高三数学(理)配套黄金练习7.4

abxxxxxxx222abaabab22aba4abxxxxxxx222abaabab22aba4第七章7.4第4课高数（）金套习一、选题1．下列不式证明过程正确的是)baA．若a，b∈，则＋≥2＝2B．若>0，y>0，则lg＋lgylg·lgy4C．若，则x＋－·

＝－4D．若，则

x

＋2

－

x

>22

x

·2

－

＝2答案D解析∵x，∴∈(0,1)，2

－

x

>1∴2＋2>22·2＝∴D正确而A、B首先不满足一正，当为“≤”12．函数＝log(＋＋x最小值为()x－1A．－3B．3C．4D．－4答案B11解析x＋＋＝(x－1)＋＋6x－1x－11≥2(－＋x－1＝2＋6＝81当且仅当x－1＝即＝2取＝”号x－11∴y＝(x＋＋5)≥log＝3x－1113．若a，b∈＋，a＋b＝2，则＋的最小值等于()A．1B．3C．2D．4答案1＋b22解析a，b∈R，a＋b＝2，＋＝≥＝a＋b()14．设a>0，b若3是3与的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．41C．1D.

2abaabb8x8x8x88282c2a＋12caa22aaa22ab222abaa222*xnn2abaabb8x8x8x88282c2a＋12caa22aaa22ab222abaa222*xnn答案B11解析由题有(＝·3⇒＋b1又b>0∴＋＝(＋)(a)＝b＋＋＋1≥2＋2

ba1·＝，∴＋的最小值为4.1a5．a＝”是“对任意的正数x,2＋≥1”的()A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案A1解析令p：“a＝”：对任意的正数2x＋≥11a11若p立，则a＝，则2x＋＝2＋≥2x＝1，即q成立，p；1若成立，则2x－x＋≥0恒成立，解得≥，∴∴pq充分不必要条件．a＋1c＋6．已知二函数f)＝＋2＋(x∈的值域为[，，则＋的最小值为()A．4B．42C．8D．82答案A解析∵f(x＝ax＋2的值域为[0，＋，1则由0，a>0得＝，1a＋1c＋1a＋1a11∴＋＝＋＝＋＋＋a11＝a＋)＋(a＋)≥4(当且仅当a＝即a＝1时取等号)．17．设a>b，则a＋＋的最小值是()aa－b)A．1B．2C．3D．4答案D111解析a＋＋＝a＋≥a＋≥4当且仅当ba－b且a＝，aa－ba－b2即a＝，＝时“＝都成立，故原式最小值为，选D.8．已知所的点A(n，a)(n∈N)都在函数y＝a(a>0，a的图象上，则a＋a与a的大小关系是)7A．a＋35B．a＋a3

3

*xnnn33375552248428ab2242x4ab44xxx93babab*xnnn33375552248428ab2242x4ab44xxx93bababC．a＋＝2375D．＋与2的大小关系与a的值有关3答案A解析因为所有的点A(na)(n∈N都在函数＝a(a的图象上，所以有a＝a故＋＝＋由基本不等式得a＋a>2a＝2a(因为a>0，n7a，从而等号不成立)，又2a＝2a，故选A.二、填题9．已知＞0，＞0,2＝1则xy的最大值为．答案

182x＋解析2xy)＝，∴≤11当且仅当2x＝yx＝，y＝时取＝”号．1∴xy的大值为10设＞0，y＞0，且(x－1)(y－1)≥2，则xy的取值范围为__________．答案[32，＋∞)解析－y－1)＝－＋＋1≤－2xy＋1又－1)(y－≥2，即－＋1≥2∴≥＋1∴xy≥3＋22111若a>0，b，＋＝，则＋的最小值为_答案

174a＋b1解析ab)＝1当且仅当a＝b时取等号1y＝x＋在x∈，]上为减函数．1117∴ab的最小值为＋4＝12若，∈R，且2y＝5，则＋的最小值_．答案183解析3＋≥2＝2·

xy＝2·3

5

＝3三、解题13已知a、b、都是正实数，且满足log(9ab)＝log，求使a＋≥c恒成立的c取值范围．答案0<≤25解析因为a、b都是正实数，loga＋)log，所以a＋b＝939136ab(ab)，9a＋＝ab，故＋＝1，所4a＋＝(4ab＋)＝13＋＋≥133

baba222222π34baba222222π34＋2

36a36·＝，4ab，当且仅当＝，即b＝6a时等号成立．>0，所以要使4a＋bc恒成立，的取值范围为0<≤25.x＋7x＋14求函数＝(>－最小值．x＋1解析∵x－1，∴＋x＋7x＋10(x＋＋(x＋)＋4∴y＝＝x＋1x＋144＝＋1)＋＋5≥2＋＋5＝9.x＋1x＋14当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．x＋1x＋7x＋∴当x＝1时，函数y＝(x>－的最小值为9.x＋115某学校拟建一块周长为400m操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解析设矩形的长为x，宽为y则2x＋2()＝4002∴y＝－xπ22x＋200－∴S＝＝－x≤()π＝

20000π当且仅当x＝200－x，即＝100时，最大，此时y＝

200π答案

200把矩形的长和宽分别设计为m和m时，矩形区域面积最大π教师备选1．已知在中，ACB＝90°＝34P是上的点，则点P到AC、的距离乘积的最大值是________________．答案3解析设到AC、的距离分别为x，y，则0≤≤3,0≤≤4，x4－y在△ABC中，＝，即＋y＝，

12122x＝2222xxxxxxmaxmin222152x55xx12122x＝2222xxxxxxmaxmin222152x55xx11x＋3yxy＝)

3)＝3，(当且仅当4x＝3y，2

时等号成立)，∴到AC、距离的乘积的最大值为22．已知关的不等式2＋≥7在∈(a，＋上恒成立，则实数a的最x－小值为_答案

3222解析因为xa，所以x＋＝2(x－)＋＋≥2－a＋x－x－a－a33＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a，即a的最小值为3．某公司年需购买某种货物吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2元，一年的总存储费(单位：万)恰好为每次的购买吨数，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是答案20200200解析设每次购买该种货物x吨需要购买次则一年的总运费为×2400400＝，一年的总存储费用为所以一年的总运费与总存储费用为＋400400x≥2·x＝当且仅当＝，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．自助餐恒成立问题f()≤0(≥0)恒成f(x≤0(或f()≥0)含参数不等式恒成立问题，首选方法是分离参数转化为()≥(或≤形式，其次是数形结合．x例1若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是．x＋3x＋xx【解析】若对任意x，≤恒成立，只需求得＝的最x＋＋1＋3x＋1x1大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当＝x＋3x＋11x＋3x＋x11取等号，所以a的取值范围是[，＋．1【答案】[，＋∞)例2________．

1m设x>0，y，不等式＋＋≥0恒成立，则实数m的最小值是x＋y【解析】

原问题等价于

m11≥－(＋)恒成立，x＋y

xxxyxxmm22xm22m22xxxyxxmm22xm22m221∵x>0，y>0，∴等价于≥－(＋)(＋y的最大值，11yx而－(＋)(＋y)＝－2－＋≤－2－2＝－4且仅当＝y时取“＝m－4.【答案】－41例3设函数f(x)＝x－.