高三数学二轮复习-第三讲 主干考点 集合与常用逻辑用语

第三讲第19页─共19页第三讲主干考点集合与常用逻辑用语【名师高考导航】集合部分一般考查集合之间的关系和集合的运算，其中，以集合语言为背景的新定义试题是高考中的热点，且易于以集合为载体考查函数与方程、不等式、三角函数等有关知识，常用逻辑用语部分一般考查命题的真假判断、命题的否定和充要条件的判断，其中，充要条件是考查的重点，且易于以常用逻辑用语为工具考查函数、不等式、立体几何、解析几何中的基本概念及性质的理解和判断．【考点思维脑图】【重要考点串讲】一、集合1．集合中元素的性质注意：求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验2．集合之间的关系(1)子集：对任意的，都有，则（或）．(2)真子集：若，但存在元素，且，则（或）．(3)集合相等：若，且，则．【注意】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．若集合含有个元素，则其子集有个，真子集有个，非空真子集有个．【提醒】集合的真子集一定是其子集，而集合的子集不一定是其真子集．3．集合的运算及性质交集并集补集图形符号性质二、常用逻辑用语1．四种命题及其关系在同一个命题四种形式的命题中，真命题的个数只能是0或2或4．2．复合命题真假判断的方法（即真值表）真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真口诀记忆：一真则真；一假则假；与真假相反．3．命题的否定命题形式否定形式4．全称命题与特称命题全称命题：，其否定是特称命题：．特称命题：，其否定是全称命题：．【点拨】一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或存在量词改成全称量词，同时否定结论．5．充分条件与必要条件(1)若，则是的充分条件，是的必要条件．(2)若，则，互为充要条件．若命题对应集合A，命题对应集合B，则等价于，等价于．【提醒】判断充分条件与必要条件时需要注意以下几点：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，结论推条件；③确定条件是结论的什么条件．【方法技巧突破】必考点1元素、集合与集合之间的关系【典例1】已知集合={}，若集合中至少有3个元素，则的取值范围为A．(8，+∞)B．[8，+∞)C．(16，+∞)D．[16，+∞)【解析】通解∵集合={}，集合中至少有3个元素，∴，解得>16．故选C．优解取=16，则集合={}={}={2，3}，所以排除A、B、D，故选C．【方法探究】要注意集合是一个自然数集，从而确定的取值范围．【典例2】设，，已知且，则的取值集合为．【解析】因为，即，所以或．若，则或；若，即，，则或．(分类讨论)由与互异，得．(运用元素的互异性进行检验)故或．又，即，所以，解得且．综上所述，的取值集合为{4}．【方法探究】该题结合方程与不等式的求解考查了元素与集合的关系、集合中元素的互异性以及分类讨论的数学思想．【典例3】已知集合，，则下列集合与的关系中正确的是A． B． C． D．【解析】因为，所以，又集合是集合中的元素，所以．【方法探究】此题易错选B．题中所给的两个集合比较特殊，集合中的元素就是集合，当集合是集合中的元素时，与是属于关系．解题时要特别注意两个集合中元素之间的关系是什么．【典例4】已知集合，．若有且只有3个真子集，则实数的取值范围是A．(0,1)

B．(0,3)

C．(0,1)∪(1,3)

D．(–∞,1)∪(3,+∞)【解析】由题意知,集合为不等式的解集，所以．因为有且只有3个真子集，所以中有2个元素，根据题意，且，故答案为C．【典例5】已知集合，则集合中元素的个数是A．1B．3C．5D．9【解析】因为，所以可对，赋值，从而求出集合中元素的个数．赋值法：因为，所以，或，或，或，或，或，所以，所以集合中有5个元素，选C．【方法探究】求解集合中的元素个数题目的关键，一是要准确判断元素是否属于该集合，判断的依据就是能否将该元素化成集合中的代表元素的形式．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．【典例6】已知集合，，则下列选项不可能成立的是A．B．C．D．【解析】由，得=[–1，2)∪(2，+∞)，=(，+∞)，=(–∞，]，选项A，B，C都有可能成立，对于选项D，不可能有．故选D．【典例7】已知集合，，则A．B．C．D．【解析】先通过解一元二次不等式求出集合，再借助数轴求解集合的运算．集合或，所以或=，选B．【方法探究】判断集合间关系的方法1．一一列举观察．2．集合元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判断集合间的关系．3．数形结合法：利用数轴或Venn图或平面图形把两个集合表示出来，再判断它们之间的关系（如本题）．必考点2集合的运算【典例1】已知全集是实数集，，，则=A．[0，+∞)B．(–∞，–2)C．[–2，+∞)D．(–∞，–2)∪[0，+∞)【解析】通解因为，所以=[–2，2]，所以=(–∞，–2)∪(2，+∞)．因为，所以=[0，+∞)，所以=(–∞，–2)∪[0，+∞)．故选D．优解因为–3，所以–3，所以–3∈[]，故排除A、C；因为0∈B，所以0∈[]，故排除B．故选D．【方法探究】、两个集合分别是函数、的值域．【典例2】(2017全国卷Ⅱ)设集合，，若，则A．B．C．D．【解析】∵，∴，∴，即，方程，解得或，∴．选C．【方法探究】关于集合及其运算，首先要从本质上认识集合，即集合中的元素是什么(如数、点、图形等)，有什么样的特征，进而决定采取什么样的策略解决问题．【典例3】已知，均为集合的子集，且，，则A． B． C． D．【解析】因为，所以，又，所以．若，则(否则，从而，则，与题中条件矛盾,故．同理，，，故．选D．【典例4】已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，则=A．[−2,−1]B．[−1,1]C．[−1,2）D．[1,2）【解析】，故=[−2,−1]．【方法探究】破解集合的运算问题需掌握双招：第一招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第二招，借形解题，一般规律如下．再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算．【典例5】已知集合={4，}，={}，若，则实数的值为A．2B．3C．2或4D．2或3【解析】因为={}，所以={2，3}，又集合={4，}，若，则2或3，故选D．【典例6】已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A．77B．49C．45D．30【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆内及圆上的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形内及正方形上的整点．集合的元素可看作下图中正方形内及正方形上的整点（除去四个顶点），即个．【方法总结】解集合的运算问题应注意如下三点：①注意观察集合中元素的特点，元素是数还是有序数对，是函数的定义域、函数的值域，还是函数的图象等；②进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要搞清端点值的取舍，不能遗漏；③求解集合的补集运算要注意，既要关注全集是什么，又要注意求补集的程序，一般先求出原来的集合，然后求其补集，不要直接转化条件而导致漏解．必考点3命题的四种形式及其相互关系【典例1】(2017全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：若复数满足QUOTE，则QUOTE；：若复数QUOTE满足，则QUOTE；：若复数，满足，则QUOTE；：若复数QUOTE，则QUOTE．其中的真命题为A．，B．，C．，D．，【解析】设（），则，得，所以，正确；，则，即或，不能确定，不正确；若，则，此时，正确．选B．

【方法探究】在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；其中原命题与逆否命题真假性相同，否命题与逆命题真假性相同，对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手，如本题要从共轭复数的概念入手判断原命题的真假．【典例2】下列命题中为真命题的是A．命题“若，则”的逆命题B．命题“若，则”的否命题C．命题“若，则”的否命题D．命题“若，则”的逆否命题【解析】对于A，逆命题是“若，则”，是真命题；对于B，否命题是“若，则”，是假命题，因为或；对于C，否命题是“若，则”，是假命题，因为当时，；对于D，逆否命题是“若，则”，是假命题，如，．故选A．【方法探究】原命题、逆命题、否命题、逆否命题的等价关系．【典例3】设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是A．若方程有实根，则B．若方程有实根，则C．若方程没有实根，则D．若方程没有实根，则【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D．【思路点拨】解题时要注意原命题与其他三种命题之间的关系．原命题为“若则”，则其逆否命题为“若则”．【方法总结】解决命题及其相互关系类试题，需要注意两个方面：一是明确命题的否定与否命题的区别及其格式，命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定；二是要正确对条件和结论进行“否定”，尤其是含有不等号的问题，容易误以为“≥”的否定是“≤”而导致错解．必考点4充分条件与必要条件的判断【典例1】(2019年浙江卷)若，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】因为，，所以，由可得，解得，所以充分性成立；当时，取，，满足，但，所以必要性不成立．所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．【方法探究】∵，，利用基本不等式进行充分性和必要性推导．【典例2】(2017北京)设,为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为为非零向量，所以的充要条件是．因为，则由可知的方向相反，，所以，所以“存在负数，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件．【典例3】函数在处导数存在，若：；：是的极值点，则A．是的充分必要条件B．是的充分条件，但不是的必要条件C．是的必要条件，但不是的充分条件D．既不是的充分条件，也不是的必要条件【解析】定义法：设，，但是是单调递增函数，在处不存在极值，故“若则”是一个假命题，由极值的定义可得“若则”是一个真命题．故选C．【方法总结】定义法：正反方向推理，若，是的充分条件，或是的必要条件；若且，则是的充分非必要条件（或是的必要非充分条件）．此法适用于定义、定理判断性问题，如本题．【典例4】给定两个命题，．若是的必要而不充分条件，则是的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】等价法：因为是的必要不充分条件，则，但，其逆否命题为，但，所以是的充分而不必要条件．选A．【方法探究】利用与，与的等价关系，此法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断，如本题．【典例5】若：，：关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由，得；而方程的一根大于零，另一根小于零的充要条件是，即，解得．解法一(定义法)因为，，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．解法二(集合法)满足条件的参数的取值集合为，满足条件的参数的取值集合为，显然，所以是的充分不必要条件．【方法探究】利用集合间的包含关系，若，则是的充分条件或是的必要条件；若=，则是的充要条件．此法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．如本题．【方法总结】判断充分条件与必要条件时应关注三点(1)要弄清先后顺序：“的充分不必要条是”是指且；而“是的充分不必要条件”则是指且．(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过本出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：是的必要不充分条件是的充分不必要条件；是的充要条件是的充要条件．必考点5含有逻辑联结词命题的真假判断【典例1】(2017山东)已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是A．B．C．D．【解析】，，所以，所以为真命题；若，则，若，则，所以，所以为假命题．所以为真命题．选B．【典例2】已知命题：若，则；命题：若，则．在命题①；②；③；④中，真命题是A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】由不等式的性质可知，命题是真命题，命题为假命题，故①为假命题；②为真命题；③为真命题，则为真命题；④为假命题，则为假命题．所以选C．【方法探究】判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是既要弄清构成它的命题，的真假，又要弄清其结构形式，如本题中要先判断命题，的真假，再看新命题的结构形式，最后根据真值表判断构成的新命题的真假．【典例3】已知命题：方程有两个不相等的正实数根，命题：方程无实数根．若“或”为真命题，则实数的取值范围是．【解析】由“或”为真命题，得为真命题或为真命题．当为真命题时，设方程的两根分别为，，则有，解得；当q为真命题时，有，解得．综上可知，实数的取值范围是．（求并集）【方法探究】此类题目一般会出现“或”为真，“或”为假，“且”为真，“且”为假等条件，解题时应先将这些条件转化为，的真假．，的真假有时是不确定的，需要讨论．但无论哪种情况，一般都是先假设，为真,求出参数的取值范围，当它们为假时取补集即可．【典例4】已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是A．[–1，+∞)B．[3，+∞)C．(–∞，–1]∪[3，+∞)D．[–1，3]【解析】由：，解得或，要使得是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，即，．所以，解得或，故选C．【方法探究】是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件．必考点6全称命题、特称命题的真假判断【典例1】(2016浙江)命题“，使得”的否定形式是A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．【典例2】已知命题：；命题：，则下列命题中为真命题的是A．B．C．D．【解析】先判断命题，的真假，再根据真值表求解，当时，有，不满足，所以是假命题．如图，函数与的图象有交点，即方程有解，所以是真命题．所以为假命题，排除A．因为p为真命题，所以是真命题．C、D明显均为假命题，故选B．【方法探究】1．全称命题的真假判断方法：(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合中的每一个元素，证明成立．(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合中的一个特殊值，使不成立即可，本题中的命题就是全称命题．2．特称命题的真假判断方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合中，找到一个，使成立即可，否则这一特称命题就是假命题，本题中的命题就是特称命题．【典例3】已知命题：，使得为假命题，则实数的取值范围是．

【解析】命题是一个特称命题，故是一个全称命题．：，使得，即恒成立．设，则．令，即，解得．所以当时，，函数单调递减;当时，，函数单调递增．所以当时，函数取得最小值．由不等式恒成立可得，所以．所以的取值范围是．【方法探究】将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函数最值等问题，从而根据函数性质、不等式等内容解决．必考点7有关参数取值范围问题的求解【典例1】给定两个命题，命题：对任意实数都有都有恒成立，命题：关于的方程有实数根，若“”为真命题，“”为假命题，则实数的取值范围为．【思路点拨】若为真命题，求出参数的取值范围；若为真命题，求出参数的取值范围．由“”为真命题，“”为假命题，得，中有且仅有一个为真命题，从而可列出关于的不等式组，即可得结论．【解析】若为真命题，则或．即；若为真命题，则，即．因为“”为真命题，“”为假命题，所以，中有且仅有一个为真命题．若真假，则；若假真，则．综上，实数的取值范围为．【方法探究】根据命题的真假求解参数的取值范围的关键是先求出相关命题为真时所对应的参数的取值范围，如本题中，先分别求出命题，均为真命题时参数a的取值范围；再根据真值表判断两个命题的真假；最后根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围，如本题中，列出关于的不等式组．【误区警示】此类题目的易错点是：由若“”为真，“”为假，常误得出“真假”这个结论，如本题中，当“”为真，“”为假，得到的结论是“，中有且仅有一个为真”，此时应分类讨论：第一种情形，真假；第二种情形，假真，破解的关键是正确运用真值表．【典例2】函数，有且只有一个零点的充分不必要条件是A．B．C．D．或【思路点拨】把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，从而求出有一个零点的充分必要条件，再利用“以小推大”的技巧，即可得正确选项．【解析】因为函数的图象过点，所以函数有且只有一个零点函数没有零点函数的图象与直线无公共点．由数形结合，可得或，所以函数有且只有一个零点的充分必要条件是或，应排除D；当时，函数有一个零点，即函数有两个零点，此时是函数有且只有一个零点的既不充分也不必要条件，应排除B；同理，可排除C．应选A．【方法探究】根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象等将原问题转化为最值问题、有解问题等，得到关于参数的方程或不等式（组），然后通过解方程或不等式（组）求出参数的值或取值范围．如本题就是通过图象先求出函数有一个零点的充分必要条件，然后求出此时参数的取值范围，再利用“以小推大”的技巧，即可判断