新教材人教a版选择性必修第三册第七章7.3.1第2课时离散型随机变量的均值的综合应用学案

第2课时离散型随机变量的均值的综合应用学习目标1.掌握离散型随机变量的均值的性质.2.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．导语上节课我们研究了离散型随机变量的均值，这节课我们来看看用离散型随机变量的均值能够解决哪些问题．一、均值的性质问题若X，η都是一离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？提示X，η的分布列为Xx1x2…xi…xnηax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.知识梳理离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.例1已知随机变量X的分布列为X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)若Y＝－2X，则E(Y)＝________.答案eq\f(17,15)解析由分布列的性质，得eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋m＋eq\f(1,20)＝1，解得m＝eq\f(1,6)，∴E(X)＝(－2)×eq\f(1,4)＋(－1)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,20)＝－eq\f(17,30).由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))＝eq\f(17,15).延伸探究1．本例条件不变，若Y＝2X－3，求E(Y)．解由本例知E(X)＝－eq\f(17,30)，则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))－3＝－eq\f(62,15).2．本例条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－eq\f(11,2)，求a的值．解由本例知E(X)＝－eq\f(17,30)，则E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－eq\f(17,30)a＋3＝－eq\f(11,2)，所以a＝15.反思感悟求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．跟踪训练1(1)设ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于()A.eq\f(7,6) B.eq\f(17,6)C.eq\f(17,3) D.eq\f(32,3)答案D解析E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(17,6)，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq\f(17,6)＋5＝eq\f(32,3).(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为()ξ1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)答案A解析因为η＝12ξ＋7，E(η)＝34，则E(η)＝12E(ξ)＋7，即E(η)＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.所以2m＋3n＝eq\f(5,3)，①又eq\f(1,4)＋m＋n＋eq\f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq\f(2,3)，②由①②，解得m＝eq\f(1,3).二、均值的实际应用例2受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如表所示：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝eq\f(2＋3,50)＝eq\f(1,10).(2)依题意得，X1的分布列为X1123Peq\f(1,25)eq\f(3,50)eq\f(9,10)X2的分布列为X2Peq\f(1,10)eq\f(9,10)(3)由(2)得E(X1)＝1×eq\f(1,25)＋2×eq\f(3,50)＋3×eq\f(9,10)＝(万元)．E(X2)＝×eq\f(1,10)＋×eq\f(9,10)＝(万元)．∵E(X1)>E(X2)，∴应生产甲品牌轿车．反思感悟解答概率模型的三个步骤(1)建模：即把实际问题概率模型化．(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．跟踪训练2某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X12345P商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求Y的分布列及均值E(Y)．解(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，eq\x\to(A)表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P(eq\x\to(A))＝(1－0.4)3＝，P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－＝0.784.(2)Y的可能取值为200元，250元，300元．P(Y＝200)＝P(X＝1)＝，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝，因此Y的分布列为Y200250300PE(Y)＝200×＋250×＋300×＝240(元)．三、决策问题例3甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．解(1)设乙公司送餐员送餐单数为a，当a＝38时，X＝38×6＝228，P＝eq\f(5,50)＝eq\f(1,10)；当a＝39时，X＝39×6＝234，P＝eq\f(10,50)＝eq\f(1,5)；当a＝40时，X＝40×6＝240，P＝eq\f(10,50)＝eq\f(1,5)；当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝eq\f(20,50)＝eq\f(2,5)；当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝eq\f(5,50)＝eq\f(1,10)，故X的所有可能取值为228,234,240,247,254，故X的分布列为X228234240247254Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,10)故E(X)＝228×eq\f(1,10)＋234×eq\f(1,5)＋240×eq\f(1,5)＋247×eq\f(2,5)＋254×eq\f(1,10)＝(元)．(2)甲公司送餐员日平均送餐单数为38×＋39×＋40×＋41×＋42×＝，则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×＝(元)，因为乙公司送餐员日平均工资为元，，所以推荐小王去乙公司应聘．反思感悟(1)求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式即可．(2)根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从均值的大小关系作出比较后得到结论．跟踪训练3某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表：等级珍品特级优级一级箱数10151510(1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表：等级珍品特级优级一级售价(元/kg)25201510从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？解(1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10×eq\f(15,50)＝3，非特级品的箱数为10－3＝7，ξ的取值为0,1,2,3.则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120)，则ξ的分布列为ξ0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)E(ξ)＝0×eq\f(7,24)＋1×eq\f(21,40)＋2×eq\f(7,40)＋3×eq\f(1,120)＝eq\f(9,10).(2)方案一的单价为20元/kg，设方案二的单价为η，则η的均值为E(η)＝25×eq\f(10,50)＋20×eq\f(15,50)＋15×eq\f(15,50)＋10×eq\f(10,50)＝(元/kg)，因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二．1．知识清单：(1)离散型随机变量的均值的性质．(2)离散型随机变量的均值的实际应用．2．方法归纳：建模思想．3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．1．若p为非负实数，随机变量X的分布列为X012Ppeq\f(1,2)－peq\f(1,2)则E(X)的最小值为()A．1B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)D．2答案A解析由p≥0，eq\f(1,2)－p≥0，得0≤p≤eq\f(1,2)，则E(X)＝eq\f(1,2)－p＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)－p≥1，故选A.2．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为eq\f(2,3)，则此人试验次数X的均值是()A.eq\f(4,3)B.eq\f(13,9)C.eq\f(5,3)D.eq\f(13,7)答案B解析试验次数X的可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝eq\f(2,3)，P(X＝2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq\f(1,9).所以X的分布列为X123Peq\f(2,3)eq\f(2,9)eq\f(1,9)所以E(X)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9).3．若随机变量Y＝aX＋3，且E(Y)＝eq\f(7,3)，E(X)＝－eq\f(1,