-a。

2.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0o

即设a表示一个实数，则有：

a(a>0)

|a|=•0(a=0)

।-a(a<0)

第七章平面直角坐标系

7.1平面直角坐标系

(-)有序数对

有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做(a,b)。

(-)平面直角坐标系

1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

2.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐

标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

3.坐标：对于平面内任一点P,过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴

上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

4.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫

第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。

5.已知点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值。

6.AB与x轴平行，那么A,B两点的纵坐标相同，AB与y轴平行，那么A,B两点的横

坐标相同。

7.2坐标方法的简单应用

(-)用坐标表示地理位置

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利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：

1.建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

2.根据具体问题确定单位长度；

3.在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

（二）用坐标表示平移

一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正

数a,相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵

坐标都加（或减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位

长度。

第八章二元一次方程组

8.1二元一次方程组

（一）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做

二元一次。二元一次方程的一般形式是ax+by=c（a=#0,6=#0）o

（二）二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

（三）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二

元一次方程组的解。一般地，二元一次方程的解有无数个。

（四）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一

次方程组的解。

8.2消元——解二元一次方程组

（-）消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

（二）代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方

程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

（三）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边

分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

消元

二元一次方程组一一元一次方程

8.3实际问题与二元一次方程组

解应用题过程：审、设、歹U、解、验、答

8.4三元一次方程组的解法

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（一）三元一次方程组：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是

1,并且一共有三个方程，像这样的方程叫做三元一次方程组。

（-）解方程组思路：三元一次方程组二二元一次方程组』一元一次方程。

第九章不等式与不等式组

9.1不等式

（一）不等式及其解集

1.不等式：用符号“<”">”“于”2”表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等

式的解集的过程叫做解不等式。

（~）不等式的性质

1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即如果a>b,

那么Q士C>6±C；

2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果Q>b,C>0,

那么ac>6c（或葭>§；

3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果cVO,

那么QC<6。（或?<。

9.2一元一次不等式

一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高

次数是1,像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

9.3一元一次不等式组

（-）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,

就组成了一个一元一次不等式组。

（二）解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组

（三）解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，在求出这些解集的公

共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。

（四）解不等式组口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无解可找。

第十章数据的收集、整理与描述

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10.1统计调查

（-）全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

（二）抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。

（三）个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

（四）样本：被抽取的所有个体组成一个样本。

（五）样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。

（六）简单随机抽样：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法

是一种简单随机抽样。

（七）归纳:全面调查和抽样调查是收集数据的两种方法。全面调查收集到的数据全面、

准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，抽样调查具有花费少、省时

的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。

10.2直方图

（一）基本概念

1.频数：一般地，我们称落在各个小组内的数据个数为该组的频数。

2.频率：频数与数据总数的比为频率。

3.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称

为组数，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。

（­）直方图与条形图

相同之处：条形图与直方图一般都是在坐标系中用矩形的高来表示频数的图形。

不同之处：中学常见的等距直方图组距是相等的，而条形图不一定。

直方图各矩形间无空隙，而条形图则有空隙。

直方图可以显示各组频数分布的情况，而条形图不能明确反映这点。

扇形统计图：圆心角的度数=百分比x360°

人教版八年级上

第十一章三角形

11.1三角形

二、知识梳理

（一）三角形的边

1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

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2.分类:

三边都不相等的三角形

三角形J底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形1等边三角形

3.三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

即两边之差〈第三边〈两边之和。

4.判断三条线段能否组成三角形，将两条较短的线段之和与最长的线段进行比较。

（二）三角形的高、中线与角平分线

1.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角

形的高。

直角三角形的三条高，一条高在三角形内部，其余两条与两条直角边重合，且三条高的

交点为直角的顶点。

锐角三角形的三条高内在三角形的内部，且有一个交点。

钝角三角形的三条高，一条高在三角形内部，其余两条在三角形外部，它们没有交点,

但所在的直线有一个交点。

锐角三角形直角三角形钝角三角形

高在三角形内部的数量311

高是否相交相交相交不想交

高所在的直线是否相交相交相交相交

三条高所在直线的交点三角形内部直角顶点三角形外部

的位置

2.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

3.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之

间的线段叫做三角形的角平分线。

4.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形中线的交点叫做三角形的重心。

5.三角形的一边的中线可以把这个三角形分成面积形等的两部分。

（三）三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

11.2与三角形有关的角

（-）三角形的内角

1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180。。

2.直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。

3.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成RtAABC»

4.做题中常用的性质：等角的余角相等。

（二）三角形的外角

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1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

2.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

11.3多边形及其内角和

（-）多边形

1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

2.n边形：如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。一个n边形

的内角个数、边数以及顶点个数都相等，都是n。

3.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

4.多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

5.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

6.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

7.凸多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一

侧，那么这个多边形叫做凸多边形。

（-）多边形的内角和

1.多边形内角和公式:n边形的内角和等于（〃-2>180。0

2.多边形的外角和等于360%

3.多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发，可以做（n-3）条对角线，多边形的

对角线有巫二9条。

2

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

（-）全等形：能够完全重合的两个图形，叫做全等形。

（-）全等形的性质：形状和大小完全相同。

（三）全等三角形：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。把两个全等的三角形

重合到一起，对应元素有：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边。重合的角叫做

对应角。

（四）全等的表示方法：△ABC和4DEF全等，记作AABC丝ZXDEF.注意：在记两个

三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。

（五）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、全等三角形的对应边相等。对应

的角平分线，中线，高线分别相等。对应的周长，面积也相等。

12.2三角形全等的判定

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（-）三角形全等的判定公理及推论有：（重点看判定定理推导证明过程***）

1.“边边边”简称“SSS”：三边分别相等的两个三角形全等；

2.“边角边”简称“SAS”：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；

3.“角边角”简称“ASA”：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；

4.“角角边”简称“AAS”：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等；

5.斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角

三角形全等。

（-）寻找边相等的方法：

1.图形中的隐含条件，如公共边；

2.利用线段中点找相等的边；

3.多条线段共线时，利用线段的和或差证明边相等。

（三）在证明两个三角形全等时，要注意隐含的条件：公共边、公共角、对顶角等。

12.3角平分线的性质

（一）角的平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

（-）角的平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（三）三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，并且到三

边的距离相等。

（四）要证明一个几何命题的一般步骤：

1.明确题中的已知和求证；

2.根据提议，画出图形，并用符号表示已知和求证；

3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。

（五）证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：：①确定已知

条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等

所隐含的边角关系）；②回顾三角形判定，搞清我们还需要什么；③正确地书写证明格式。

第十三章轴对称

13.1轴对称

（―）轴对称

1.轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么

这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线直线折叠，如果它能够与另个一个图形重合，那

么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠重合的点是对应点，叫做

对称点。注意：成轴对称的两个图形一定全等。

2.垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

3.图形轴对称的性质：

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（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直

平分线；

（2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（-）线段的垂直平分线的性质

1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

2.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

13.2画轴对称图形

（-）归纳：

1.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线,对称的图形，这个图形与原图形的形状、

大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线/的对称点；连接任意一

对对应点的线段被对称轴垂直平分。

2.几何图形都可以看作由点组成。对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线

段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

（―）点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的

坐标为（-x,y）。

（三）作关于坐标轴对称的图形：找出已知图形中的一些特殊点的坐标（如多边形顶点

的坐标）；求出对应点的坐标；根据所求的坐标，描出对应点；顺次连接这些点。

13.3等腰三角形

（一）等腰三角形

1.等腰三角形的性质：

性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三

线合一

性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边中线所在的直线（轴对称图形）。

2.等腰三角形的判定：

判定1：定义法，有两边相等的三角形是等腰三角形。利用全等三角形的对应边相等；

利用垂直平分线的性质。

判定2：等角对等边，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形所对的边也相

等。

（-）等边三角形

1.等边三角形角的特点：等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60。。

2.等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

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（2）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

3.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一

半.

13.4课题学习最短路径问题

问题作法图形原理

在直线1上求一点P,连接AB,与A两点之间线段最

使1交点即为P.短.PA+PB最小值为

A

*AB

---------/B

•B

PA+PB值最小.

作B关于1的角的垂直平分线

A

•B对称点B'连〜5性质；两点之间线段

--------------------1

AB',与1交点即最短.PA+PB最小值

P•

为P1为AB'

将军饮马：在直线1B

上求一点P，使PA+PB

值最小.

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

（-）同底数塞的乘法

同底数塞的乘法法则：am-a"=a'"+n（m,n都是正整数），即同底数塞相乘，底数不变,

指数相加。

（二）幕的乘方

累的乘方法则：=（丸〃都是正整数），即辱的乘方，底数不变，指数相乘。

一般地，即负数的偶次嘉是正数，负数的奇次基是负数。

[-（1r•（当71为奇数时）

（三）积的乘方

积的乘方法则：（曲）"=°”"（〃为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别

乘方，再把所得的基相乘。

（四）整式的乘法

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1.单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数罂分别相乘，对于只在

一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2.单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再

把所得的积相加。

3.多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个

多项式的每一项，再把所得的积相加。

4.同底数幕的除法法则：同底数幕相除，底数不变，指数相减，即+=

都是正整数，且

规定：任何不等于0的数的0次基都等于1.即0。=1（。/（））

在应用时需要注意以下几点：①法则使用的前提条件是“同底数基相除”而且0不能做除

数，所以法则中a#）。②任何不等于0的数的-p次基（p是正整数）,等于这个数的p的次募的倒

数，即葭40,p是正整数），而01,0-3都是无意义的;当a>0时，a-p的值一定是正的;

当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的。④运算要注意运算顺序。

5.单项式除法单项式：单项式相除，把系数、同底数哥分别相除，作为商的因式，对于

只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

6.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把

所得的商相加。

14.2乘法公式

（-）平方差公式（重点看几何推导证明）

两个数的和与这两个数的差的积，等与这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平

方差公式,BP（a+1）（a-6）=a2—b2„

（二）完全平方公式（重点看几何推导证明）

1.两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

下面这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。

（a+6）2=a2+lab+b2

（a—ft）2=a2—2ab+b2

2.添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负

号，括到括号里的各项都改变符号。

14.3因式分解

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式.这种变形叫做把这个多项式分解因

式，也叫做把这个多项式分解因式。

因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形。

（一）提公因式法

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1.公因式：在多项式中各项都有一个共同的因式，把这个因式叫做多项式的公因式。

2.找多项式的公因式时要先找系数的最大公约数，再找出相同字母的最低次幕，它们的

积就是多项式的公因式。

3.提公因式法：将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫

做提公因式法。

（二）公式法

1.平方差公式：a,2-"=（a+b）（a-b）。即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两

个数的差的积。

2.完全平方公式：a2±2ab+/=（a±&）2。.两个数的平方和，加上（或减去）它们的

积的2倍等于.两个数的和（或差）的平方。

3.（补充）分解因式的一般方法：提公共因式法、运用公式法、十字相乘法。

4.（补充）分解因式的步骤：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）

再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到

分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；（5）因式分

解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。

第十五章分式

15.1分式

（-）从分数到分式

1.分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子得叫做分式。

其中A叫做分子，B叫做分母。

2.分式有意义的条件：分母不等于0。

（二）分式的基本性质

1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值

不变。用式子表示为：

B-BCB一B+

2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

4.通分：把几个异分母的公式分别化成与原来的分是相等的同分母的分式，叫做分式的

通分。

5.最简公分母：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次

察的积作为公分母，他叫做最简公分母。

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15.2分式的运算

（一）分式的乘除

1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

,表不为：飞丁"

2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

3.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。用字母表示为：（〃为

正整数）。

4.分式的乘除混合运算，先统一成乘法运算，能约分的要随时约分，以减少运算量。

5.分式的乘方运算要把分式加上括号，同时不要忽略分子、分母系数的乘方，同时