高中数学函数对称性和周期性小结

创作时间：二零二一年六月三十天高中数学函数对称性和周期性小结之答禄夫天创作创作时间：二零二一年六月三十天一、函数对称性：1.f(a+x)=f(a-x)==>f(x)对于x=a对称2.f(a+x)=f(b-x)==>f(x)对于x=(a+b)/2对称3.f(a+x)=-f(a-x)==>f(x)对于点（a,0）对称4.f(a+x)=-f(a-x)+2b==>f(x)对于点（a,b）对称5.f(a+x)=-f(b-x)+c==>f(x)对于点[（a+b）/2,c/2]对称6.y=f(x)与y=f(-x)对于x=0对称7.y=f(x)与y=-f(x)对于y=0对称8.y=f(x)与y=-f(-x)对于点(0,0)对称例1：证明函数y=f(a+x)与y=f(b-x)对于x=(b-a)/2对称.【分析】求两个分歧函数的对称轴,用设点和对称原理作解.证明：假定随意一点P（m,n）在函数y=f(a+x)上,令对于x=t的对称点Q（2t–m,n）,那么n=f(a+m)=f[b–(2t–m)]∴b–2t=a,==>t=(b-a)/2,即证得对称轴为x=(b-a)/2.例2：证明函数y=f(a-x)与y=f(x–b)对于x=(a+创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天b)/2对称.证明：假定随意一点P（m,n）在函数y=f(a-x)上,令对于x=t的对称点Q（2t–m,n）,那么n=f(a-m)=f[(2t–m)–b]∴2t-b=a,==>t=(a+b)/2,即证得对称轴为x=(a+b)/2.二、函数的周期性令a,b均不为零,若：1.函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a|2.函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a|3.函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a|4.函数y=f(x)存在f(x+a)=1/f(x)==>函数最小正周期T=|2a|5.函数y=f(x)存在f(x+a)=[f(x)+1]/[1–f(x)]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行分析.第2点分析：令X=x+a,f[a+(x–a)]=f[b+(x–a)]∴f(x)=f(x+b–a)==>T=b–a创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天3,f(x+a)=-f(x+2a)f(x)=-f(x+a)f(x)=f(x+2a)T=|2a|4:f(x+2a)=1/f(x+a)==>f(x+a)=1/f(x+2a)f(x+a)=1/f(x)f(x)=f(x+2a)T=|2a|5:f(x+a)={2–[1–f(x)]}/[1–f(x)]=2/[1–f(x)]–11–f(x)=2/[f(x)+1]f(x)=1–2/[f(x+a)+1]f(x-a)=1–2/[f(x)+1],f(x-a)=[f(x)–1]/[1+f(x)]1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[f(x)–1],-1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[1-f(x)]-1/[f(x-a)=f(x+a),-1/[f(x–2a)=f(x)==>-1/f(x)=f(x-2a),-1/f(x)=f(x+2a),f(x+2a)=f(x-2a)==>f(x)=f(x+4a)创作