题库大全高考数学(理)试题分项专题圆锥曲线

专题10圆锥曲线

一、选择题：

(2012年高考新课标全国卷理科8)等轴双曲线。的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物

线丁=i6x的准线交于两点，|AB|=46；则C的实轴长为()

(A)V2(B)272(C)4(£))8

【答案】C

【解析】设C:x2-y2=a2(a>0)交y2=16x的准线l:x=-4于

氏-4,2&5(-4-273)

得：<?=(一4)2一(24)2=4=0=2=24=4

(2012年高考新课标全国卷理科4)设FR是椭圆E:5+当=1(。〉b〉0)的左、右焦点,

ab~

P为直线x=弓上一点，△吊尸耳是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为O

1234

(A)-(B)-(C)-(D)-

【答案】C

【解析】△是底角为30"的等腰三角形

F2PFX

33

==同耳卜2(-tx—c)=2c=^=—c=—

(2012年高考浙江卷理科8)如图，£,K分别是双曲线C：Mo)曲宏右蜃

点，6是虚轴的端点，直线E8与C的两条渐近线分别交于只。两点，(缴罐勺*直平分

线与x轴交于点瓶若|既|=4回,则C的离心率是

.2百

A.-----

32

C.V2D.G

【答案】B

【解析】如图：|0Bl=b,|。F.=c.「・3=勺，kt.=--.

cc

b

j=-(x+c)

直线PC为：y={x+~两条渐近线为:b।,得：一，J

y--x.由，

bc-ac-a

尸f

La

/=-(x+c)

由］c，得:上Ji..•.直线为：y--=

bc+ac+a

y=--x

令尸。得：L寸.又•••匹|=曜产2-=,“=汴，解之得：e-'=-=?,

即。手

（2012年高考山东卷理科10）已知椭圆C：春+以"1">9°）的离心率为乳双曲线

1-/=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆

C的方程为

.内T（B温+卷=1◎导

【答案】D

【解析】双曲线曰：=1的渐近线方程为y=±x,代入方可得

%2=：，,,S=4x2=16,则a2b2=4(a2+Z>2),又由e=可得a=2合，则

a2+b22

射=5合2,

于是1=5,/=2O.桶圆方程为工+片=1,答案应选D.

205

（2012年高考福建卷理科8）双曲线工-与=1的右焦点与抛物线丁=12x的焦点重合,

4b

则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）

A.75B.4拒C.3D.5

【答案】A

【解析】抛物线/=I2x的焦点为(3,0)双曲线中，i2=9-4=5.双曲线渐近线方程为

3眄

所以焦点到渐近线的距离d

(2012年高考安徽卷理科9)过抛物线：/=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O

是原点，若［48=3,则A4O3的面积为()

(A)—(B)V2(C)述(D)272

22

【答案】C

【解析】设ZAFx=8(0<8<开)及忸F|=的则点4到准线l:x=-l的距离为3

123

得：3=2+3cos6=cos6=-尺加=2+MCOS(开一?=掰=-------=——

3l+cos62

LAOB的面积为S=；xp尸卜网xsin6=gxlx(3+.x华=半

22

(2012年高考湖南卷理科5)已知双曲线C：*-==1的焦距为10，点P(2,1)在C的

渐近线上，则C的方程为

205

【解析】设双曲线C：j鼻=1的半焦距为C,则2c=10,c=5.

又C的渐近线为y=±6±x,点P(2,1)在C的渐近线上，.•.1=巳b2,即a=2b.

又,2=优+/，.・.a=25=6，的方程为二-工=1.

205

【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的

思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

（2012年高考全国卷理科3）椭圆的中心在原点，焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆

的方程为

27222。

八九V1nx3rl

A.2+二=1B.C.---F--=1D.---F--=1

161216884124

【答案】C

【解析】桶圆的焦距为4,所以2c=4,c=2因为准线为x=-4,所以椭圆的焦点在x轴上,

且—-=-4＜所以a'=4c=8,=a2-c2=8-4=4»所以惭圆的方程为

c

22

---F—=1»选C

84

【考点定位】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置，

然后借助于焦距和准姨求解参数4,b,C，从而得到椭圆的方程.

（2012年高考四川卷理科8）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点。，并且经过

点M（2,%）。若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|。m|=（）

A、272B、2布＞C、4D、275

【答案】B

【解析】设抛物线方程为,=2px（p＞3,则焦点坐标为（）,准线方程为x=-1.

•.•〃在抛物线上，

..M到焦点的距离等于到准线的距离.

—2一岁+求=3,且«2+步3

解得：P=L%=2-72

:点〃（2,2、②

:.|OM|=百+Q招2=273

【考点定位】本题旨在考查抛物线的定义：|MF|=d,（M为抛物线上任意一点，F为抛物线的

焦点，d为点M到准线的距离）.

（2012年高考全国卷理科8）已知《，鸟为双曲线C:犬一V=2的左右焦点，点p在。上，

IPK1=21PgI，则cos/耳尸鸟=

A.1B.3c.3D.i

4545

【答案】C

【解析】双曲线的方程为《一片=1，所以。=小=a,，=2,因为|PF：|=|2PF.,所以

22

点P在双曲线的右支上，则有PF」-|PFJ=2a=2五，所以解得PFJ=2/，|PF「4近，所

.vixnjfi](2</2)2+(4^2)2—143、比

以根据余弦定理得cosF,PF=---------=-----=---=—.选C.

22x272x4724

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用.

首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可.

二、填空题：

(2012年高考北京卷理科12)在直角坐标系xOy中，直线1过抛物线y'=4x的焦点F.且与

该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线1的倾斜角为60。.则AOAF的面积

为.

【答案】73

【解析】由/=4x可求得焦点坐标F(l,0),因为帧斜角为60。，所以直线的斜率为

k=tan600=y/3,利用点斜式，直线方程为-不，将直线和曲线联立

卜岳-席卜*2我11厂厂

(212、回，因此用皿=彳乂。斤X以=0卜2、/5=、8.

lx=4x[5(-,--)22

(2012年高考辽宁卷理科15)已知只0为抛物线f=2y上两点，点只0的横坐标分别为

4,-2,过只。分别作抛物线的切线，两切线交于4则点4的纵坐标为

【答案】-4

【解析】因为点尸，。的横坐标分别为4,-2,代人抛物线方程得产，。的纵坐标分别为8,2.

由/=2乂则/=/=%所以过点产，。的抛物线的切线的斜率分别为4,-2,所以

过点产，。的抛物线的切线方程分别为1y=4”8J=-2工-2,联立方程组解得X=1J=-4,

故点/的纵坐标为一4

【考点定位】本题主要考查利用导致求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求

法，属于中档题.曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系

到一起，这是写出切线方程的关屣.

22

（2012年高考江苏卷8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线^-----—=1的离心率为

mm~+4

出,则，"的值为.

【答案】2

【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在x轴上（否则不成立），因此也＞0,由离心率

公式得到竺士士=5,解得活=2.

m

【考点定位】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的,

在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋

势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.

（2012年高考浙江卷理科16）定义：曲线C上的点到直线1的距离的最小值称为曲线C至I」

直线/的距离.已知曲线C：y=/+a到直线/：y=x的距离等于C2：/+（y+4）?=2至lj

直线/：y=x的距离，则实数a=.

9

【答案】-

4

【解析】G：x:+iy+4jz=2,圆心（0,—4）,扇心到直线;:尸x的距离为：d==2m,

故曲线Q到直线匕y=x的距离为，=17=4-夜=应.

另一方面：曲线C：：y=x：+a,令y，=2x=0,得：x=y»曲线C：：尸x：+。到直线）：y

1A、

——（一+

11L249

=丫的距离的点为|；，~+£3hd'=、泛=二---二----=以=一.

24厩4

22

（2012年高考江西卷理科13）椭圆=+「=1（a>£>0）的左、右顶点分别是43,左、

a~b~

右焦点分别是A,若ME|,笔用,用打成等比数列，则此椭圆的离心率为

【答案】T

【解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：|A用=a-c,比8|=2c,

由B|=a+c.又已知,忸玛|£B|成等比数列,故（a—c）（a+c）=（2c）?,即

a2-c2=4c2,则/=sc?.故e=£=好.即椭圆的离心率为—

a55

【考点定位】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函

数与方程，转化与化归思想.求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关a,c的方程，

然后化为有关a,c的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e的方程，从而求解方程即可.

体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求

解等.

7.（2012年高考陕西卷理科13）右图是抛物线形拱桥，当水面在?

时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降：米后,水面宽米.

【答案】276

【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点。的坐标为

（0,0）,

设I与抛物线的交点为A、B,根据题意知A（-2,-2）.B（2,-2）

设抛物线的解析式为y=a/,则有一2=ax（—22,.♦.&=—1

二.抛物线的解析式为丁=-（一

水位下降1米，则y=-3,此时有x=、后或x=-展

此时水面宽为2而米

【考点定位】本题主要考查抛物线的标准方程及其应用，紧扣课本.

22

（2012年高考湖北卷理科14）如图，双曲线与=1（。,6>0）的两顶点为A”A2,虚轴两

a1b1

端点为Bl,B2,两焦点为F“F*若以A1A2为直径的圆内切于菱形FBFB,切点分别为A,B,

C,D.则

（I）双曲线的离心率6=；

（II）菱形RBFzBz的面积&与矩形ABCD的面积S?的比值亘=.

第14的图

【答案】（I）^11,（II）2^12

22

【解析】（I）在△片。片中，aylb2+c2=be,整理得?-3/d+d=0,即

/-%2+1=0,解得€2=55,即€=亘也；（II）由图分析可知，面积之比为

22

be_一1）62^~4―7_4+2

【考点定位】本小题考查双曲线离心率的求解,若查直线与圆相切等基础知识,考查了同学们

分析问题和解决问题的能力.

.（2012年高考重庆卷理科14）过抛物线y2=2x的焦点/作直线交抛物线于A,6两点，若

|4却=三,|4尸|<忸尸］,则|4日=。

【答案】-

6

25

|-4F|=w,|5F|=n/AFx=&+n=—

【解析】设12

m=0+的cos6,%=p-«cos^（j>=1）=冽=—

（2012年高考四川卷理科15）椭圆三+t=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点

43

A、8,当AFAB的周长最大时，AE4B的面积是.。

2

【答案】-

3

【解析】根据椭圆定义知r4a=12,得a=3,yVa2-c3=5

【考点定位】本题考查对桶圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标

理念.

三、解答题：

（2012年高考江苏卷19）（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系x%中，椭圆

22i＞y

++斗=1（4＞匕＞0）的左、右焦点分别为耳（-c,0）,A

都在椭圆上，其

F2(C,0).已知(l,e)和

&o

中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的离心率;

（第二9题）

（2）设4,8是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线

与直线8K平行，A居与交于点A

（i）若A耳-8瑞=手，求直线4月的斜率;

（ii）求证：「月+尸乙是定值.

【解析】（1）由题设知，+d,e=-由点（l,u）在椭圆上，得

a9

p/12

—+—=1=>—+=^2^2n/=l,.*.c2=a2-1,

a2oaao

由点。，坐在饰Hl上，得

阳

I2J（72-1342o

+-———=1=——+—=1=/-4a2+4=0=>a2=2

1/4

.•桶圆的方程为\+档=1.

（2）由（1）得即（-1,0,工（1,。），又「M〃即，

・■•设阳的方程分别为源产x+l,my=x-l,Axt川，为孙必1,»〉口必〉。

再2

--十1712-.cm+J2加2+2

2八1=>\m+21/-2my-1=0=必=-----x---------

xm+2

myl=x1+1

.:百:=时导晒”+用豆步，+续匹①

/vm+2m+2

加|/+11-加占?」+1

同理,%=②

―阳2+2~

（i）由①②得，*_%=2加箕+1.解2吗加2+1=包得掰22

m+2m+22

注意到w?>0,m=y[2.

二直线期的斜率为上=正

m2

...里=雪，即必+%*[ePB+PFi_BF/A%

(ii)证明:,/父〃即,

PF、月6PF1AFXPF\AFX

由点B在椭圆上知，期+%=20,...朋=—纳一|2/-即

AF\+BF1

同理.PP产—吃—12-72-^1,

2AR+町1

.'.PF{+/=—必一I2近-町|+—町一|20-|=2&-2"鹏

12AFi+B叫246+即1AFi+B%

2V2|w2+11-,2.

由①②得，幽+B斤=——z------,AF>BF=\-^-,

m2+2加z+2

/.期+铝=2/一半弓"

二口耳+理是定值.

【考点定位】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与桶圆的关系.本题注意解题中,

待定系数法在求解摘05的标准方程应用，曲妓和方程的关系.在利用条件AF「B/=半

时，需要注意直线上网和直线毋平行这个条件•本题属于中档题.

（2012年高考北京卷理科19）（本小题共14分）

已知曲线C:（5-〃2）/+（加-2）,2=8（,〃eR）.

（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设加=4,曲线C与），轴的交点为A,B（点A位于点8的上方），直线>=日+4与

曲线C交于不同的两点M,N,直线>=1与直线8"交于点G,求证：A,G,N

三点共线.

【解析】(1)原曲线方程可化简得：二一+名一=1

o0

5-网wi-2

88

------->--------

5-修m-2

由题意可得：,二—>0,解得：<w<5

5-m2

_J_>0

m-2

(2)由已知直线代入椭圆方程化简得：(2*+l)x'+16Ax+24=0，

△=32(2*-3)，解得：E*

由韦达定理得；x+x=，丝①，xx=天丝7,②

2fr+12k'+1

设N(x,kx+4),M(x,,fcc+4),G(x,1)

MB方程为：j=-：c—°r-2,则G|・一，1],

x„也，+6)

—*-(3x、1

AG=-....>-1,AN=।Xir>+2।,

[x,k+6)

欲证d,G,曾三点共线，只需证而，而共线

即一^——(rk+2)=-x成立，化简得：(3k+k)xx=-6(x:+x)

xk+6

将①②代入易知等式成立，则4G,曾三点共线得证.

(2012年高考广东卷理科20)(本小题满分14分)

22B

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=+二=1(。>/?>0)的离心率6=、一，且椭圆

«2b~3

C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)在椭圆C上，是否存在点M(m,n)使得直线1：mx+ny=l与圆0：x2+y2=l相交于不同

的两点A、B,且AOAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若

不存在，请说明理由.

【解析】(1)设述=J&2由9=£==C，=■la:所以/=/=Xa?

a\333

设尸(x,y)是桶圆C上任意一点，则1+4=1，所以，=a2(l—W)=a2—3y2

abb

\PQ\=J/+0-2f=7«2-3/+O-2)2=7-2O+l)2+(22+6

当821时，当y=-l时，|产Q|有最大值Ji+6=3,可得a=J5,所以3=1,£；=应

当3<1时，忸Q|<+6=a+6<3不合题意

故桶圆C的方程为：y+/=l

(2)2L4OB中，|04|=|0冽=1,5^,3=1x|(?^|x|05|xsm<|

当且仅当乙408=90♦时，应皿有最大值;，

(2012年高考湖北卷理科21)(本小题满分13分)

设A是单位圆x'y'l上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，

点M在直线1上，且满足IDMI=m|DA|(m>0,且mWl)。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹

为曲线C。

(I)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

(II)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射

影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ_LPH?若存在,

求m的值；若不存在，请说明理由。

【解析】

(I)如图1.设,打)，则由|2W卜刈04|51>0,且加#1),

可得x=x。，|川=刈九|,所以而=丫，|九卜工|川①

因为4点在单位圆上运动，所以*+几：=1②

将①式代入②式即得所求曲线C的方程为r1+4=1（M1>0,且加*1）

Ml-

因为加€(0,1)U(L+8),所以

当0<用<1时，曲妓。是焦点在x轴上的怖圆,

两靠点坐标分别为(-J1-疝,0).(Vl-w\0)।

当加>1时，曲妓。是熊点在了轴上的怖EH，

两焦点坐标分别为(0,-加-1),(0,y}m}-I)

(II)解法1，如图2、3.VJr>0,设Ra，炳)，HLWJQ(-xp-tai).N0瓯),

直线QH的方程为了=2奴+电，将其代入饰圆C的方程并整理可得

(疝+4/+仅号+上飞’一疝=0

依题意可知此方程的两根为-凝，X：,于是由韦达定理可得

▼…秋飞日口”标石

-凝+X】.---;7T-T，即X：=—；-TTV

w+4k~m*+4k-

因为点H在直线QW±,所以八-姐=2咫=峭篝

于是用=(-2%,-2我)，丽=仪-4,『「%)=(-总产含沙

而PQLPH等价于丽丽=4(2二的放至=0,

nr+4k'

解法乙如图2、3,Vxi€（O,l）,设R/Ji），5（x“月），则Q（_x】，_7i）,蔺（0,月）,

,、、、、

因为F,斤两点在椭圆。上，所以1巾三+匕、="：两式相减可得

m'r/+//二网,

疝Q：-xJ）+（*-7；）=0③

依题意，由点F在第一象限可知，点"也在第一象限，且尸，H不重合,

故（％-&）（凝+冬）*0于是由③式可得

近23=_疝④

（瓦一x：XZ+x»

又Q,N，5三点共线，所以h=k,,,即◎■=九士立.

片片+公

于是由④式可得kk=左.左』=二鱼二9出士区=一丝1

4/一42（%一4）（应+大）2

而也_1_阳等价于上一=T，即-g=-l，又m>0,得m=JL

、

故存在m=使得在其对应的椭圆/+多=1上，对任意的卜>0,都有理

【考点定位】本小题考查直线与扇以及圆锥曲线等基础知识，考查函数与方程思想、分类讨

论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力.

（2012年高考上海卷理科21）（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船

的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），

则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为

10

抛物线》=若》2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发f小时后，失

事船所在位置的横坐标为7f.

（1）当/=（）.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求

救援船速度的大小和方向：

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

【解析】（l）£=0.5时，P的横坐标37£=彳，代入抛物线方程尸=磊一

中，得P的纵坐标％=3.……2分

由|AP卜零，得救援船速度的大小为师海里面.……4分

由tanNOAP=玄仃=g,得NOAP=arctan万，故求攵援船速度的方向

为北偏东arctan留弧度....6分

（2）设救援船的时速为v海里，经过C小时追上失・船，此时位置为（7〃12d）.

由W=7（7^）3+（12i2+12）2,整理得v2=144妒+*）+337,……10分

因为J+}22,当且仅当£=1时等号成立，

所以-2144x2+337=25?,即vN25.

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分

（2012年高考福建卷理科19）（本小题满分13分）

于点Q。试探究：

在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求

出点M的坐标；若不存在，说明理由。

【解析】(I)设c=Jc?-b

则€=£=1=°=20=%2=4/

a2

AAg4的周长为

幽|+向图+|B玛|=8=|典|+向玛|+|B周+|理|=8

=4。=8Qa=2,b=-J3,c=1

椭圆£的方程为《+二=1

43

(II)由对称性可知设产(Xo，M))仇＞0)与M(x,0)

直线―。"嗡…)=加干)

砺■砺=0=(工_%)炽_4)+^x=0QXo(x7)=(x_1)(工_3)

为

(*)

(*)对%e(-2,2)恒成立=x=1,得M(L0)

(2012年高考上海卷理科22)(4+6+6=16分)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线G：

2尤2_J?=]

(1)过G的左顶点引G的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的

三角形的面积；

(2)设斜率为1的直线/交G于P、。两点，若/与圆尤2+y2=1相切，求证：OP，。。；

(3)设椭圆。2：4x2+y2=1,若M、N分别是G、。2上的动点，且OM^ON,

求证：。到直线MN的距离是定值.

【解析】⑴双曲线C「左顶点上（-坐,0）,渐近线方程：y=土&X.

过点A与渐近线1y=42x平行的直线方程为y=血（x+多），即y=至x+1.

解方程组W=7^x，得卜=:手.……2分

y=V2x+1

所以所求三角形的面积1为SEIQ4II川=乎.……4分

（2）设直妓PQ的方程是1y=x+5.因直妓与已知圆相切,

故号=1,即/=2.……6分

y=x+6%A

由，々，得了-2bx—b-1=0

2x2-y2=1

、c」再+为=28,、

设P（x：,yJ、Q（x：,y：）.则，,2.（lbylfx）

XjX2=-b-1

又2,所以

OPOQ=xxx2+1y必=2々向+小（公+勺）+B?

=2（—/-1）+3—2=0,

故。P_L。。.....10分

（3）当直线。"垂直于x轴时，

|。*=1,O.M=冬则C到直线M*的距离为申

当直线。足不垂直于x轴时，

设直线。内的方程为＞=*X（显然|封＞手）,则。的方程为丁=-+X

?=jrjr=J

由,：；ij密，?一，？，所以|0NF="_

4x2+/=1y=-rr-M

同理……13分

22

设0到直线MN的距离为d,因为QOM『+1加『必2=|OM||0271.

所以工=」_+」_=3=3,即“里

d|OM|ON|X+1"ri

综上，。到直线MN的距离是定值.……16分

【考点定位】本题主要考查双曲线的假念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、

惭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最

特殊的为等轴双曲线，它的离心率为血，它的渐近线为y=±x，并且相互垂直，这些性

质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题.

(2012年高考山东卷理科21)(本小题满分13分)

在平面直角坐标系xOy中，尸是抛物线C:/=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C

上

位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为。，点。到抛物线C的准

线

的距离为好.

(I)求抛物线C的方程；

(H)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线。相切于点M?若存在，求出点M的坐标；

若不存在，说明理由；

(HI)若点M的横坐标为直线/:y="+|与抛物线C有两个不同的交点A,8,/与

圆Q有两个不同的交点。,后，求当4《左«2时，|48|2+|。后|2的最小值.

【解析】(I)依题线段OF为图。的弦，由垂径定理知圆心。的纵坐标总=5，

又Q到抛物线准娃y=的距离为小+§=?+§='，所以p=l.

所以/=2'为所求.

(II)假设存在点”(飞,圣，又F(0,1).设Q(3»./=2y变形为

=yn〃=x

^-1

因为直线即2为抛物线的切或，故％=工_1=丁17=而，解得

%一勺

_%+」L

为x一2+4凝’

即吟+着力

又取FW中点耿华，华），由垂径定理知FW_L翁，

所以西.西=（而，41＞（-土,苧）=0=飞=企，所以存在〃（也,

D.

(III)依题河(血，1),扇心@挈，»，圆Q的半径r=|O0|=J(岁)+©)2=点,

圆心。到直线的距离为d

所以，3£|2=4(八-渝=4修-兖辞麋)27+2旅

\D乙D乙If\r}J8(1+7)

/=21y1

又联立,1=>x2-=0»

y=kx+^2

x1+x2=2k

设贻，必)，B(xj,乃),则有,

所以，|AB|2=(1+/)[(再+叼)2—4再引=(1+环(4/+2).

于是，

|工用2+|荻『=(1+/)(4/+2)+|^^=4炉+余？+5+*.在(1<^<2)

记，(x)=4/+6x+号+需・土4<X<4),

4o1+xq

/3=8x+6-号.缶广6-1>0,所以/⑴在日，4]上单噌，

d11十用O4

所以当X=3,/(x)取得最小值力式X)=此)=号,

所以当a时，|第2+|叫2取得最小值竽.

(2012年高考浙江卷理科21)(本小题满分15分)如图,

椭圆C：(a>6>0)的离心率为,，其左焦点到

ab~2

点。(2,1)的距离为Jid.不过原点。的直线/与c相交

于48两点，且线段46被直线利平分.

(I)求椭圆C的方程；

(第题图)

(II)求△/配的面积取最大时直线/的方程.21

【解析】！Ii由题：e=£=(11

a2

左焦点Lr，，倒点P(2,的距离为：d=7(2+c):+l'=4o.(2)

由⑴⑵可解得：a'=4,b'=Sr=1.

.•・所求椭圆C的方程为：£+?=l.

(II|易得直线。P的方程：y=—Xt设A(x,，y,j,gi：Xf,y：j,月的，其中y~=J

VAB在桶圆上，

三+匚1

.433x:+x32/3

X•7•,x,