数列前项和的常见解法_第1页
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数列前项和的常见解法第一页，共十三页，2022年，8月28日求数列前n项和是数列的重要内容，也是一个难点。求等差（等比）数列的前n项和，主要是应用公式。对于一些既不是等差也不是等比的数列，就不能直接套用公式，而应根据它们的特点，对其进行变形、转化，利用化归的思想，来寻找解题途径。一、拆项转化法例1已知数列中，且（，,且t为常数），求第二页，共十三页，2022年，8月28日例1已知数列中，且（，,且t为常数），求解：当t=1时，当时，分析：观察数列的通项公式，数列可以“分解”为一个公比为t的等比数列和一个公差为1的等差数列，因此，只要分别求出这两个数列的前n项之和，再把它们相加就可得。注意等比数列前n项和公式对公比q的要求，可得如下解法:第三页，共十三页，2022年，8月28日总结：拆项转化常用于通项是多项式的情况。这时，可把通项拆成两个（或多个）基本数列的通项，再求和。有时也应用自然数的方幂和公式求，常用的有：第四页，共十三页，2022年，8月28日例2、求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，·‥，1+2+3+·‥+n，·‥的前n项和Sn。解:该数列通项令，，则数列的前n项和数列的前n项和∴第五页，共十三页，2022年，8月28日二、裂项相消法常用的消项变换有：①:②:③:④:⑤:⑥:第六页，共十三页，2022年，8月28日二、裂项相消法常用的消项变换有：⑦:例3、求解：由上面⑦知：

第七页，共十三页，2022年，8月28日例4、求

解：其“通项”

∴

第八页，共十三页，2022年，8月28日三、

倒序相加法课本等差数列前n项和公式就是用倒序相加法推导的。例5、已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，求分析：注意到且当m+n=p+q时，有：（等差数列的性质）解：，又两式相加得：∴第九页，共十三页，2022年，8月28日四、错位相消法课本推导等比数列前n项和公式的方法。利用可求两类数列的和，其通项分别是：（Ⅰ）（Ⅱ）例6、求数列的前n项和解：(1)(2)

(1)－(2)，得

第十页，共十三页，2022年，8月28日五、

并项法例7，已知数列的通项，求数列前2n项和解：

令∴是首项为-3，公差为-4的等差数列∴评注：用并项法把相邻的一正一负两项并作一项，从而使通项降次，得以转化为等差数列求解。第十一页，共十三页，2022年，8月28日六、逐差求和法（又叫加减法，迭加法）

当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用迭加法进行消元例8，求数列：1，3，7，13，21，31，……的和解：

∴两边相加得：……第十二页，共十三页，2022年，8月28日例8，求数列

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