高中数学第5章三角函数51任意角和弧度制511任意角教学案第一册数学教学案

随意角(教师独具内容)课程标准：认识随意角的观点、理解象限角、终边同样角的观点并会用会合符号表示这些角．教课要点：理解正角、负角、零角、相反角、象限角的观点，掌握终边同样角的表示方法．教课难点：用会合符号表示终边同样的角．【知识导学】知识点一角的有关观点角能够当作平面内一条□01射线绕着它的端点从一个地点□02旋转到另一个地点所成的03□图形．角的表示：如图，OA是角α的□04始边，OB是角α的□05终边，O是角的□06极点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．依照角的旋转方向可将角分为以下三类：知识点二相反角如图，我们把射线OA绕端点O按□01不一样方向旋转□02同样的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□03－α.知识点三象限角若角的极点在原点，角的始边与□01x轴的非负半轴重合，则角的□02终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．若角的终边在□03坐标轴上，则以为这个角不属于任何一个象限．知识点四终边同样的角设α表示随意角，全部与角α终边同样的角，包含α自己构成一个会合，这个会合可记为{β|β＝□01α＋k·360°，k∈Z}．【新知拓展】对终边同样的角的理解终边同样的角不必定相等，但相等的角终边必定同样；k∈Z，即k为整数，这一条件不行少；终边同样的角的表示不独一．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边同样的角的前提条件是角的极点在座标原点．( )(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不必定是锐角．()(3)象限角与终边落在座标轴上的角表示形式是独一的．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)与600°角终边同样的角可表示为( )A．k·360°＋220°(k∈Z)B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z)D．k·360°＋260°(k∈Z)若角α与角β终边同样，则α－β＝________.答案

(1)B

(2)k·360°，

k∈Z题型一

正确理解角的观点例

1

以下命题正确的选项是

(

)A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都同样的两个角必定相等C．在

90°≤β<180°范围内的角

β不必定是钝角D．小于

90°的角是锐角[分析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，，A错误；终边和始边都同样的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；因为在90°≤β<180°范围内的角

β包含

90°角，因此不必定是钝角，

C正确；小于

90°的角能够是

0°，也能够是负角，

D错误．应选

C．[答案]

C金版点睛理解与角的观点有关问题的要点要点在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的观点，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．此外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只要举一个反例即可．[追踪训练1](1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )A．60°B．－60°C．30°D．－30°射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB地点，接着逆时针旋转100°到OC地点，然后再顺时针旋转240°到OD地点，求∠AOD的大小．答案(1)B(2)看法析分析(1)钟表的时针旋转一周是－360°，此中每小时旋转－360°＝－30°，因此经12过2个小时应旋转－60°.应选B．如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝100°，∠COD＝360°－240°＝120°，∠AOD＝∠BOC－∠AOB＋∠COD＝100°－90°＋120°＝130°.题型二终边同样的角的表示例2(1)写出与α＝－1910°终边同样的角的会合，并把会合中合适不等式－720°≤β<360°的元素β写出来；分别写出终边在以下各图所示的直线上的角的会合．[解](1)与角α＝－1910°终边同样的角的会合为{β|β＝－1910°＋k·360°，kZ}．∵－720°≤β<360°，1111∴－720°≤－1910°＋k·360°<360°，336≤k<636.故k＝4,5,6，k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°.①{β|β＝k·180°，k∈Z}．{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．[变式研究]在与角1030°终边同样的角中，求知足以下条件的角．最小的正角；最大的负角．解1030°÷360°＝2310°，因此1030°＝2×360°＋310°，因此与角1030°终边同样的角的会合为{|α＝·360°＋310°，k∈Z}．αk所求的最小正角为310°.取k＝－1得所求的最大负角为－50°.金版点睛在0°～360°范围内找与给定角终边同样的角的方法把随意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，要点是确立k.能够用察看法(α的绝对值较小)，也可用除法．要求合适某种条件且与已知角终边同样的角，其方法是先求出与已知角终边同样的角的一般形式，再依条件建立不等式求出

k的值．[追踪训练

2]

已知－990°<α<－630°，且

α

与

120°角的终边同样，则

α＝________.答案分析

－960°∵α与

120°角终边同样，故有

α＝k·360°＋120°，k∈Z.

又∵－1

1990°<k·360°＋120°<－630°，即－1110°<k·360°<－750°，解得－312<k<－212，又k∈Z，故k＝－3，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.题型三象限角的判断例3(1)已知角的极点与坐标原点重合，始边落在并指出它们是第几象限角．①－75°；②855°；③－510°；

x轴的非负半轴上，作出以下各角，α若α是第二象限角，则2α，2分别是第几象限的角？[解](1)作出各角，其对应的终边以下图：①由图a可知：－75°是第四象限角．②由图b可知：855°是第二象限角．③由图c可知：－510°是第三象限角．①∵α是第二象限角，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上．α②∵α是第二象限角，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，α45°＋k·180°<2<90°＋k·180°(k∈Z)．解法一：A．当k＝2n(n∈Z)时，αα45°＋n·360°<2<90°＋n·360°(n∈Z)，即2是第一象限角；b．当k＝2n＋1(n∈Z)时，α225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，2α

α即2是第三象限角．故

2是第一或第三象限角．解法二：∵45°＋

k·180°表示终边为一、三象限角均分线的角，

90°＋

k·180°(k∈Z)表示终边为

y轴的角，α∴45°＋k·180°<2<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中暗影部分图形．

α即2是第一或第三象限角．金版点睛象限角的判断方法依据图象判断．依照是终边同样的角的观点，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可成立一一对应的关系．将角转变到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是同样的．nα所在象限的判断方法确立nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转变为终边同样的角即可．α(4)n所在象限的判断方法α已知角α所在象限，要确立角所在象限，有两种方法：nα①用不等式表示出角n的范围，而后对k的取值分状况议论：被n整除；被n除余1；被n除余2；；被n除余－1.进而得出结论．n②作出各个象限的从原点出发的n均分射线，它们与坐标轴把周角分红4n个地区．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4个地区挨次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，nαα则标号为几的地区，就是n的终边所落在的地区．这样，n所在的象限就能够由标号地区所在的象限直观地看出．[追踪训练3](1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；(2)若α为第四象限角，试判断α的终边所在的象限．2解(1)因为α为第三象限角，因此180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，因此90°－α的终边在第三象限．(2)因为α为第四象限角，即α∈(k·360°－90°，k·360°)(k∈Z)，α因此

2∈(k·180°－45°，

k·180°)(

k∈Z)．α

α当k＝2n，n∈Z时，

2∈(n·360°－45°，

n·360°)(

n∈Z)，

2是第四象限角；α

α当k＝2n＋1，n∈Z时，

2∈(n·360°＋135°，

n·360°＋180°)(

n∈Z)，

2是第二象限角．α综上，可知2的终边所在的象限是第二或第四象限．题型四例4[解]

地区角的表示写出终边落在暗影部分的角的会合．设终边落在暗影部分的角为α，角

α的会合由两部分构成．{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的会合应该是会合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．[条件研究]将本例改为以下图，写出角的终边在图中暗影地区的角的会合(包含界限)．解(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋·180°≤α≤90°＋k·180°，kkZ}．(2)先写出界限角，再按逆时针次序写出地区角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°k·360°，k∈Z}．金版点睛地区角的写法可分三步按逆时针方向找到地区的开端和停止界限；(2)由小到大分别标出开端、停止界限对应的一个角α，β，写出全部与α，β终边同样的角；用不等式表示地区内的角，构成会合．[追踪训练4]写出终边落在图中暗影地区内(不包含界限)的角的会合．解(1)先写出界限角，再按逆时针次序写出地区角，得{α|k·360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．1．－215°是

(

)A．第一象限角

B．第二象限角C．第三象限角

D．第四象限角答案B分析∵－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，∴－215°是第二象限角，应选B．2．以下说法正确的选项是( )A．终边同样的角必定相等B．钝角必定是第二象限角C．第一象限角必定不是负角D．小于90°的角都是锐角答案B分析因30°和390°的终边同样，但两个角不相等，故A项错误；钝角必定是第二象限角，故B项正确；因－280°是第一象限角，但此角为负角，故C项错误；因－60°是小于90°的角，但它不是锐角，故D项错误．综上，选B．3．假如将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案－5－60360°分析将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×12×60＝5°，所转成的角360°度是－5°；分针按顺时针方向转了10×60＝60°，所转成的角度是－60°.4．角α，β的终边对于y轴对称，若α＝30°，则β＝________，α的相反角为________．答案分析

150°＋k·360