2022-2023学年江西省九江市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年江西省九江市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设y=sin2x，则y'=A.A.2cosxB.cos2xC.2cos2xD.cosx

2.A.－cosxB.－ycosxC.cosxD.ycosx

3.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

4.

5.微分方程y''-2y=ex的特解形式应设为（）。A.y*=Aex

B.y*=Axex

C.y*=2ex

D.y*=ex

6.

7.设f(x)为连续函数，则等于()．A.A.f(x)-f(a)B.f(a)-f(x)C.f(x)D.f(a)8.函数f(x)在点x=x0处连续是f(x)在x0处可导的A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件9.

()A.x2

B.2x2

C.xD.2x10.设函数f(x)在区间(0，1)内可导，f'(x)＞0，则在(0，1)内f(x)()．A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量

11.

12.

13.

14.（）。A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件15.曲线y=lnx-2在点(e，-1)的切线方程为()A.A.

B.

C.

D.

16.

17.

18.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

19.A.A.0B.1C.2D.任意值

20.力偶对刚体产生哪种运动效应()。

A.既能使刚体转动，又能使刚体移动B.与力产生的运动效应有时候相同，有时不同C.只能使刚体转动D.只能使刚体移动二、填空题(20题)21.设y=2x+sin2，则y'=______．22.

23.设z=xy，则dz=______.

24.

25.幂级数

的收敛半径为________。26.

27.

28.设z＝2x＋y2，则dz＝______。29.设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____。

30.

31.幂级数的收敛半径为______.

32.设曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为______．

33.

34.

35.设f(0)=0，f'(0)存在，则36.

37.

38.

39.若f(ex)=1+e2x，且f(0)=1，则f(x)=________。

40.

三、计算题(20题)41.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．42.43.

44.

45.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．46.

47.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

48.求曲线在点(1，3)处的切线方程．49.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．50.

51.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

52.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．53.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．54.55.证明：56.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

57.

58.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则59.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

60.求微分方程的通解．四、解答题(10题)61.

62.将函数f(x)=lnx展开成(x-1)的幂级数，并指出收敛区间。

63.

64.设z=x2+y/x，求dz。

65.

66.

67.

68.

69.求由曲线y=x2(x≥0)，直线y=1及Y轴围成的平面图形的面积·

70.

五、高等数学(0题)71.若函数f(x)的导函数为sinx，则f(x)的一个原函数是__________。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C由链式法则可得(sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x，故选C。

2.C本题考查的知识点为二阶偏导数。由于z＝ysinx，因此可知应选C。

3.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

4.B

5.A由方程知，其特征方程为，r2-2=0，有两个特征根r=±.又自由项f(x)=ex，λ=1不是特征根，故特解y*可设为Aex.

6.B

7.C本题考查的知识点为可变限积分求导．

由于当f(x)连续时，，可知应选C．

8.B由可导与连续的关系：“可导必定连续，连续不一定可导”可知，应选B。

9.A

10.A由于f(x)在(0，1)内有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A．

11.A

12.A

13.D解析：

14.C

15.D

16.D

17.D解析：

18.D可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x。

19.B

20.A21.2xln2本题考查的知识点为初等函数的求导运算．

本题需利用导数的四则运算法则求解．

Y'=(2x+sin2)'=(2x)'+(sin2)'=2xln2．

本题中常见的错误有

(sin2)'=cos2．

这是由于误将sin2认作sinx，事实上sin2为一个常数，而常数的导数为0，即

(sin2)'=0．

相仿(cos3)'=0，(ln5)'=0，(e1/2)'=0等．

请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定为0．

22.

23.yxy-1dx+xylnxdy

24.极大值为8极大值为825.所给幂级数为不缺项情形，可知ρ=1，因此收敛半径R==1。

26.

27.028.2dx+2ydy

29.

30.

31.332.y=f(1)本题考查的知识点有两个：一是导数的几何意义，二是求切线方程．

设切点为(x0，f(x0))，则曲线y=f(x)过该点的切线方程为

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)．

由题意可知x0=1，且在(1，f(1))处曲线y=f(x)的切线平行于x轴，因此应有f'(x0)=0，故所求切线方程为

y=f(1)=0．

本题中考生最常见的错误为：将曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程写为

y-f(x0)=f'(x)(x-x0)

而导致错误．本例中错误地写为

y-f(1)=f'(x)(x-1)．

本例中由于f(x)为抽象函数，一些考生不习惯于写f(1)，有些人误写切线方程为

y-1=0．

33.1/π

34.35.f'(0)本题考查的知识点为导数的定义．

由于f(0)=0，f'(0)存在，因此

本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：

因为题设中只给出f'(0)存在，并没有给出，f'(z)(x≠0)存在，也没有给出，f'(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误．

36.

37.

38.

39.因为f"(ex)=1+e2x，则等式两边对ex积分有

40.x+2y-z-2=0

41.

42.

43.由一阶线性微分方程通解公式有

44.

45.函数的定义域为

注意

46.

则

47.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％48.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

49.由二重积分物理意义知

50.

51.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，