2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练 考点五十二双曲线

五十二双曲线

基础落实练。30分钟60分

一、单选题（每小题5分，共20分）

22

1.若直线x—2了一5=0过双曲线之一卷=1（a>0,6>0）的一个焦点且与其一条渐近线

（3b

平行，则该双曲线的方程为（）

【解析】选A.根据题意，令尸0,则x=5,即c=5.

又‘=：，所以才=20,1）=5,

aL

22

所以双曲线的方程为X布一V卷=1.

205

22

2.双曲线毛一卷=l（a>0,8>0）的一条渐近线与直线x+2y—l=0垂直，则双曲线的离心

ab

率为（）

m+l

D.4+1

【解析】选B.由已知得（=2,

5a

a

Z4

3.（2022.郑州模拟）若双曲线2寸=1的离心率大于2,则正数加的取值范围是（）

/2、

B.(0,-)

O

2

D.(-,+°°)

O

【解析】选A.由题意可知才一，『4,则』+4,因为离心率大于2,所琮>2,%>4,

m~\~44

所以——>4且加>0,解得0〈欣J.

4.赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南汶河之上的石拱桥，由匠师李春

设计建造，距今已有1400余年的历史.赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢（拱顶至石拱

两脚连线的高度）为7.23米.设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为〃米，r为A精确到

22

整数部分的近似值.已知双曲线G2—卷=1（於0）的焦距为r,则。的离心率为（）

a1yz

（参考数据:7.232+18.852^407.6）

A.5B.6C.7D.8

【解析】选C.由已知，#=[*）2+*—7.23）2,

所以14.467?=7.23?+18.85?弋407.6,所以428.19,所以r=28,因为@2+192=（习2=14?

r

一一214

=196,所以a=2,所以离心率e=-=—=7.

a2

二、多选题（每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分）

X2X2V2

5.（2022•青岛模拟）已知椭圆G：—+/=1过双曲线C：——z=1（a,6〉0）的焦点，G

4ab

的焦点恰为G的顶点，G与C的交点按逆时针方向分别为/,B,C,D,。为坐标原点，则（）

A.G的离心率为U"

B.G的右焦点到C的一条渐近线的距离为小

C.点4到G的两顶点的距离之和等于4

D.四边形口的面积为域

【解析】选ACD.如图所示，设双曲线的焦距为2c,

由已知：c=2,a=14—l=小

的右焦点（，5,0），G方程中b=yjd一君=1,a=q5，所以6的渐近线方程为尸

X,不妨取渐近线尸半x,所以（m，0）到尸算x的距离为

1所以B错

+

3-

\"24

y=——

7

误；根据椭圆定义可知：//I+1^1=4,所以C正确；联立,所以《

6.（2022•广州模拟）过双曲线C：：一/=1的左焦点厂作直线/交。于/,6两点，则（）

A.若则直线/只有1条

B.若=2,则直线/有2条

C.若［4?|=3,则直线，有3条

D.若［46|=4,则直线/有3条

2

【解析】选ABD.因为双曲线C：:一/=1的左焦点尸的坐标为尸（一乖，0）,该双曲线的

V

渐近线方程为尸±1,

若直线/的斜率不存在，则/的方程为x=—乖，代入9一/=1得尸±）,此时=

4L»

1；若直线/的斜率存在，可设/的方程为尸式x+乖）,设/（X,M）,B〈Xz,必），为

使/与C有两不同交点，只需

17=4金+m）8刈5〃

为+也=1-4产

由消去y得（1一4六）系一8或发*—20l—4=0,3所

"-"=1

X1照1—4A2

以AB=y/l+必N（一+及）'—4为灯=|；A选项，由||=1可得，在无解;

II1-4+44

所以若储引=1,则/的方程只有入=一季，所以A正确；B选项，由丁=2可得4

+4乃=2—8万或4+4乃=8〃-2,解得4=土乎，所以若|/引=2,则/的方程为尸

土平（x+4），所以B正确；C选项，由|告力=3可得4+4人3—12#或4+42=

12A,一3,解得仁土平，所以若|麻=3,则/的方程为尸土乎金+乖），所以C

4+4〃

错;D选项，由|]_4/|=4可得4+4〃=4—16左,或4+4〃=16尸一4,解得A/4R=0或左=±为-,

所以若|初=4,则/的方程为尸土芈（x+击）或x=0,所以D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

2

7.（2021•全国乙卷）已知双曲线。：2一/=1（加〉0）的一条渐近线为mx+加y=0,则。的

焦距为，

【解析】易知双曲线渐近线方程为尸土"x,

a

由题意得3=如5=1,且一条渐近线方程为y=—幺x,则有7=3.故焦距为2c=4.

in

答案：4

Vyyl~5

8.（2021•宜春模拟）已知双曲线C-.~一£=l（a>0,8>0）的离心率为日-,则双曲线C

ab2

的渐近线方程为.

【解析】因为双曲线C?一看=1（加>0,40）的离心率为斗，所以e=：=A/1+（1）2

乖

=2'

解得4=7，又双曲线的焦点在x轴上,

a1

1

所以双曲线。的渐近线方程为2-

1

+

答案：x±2y=0（或-2-

四、解答题（每小题10分，共20分）

2

9.若双曲线£：*—/=l（a>0）的离心率等于啦,直线y=Ax—1与双曲线£的右支交于

A,8两点.

（1）求A的取值范围；

⑵若|明=6*，求力的值.

[-=-\/2,[a=l,

【解析】⑴由1aV得一

la2=c2-l1。一‘

故双曲线？的方程为/=L

设力（用，%），8（苞，必），

[y^kx—1,

由1221

得（1一六）x-\~2kx—2=0.①

因为直线与双曲线右支交于4，8两点，

k>\,

故〈

[4=（2k）2—4（1—六）X（-2）>0,

JA>1,

叫的

所以1<^<72.

故A的取值范围为（1,小）.

2k2

（2）由①得Xi+%=/』，["二]，

2

所以1=W+片•yl（xi+x2）—4xtx2

（1+六）（2一炉）

—（D2-

整理得28左一55A2+25=0,

5S

所以1C--或/(=-.

又l<k<木,所以左=半.

10.(20214艮川模拟)已知焦点在X轴上的双曲线〃经过点欣乖,^2),/'，(一2小，一邓).

(1)求双曲线〃的离心率e；

(2)若直线［：y=^-x—l与双曲线〃交于48两点，求弦长|/6|.

O

【解析】⑴设双曲线〃的方程为号十=13。，力。),

"(加)2(/)2,

（—2m）’（一加）图二3

、4_6=1

所以c2=a2+Z>2=5,e=~=~^~；

a3

x2V2

（2）由⑴得双曲线〃的方程为可-7=1,

O乙

「22

丫y1

32—

设力（%,y）,B（xz，④，由＜r，得/+2^/3x—9=0,由+吊=—,X\•x2

7—o1

=—9,

IAB\=«(1+()［(乂+泾)4为丁］

=yj(1+：)X48=8,

故弦长14周为8.

素养提升练。---2。分钟4()分

/卷3

1.已知双曲线。：f—0=1(a>0,6>0)的渐近线方程为y=±7x,且其右焦点为(5,0),

ab4

则双曲线。的标准方程为（）

/7,

A————IB———=1

916169

22

xyXV

c-----=1D------1

3443

1Q

【解析】选B.由题意得一=],/=，+62=25,所以己=4,6=3,

a4

22

所以所求双曲线的标准方程为高一卷=1.

169

2.（2022•沈阳模拟）已知双曲线。：5一7=1（於°，少°），。上的点到焦点的最近距离为

1，其焦点到渐近线的距离为乖，则。的离心率为（）

A.2B.3C.小D.^2

【解析】选A.由双曲线方程知其渐近线方程为尸土、x,焦点坐标为（0,±c）,

be

则其焦点到渐近线的距离d==b=小,

因为双曲线。上的点到焦点的最近距离为，-=1,所以『c—a=—\,=3,解得K（c=2

所以。的禺心率e=—=2.

a

22

3.（多选题）（2022•长沙模拟）已知双曲线C：2一看=l（a>0,核0）的左、右焦点分别为£,

ab

&过点£的直线与双曲线。的两条渐近线分别交于弘N两点，若4NFE=2/NRF\,ON+

痹\=2我（点。为坐标原点），则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的离心率为[5

B.△1/；£的面积为小,

C.tan乙娟£=当

5

D.|MF{|=2a

【解析】选BC.由于南+建12=2南，所以点."为明的中点，所以明〃Q%所以NA££=

乙侬，所以乙侬=2/姐0,所以N9=N腋见=

2/MRg/MRO+4MN0,所以/MNO=NMEQ,所以掰LA£,所以限工阳,所以乙优=

NNFE=60°,所以(=tan60°=小,所以双曲线。的离心率?=^J1+Q*2*4=2,所以

A错误；因为|月旬=2c=4a,

所以|/VE|=2a,|明|=2小a,所以△此£的面积为4•2a•24a=2小a2,所以△，始£

乙

的面积为4，所以B正确；由于tanANF\M=-y^r=2，所以tan/螭£=

4-乎r___________

tan(60°—N期面=--------尸=去,所以C正确；由于|姐|="9卜+|削'=

1+超乎5

N(2a)z+(ma)2=3a,所以D错误.

v2

4.已知直线/与双曲线i一/=1相切于点尸，/与双曲线的两条渐近线分别交于肱N两点，

。为坐标原点，则南•ON=.

【解析】设切点尸(为，加，

境21

则十---y0=1,切线/的方程为ax<>x—yoy=l.

由题意知，该双曲线的渐近线方程为y=土;%不妨设"为直线/与渐近线x的交点，

flf4

~；xx—yy—1,x=->

4QaAb—2^b

由〈得〈

12

［尸产［尸=丽

即交点«+，土)，

同理可得备f'

“1219

所以丽•7)N=­：——=-=3.

答案：3

教师

专用【加练备选】

22

(2022•重庆模拟)抛物线G：7=2分(或0)与双曲线处卷一卷=1具有共同的焦点兄过产

*7O

作G的一条渐近线的垂线/,垂足为，，与G交于43两点，。为坐标原点，则有()

A.p=#

B.C的渐近线方程为尸土*x

C.OH=3

D.若/的倾斜角为锐角，则经过0,/且与直线/相切的圆的标准方程为5一4)*2+3(y-l)2

=4

【解析】选BCD.双曲线G：]-y=1的右焦点为6(2击,0),得^=2乖,得0=4击,

所以A错误，双曲线G：卷=1的渐近线方程为尸土半力所以B正确；由点尸(2击,

、历..当X2小

0)到直线x的距离为IFH\——-=^3,

F

则|例|=41加2_|砌2712—3=3,所以C正确，设所求圆的方程为(*—a)2+(y—

»=F,由已知才+^=(2/—a)2+^=/,直线1的方程为7=^3(x—),则

守二"=r,解得a=*,b=l,r=2,可得圆的方程为(*—m)2+(y-l)2

=4,所以D正确.

22

5.已知双曲线C：/一亲=l(a>0,垃0)的其中一个焦点为(/，0),一条渐近线方程为

2x~y=0

(1)求双曲线。的标准方程；

3Ji

(2)已知倾斜角为丁的直线/与双曲线。交于48两点，且线段18的中点的纵坐标为4,

求直线/的方程.

【解析】（1）由焦点知。=乖，又一条渐近线方程为2x—y=o,所以2=2,

va

由。2=，+62得5=/+4a2,解得a?=l,方=4,

所以双曲线。的标准方程为*一?=1.

⑵设4（为，71）,5（如%），4?中点为（两，4）,则

2222

X\=1①，'—今=1②，

2222

②一①得，x,—X--+，即左=①=牛=吊，又女=土211?=—1,所以Ao=一

1,所以直线/的方程为y—4=—（x+l）,即x+y—3=0

22

6.（2021•宿迁模拟）已知双曲线？一方=l（a>0,力0）的一条渐近线方程为尸地x,右准

线方程为矛=乎.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）过点P（0,—1）的直线/分别交双曲线。的左、右两支于点儿B,交双曲线。的两条渐近

线于点〃，6（〃在y轴左侧）.

①是否存在直线/,使得/_1_的若存在，求出直线/的方程，若不存在，说明理由；

②记aa唐和△