黑龙江省2020年高二数学上学期期中考试卷（一）

黑龙江省2020年高二数学上学期期中考试卷（一）

（理科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题：（每题5分，共60分）

1.抛物线x21y的准线方程是（）

A.y=lB.y=-1C.y-D.y=-

2."sinA§"是"A=30。”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也必要条件

3.若直线I的一个方向向量为条（2,5,7）,平面a的一个法向量

为口=（1,1,-1）,则（）

A.\//aB.I±aC.luaD.A、C都有可能

4.已知命题p：。工{0},q：3e{1,2}由它们构成"pVq","pAq",

“「p"三个命题中，真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

22

5.双曲线得---2=1的焦距是（）

m+124-m

A.8B.4C.2&D.与m有关

6.已知椭圆的两个焦点是（-4,0）,（4,0）,且过点（0,3）,则

椭圆的标准方程是（）

2222

A.\+r,=lB,工+2_=1

2592516

2222

C.三+y-=10.工+匕1

9251625

7.平面内有两定点A、B及动点P,如果|PA|+|PB|=2a（a为常数）,

那么P点的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.不能确定

8.已知Fi，F2是椭圆的两个焦点，过久且与椭圆长轴垂直的直线交

椭圆于A,B两点，若4ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心

率是（）

A.匚B.乎C.V2-1D.V2

9.若点0和点F分别为椭圆号+番=1的中心和左焦点，点P为椭圆

上的任意一点，则而•祚的最大值为（）

A.2B.3C.6D.8

10.抛物线y=4xz上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是

（）

A—B—C—D0

16168

11.已知正方体ABCD-AjBigDi，E是棱CD中点，则直线A】E与直

线BCi所成角的余弦值为（）

A.乎B.aC.坐D.0

333

22

12.已知双曲线^--^-=1，直线I过其左焦点F1，交双曲线左支于A、

m7

B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,ZSABF2的周长为20,则m

的值为（）

A.8B.9C.16D.20

二、填空题：（每题5分，共20分）

13.椭圆*+。=1的两焦点为Fi，F2，一直线过h交椭圆于P、Q,

则△PQF2的周长为.

14.准线方程是尸£的抛物线的标准方程是—.

22

15.已知直线y=-x+1与椭圆当•+G=l(a>b>0)相交于A,B两点，

ab

且线段AB的中点在直线x-2y=0上，则此椭圆的离心率为—.

16.P为正方体ABCD-A1BC5对角线BD]上的一点,且BPTBD1(入

e(0,1)).下面结论：

①A]D，C1P；

②若BD」平面PAC,则人斗

③若APAC为钝角三角形，则入£(0,1)；

④若入£(4,1),则APAC为锐角三角形.

其中正确的结论为—.(写出所有正确结论的序号)

三、解答题：(共70分)

22

17.求双曲线工工=1的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近

169

线方程.

18.求以双曲线y2-3x2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程.

19.已知抛物线的焦点在x轴上，且经过点P§,-1),

(1)求抛物线的标准方程；

(2)经过焦点F且倾斜角是云的直线L与抛物线相交于两点A和B,

求弦长|AB|.

20.已知p：x2-8x-20>0,q：x2-2x+l-a2>0.若p是q的充分

而不必要条件，求正实数a的取值范围.

21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABCD,AB_LAD,ZABC=60°,

PA=AB=BC,AD=^AB,E是PC的中点.

证明：PD,平面ABE.

22

22.若Fi，F2分别是椭圆与■+%=1(a>b>0)的左右焦点，p是该椭

ab

圆上的一个动点，且iPFil+lPFjN，1?!?2|=273.

(1)求出这个椭圆方程；

(2)是否存在过定点N(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点A,

B,使水1瓦(其中O为坐标原点)？若存在，求出直线I的斜率k；

若不存在，请说明理由.

参考答案

一、单项选择题

1.D.2.B3.D.4.B.5.A.6.A.7.D.8.C9.C.

10.B.11.D.12.B.

二、填空题

13.答案为20.

14.答案为x?=2y.

15.答案为：当.

16.答案为：①②④.

三、解答题

22

17.解：双曲线--匚=1,实轴长2a=8；虚轴长2b=6；

169

c=Va2+b2=V42+32=5，

焦点坐标是(-5,0),(5,0)；

离心率e—

a4

渐近线方程为尸土卷x.

22

18.解：根据题意，双曲线的方程为：丫？-3x2=12,变形可得工-21

124

=1,

分析可得其焦点在y轴上，且a2=12,b2=4,

则有c=7a^+b^=4，

即该双曲线的焦点坐标为（0,±4）,顶点坐标为（0,±2/§）,

又由题意，要求的椭圆以（0,±4）为顶点，（0,±26）为焦点，

则其a〃=i6,c'2=（2匹）2=12,

故b,2=16-12=4,

则要求椭圆的标准方程为:

164

故求以双曲线y2-3x2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为

164

19.解：（1）抛物线的焦点在x轴上，经过点P（1,-1）,设抛物线

方程y2=2px,

将P&-1）,代入抛物线方程:l=2pXq,2P=4,

；・抛物线的标准方程y2=4x；

（2）方法一：由（1）可知抛物线的焦点坐标F（1,0）,直线I的斜

率k=l,

设直线I的方程y=x-l,

yZZjr-1

则，，整理得：得X?-6x+l=0.

、y=4x

设A（X],y]）,B（X2,Y2），

贝（JXi+X2=6.

AB=x1+x2+p=6+2=8；

4

方法二：由抛物线的焦点弦公式可知：lABljj/b=（亚）2=8,

弦长|AB|长为8.

20.解：p：x<-2或>10,

q：x<l-a或x>l+a

•••由P是q的充分而不必要条件，

,,ll+a<10

即0VaW3.

21.证明：tPA，底面ABCD,

APAIAB,PA±CD

又AB_LAD,.,.AB±if|PAD,.\AB±PD；

又设AD=^AB=^a,AB_LAD,ZABC=60°,

•••CD=g亭2-・a•竽a•亭喏a

AAC±CD,ACDl®PAC,ACDlAE.

VPA=AB=BC=AC,E是PC的中点，

AAEIPC,

vcDnpc=c,

.\AE±®PCD,

AAElPD.

VABnAE=A,

.,.PD±ffiABE.

22.解：(1)由已知可得：2a=4,2c=2、瓜

/.a=2,c=«,则b2=a2-c2=l.

2奏

，椭圆方程为¥+y2=l;

(2)存在过定点N(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点A,B,

使水1而,此时k=±2.

由题意可知，直线I的斜率存在且不为0,

则直线I的方程为y=kx+2.

y=kx+2

联立/,，得(l+4k2)x2+16kx+12=0.

T+y=1

贝4△=(16k)2-48(l+4k2)=64k2-48＞0,得k＜等或k＞容.

再设A(X],Y、),B(X2,丫2)，

贝！JX]+x2=X