高中数学常用公式及知识点(北师大版必修1-必修5及选修2-1)

北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测北师大版教材高

中数

学常用公式及识点记测（必修1必修5及选修21第页共页

北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测目

录必修必修必修必修必修选秀

1………………32………3………………104………………135………………182-1…………22后记………………28第页共页

b2b2北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测b2b2必修1§

集合集合基本运算；；.集合的包含关:；；识记要结论：

ABB

;

ABB

;CU

A;ACBUUUU．对用集合的元素的认识①方程

x的解，A即方程的解集；②

2

等式

x

的，B即等式的解集；③

Cx2xx函

y2x

的函数值，C④

即函数的值域；Dlog2

2

D

即函数的定义域；⑤于

x,

的方程的解集，也可看成以方程

的解为坐标的点，M为的集合，是条直线。5.集

{a}1n

的子集个数共有

n

个；真子集有

n

–个非空子集有

n

–个非空的真子集有

n

–个6.方程(x在(k,)上且只有一个实根,与f()f()01一个必要而不是充分条件.特地,方程axbx0(

不等价,前者后者的有且只有一个实根在(k,k)1

内,等价于

f(k)k)12

,或

f(k)1

且

k1

k12

,或

f(k)2

且12k2

2

.7.闭区间上的二次函数的最值问题二次函数

f(x)

2

(a

在闭区间

能在

x

b2a

处及区间的两端点处取得，具体如下(1)当a>0时，若

b2

，则f()f)fafxpinmax

)()二次函数在闭区间上必有②xf(x)min

x)maxfq)minp),f)

，

最值最值问题看法一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。第页共页

2北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公2(2)当a<0时①若

x

b2a

f)minp),f(q)min②若

x

b2

f()),(q)

，

f(minpf(min8.fmax9.由等导相等的有效方法：若

a

min且a，.§

函

数1.函数的单调性(1)设那12f()(x)()f(xf()2fx)在a,上增函数；f()f)()f(x()f(x)在上是减函数(2)设函数(x在个区间内可导ff(x为增函数f

，则

f(x

为减函.⑶单调性性质：①函+增函=增函数减数减函=减函数增函-减函数增数④减函数-增函数减数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。2.复函数单调性的判断方法：⑴如果函数

f(x和(x)

都是减函数（增函数则公定义域和函数

fx)(x

也是减函数（增函数）⑵对复合函数[g()]的单调性，必须考虑y)与g(x)的单调性，从而得出y[)]的调性。

小结：同增异减。研究函数yf增函数增函数减函数减函数

u增函数减函数增函数减函数

f增函数减函数减函数增函数

的单调性，定义域优先考虑，且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。．函的奇偶性（注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称）⑴若

f(x

是偶函数则

f

关于y轴对偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区。⑵定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数函数的图象关于原点对称；奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区。⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：

f

或者

ff

第页共页

北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测⑷奇偶函数的图象特征函的图象关于原点对称函数的图象关于y轴称反来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．⑸多项式函数P(x)axxn的偶性n多项式函数P)是函数(x)的偶次(即奇数的系数全为.多项式函数

P()

是偶函数

(x)

的奇次(即偶数项的数全为.4.数

fx)

的图象的对称性：函数

f(x)

的图象关于直线x对f(a)f(f(2axf(5.两个函数图象的对称性(1)函数

yf(x

与函数

y)

的图象关于直线

(即

轴对.(2)函数

yf(x

与函数

y()

的图象关于直线

y

(即轴对.(3)指数函数yx和ylogx的象关于线y=x称6.若将函数f()的图象移a上移个单位得函数f(x)

的图象若将曲线

f(xy)

的图象右移、移单位，得到曲线

f(,0

的图象．互反函数的两个函数的关系：

f(af

(b)a

.8.几个常见抽象函数模型所对应的体函数模型(1)正比例函数

f(x,(xy)f()y),f(1)

.(2)指数函数

f()

x

,

f(xy(x)f(y),f((xf(y),f

.(3)对数函数

f()loga

,

f()f(x)f(y),f()(x)f),

.f(0,a(4)幂函数

f()x

,

f(xy)f)f'(1)

.(5)余弦函数

f(xcos

,正弦函数

(xsinx

，()ff(y((y)

，f

.9.对于yyx

2yx3

，y2，

1x

的图象，了解它们的变化情况如右下图：

h

=x

g

=f几个函数方程的周期

q

=x⑴

f

对

xR

时，

r

=

1xf(x()

，则

f(x)

的周期为

a

的周

期函数⑵f

或

f

恒成立，则

f

是周期为

的周期函数⑶若

f

是偶函数，其图像又关于直线x称，则是周期为的期函数⑷若

f

是奇函数，其图像又关于直线

a

对称，则是周期为

4

的周期函数第页共页

nanalogN北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测nanalogN⑸

yf

对

x

时fx

f(x)

1f()

(()

,则

yf的周期的期数函数图像变换向上(b>0)向下移︱︱位

y

图象向左或右移︱φ︱单位

f

图象yf

图象点的纵坐标变为原来A倍横坐标不变点的横坐标变为原来1/纵坐标不变

y=y=

图象图象分数指数幂：

m

n

m

（

a0,mnN

，且

n

）(2)

（

a0,m,

，且

n

）．根式的性质（1）

(

a)

;（2）

n

为奇数时，

a

；当

n

为偶数时，n

|

a

.．有指数幂的运算性质(1)

a

rr

arR);(2)(a

r

s

rs

a0,rs

;(3)

r

r

br(r

.指数式与对数式的互化式：(0)对数的换底公式：logm,,m,且,).amn推论logblog(,,n,且m,,N).a．对有关性质：⑴的号有口诀“同正异负”记忆；a⑵a；a⑶1；a⑷对数恒等式：aa

⑸

mb

；⑹设函数fx)log(a0，;若f(

)(a记2ac.若f(的义域为R,则的值域为,a0，对于的形,需单独检验；18.⑴数函数

a

的图像和性质分析：第页共页

北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测a

的符号

0y

y图像

x

x定义域

0,

值域单调性

在0,+∞上增函数

在0,+∞)上是减函数过定点

1,

函数值的分布情况

0时时y

；

0x时时，

；⑵指数函数

的图像和性质分析：

的符号

a图像

y

y

x

x定义域

值域

0,

单调性

在

上是增函数

在

上是减函数过定点

函数值的分

x

时，

；

x

时，

y

；布情况

x

时，

y

x

时，

19.平增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平增长率为

，则对于时间

的总产值

y

，有yNp

.必

修

2§

立体几何初步1.常用公理和定理第页共页

北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测公1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那这条直线在此平面内．公2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个面．公3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那它们有且只有一条过该点的公共直线．公4：平行于同一条直线的两条直线平行．定：①空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．⑥一条直线与一个平面平行则该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．⑧垂直于同一个平面的两条直线平行．⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．2.三余弦定理（最小角定:立平公式）

B设AB与面α所成的角为,ACα内的任一条1

A

B'直线，且AC与AB的影AB所的角为，2AB与AC所的角为．则cos.如右图⑴。12

C

图⑴3.面射影定理:

'

.(平面边形及其射影的面积别是、'，它们所在平面所成锐二面角的为).如。4.已：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为

，因此有

2

2

2

；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分

，则有

2

cos

2

2

线1）

．棱的平行截面的性质：

图⑵如果棱锥被平行于底面的平面所截么所得的截面与底面相似面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方对应角相等应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比4．①的半径是，则其体积VR,其面积3S；②球的半径R面半径（r心到截面的距离为（d）构成直角三角形，因而有关系：r22，们是计算球的关键所在，如图⑶.

R

r

OdO'7.球的组合体

图⑶第页共页

32．．．．．．．x11112222AB北师大版教材（必修1～必修5及选修32．．．．．．．x11112222AB(1)球与长方体的组合:长体的外接球的直径是长方体的体对角线.(2)球与正方体的组合:正方体的内切球的直径是正方体的棱,正体的棱切球的直径是正方体的面对角线,方体的外接球的直径是正方体的体对角线.．柱、锥体的体积柱体

1Sh3

（

是柱体的底面积、

是柱体的高;

1锥体

（

是锥体的底面积、

是锥体的高.§

解析几何初1.斜率公式①21（P()112一个方向向量为

、

P(x,y),）tan22一般两点斜截距

；②直线

的直线五种方程（）斜式（）截式

yyx)(线l过(xy)111(b为线l在y轴上的截距).

，且斜率为k．（）点式(4)截距式

x11()(P()、P,x1112222x(a、分别为直线的横、纵截距，0)ab

)).（）般式

(其、不同为0).两条线的平行和垂直(1)若

l:yx111

，

l:yk2

，则有①l||l②llk1121212(2)若lx0,l:0,、BB都为,AB①l||l11；ll0；11222（直l:By中若A0,0,则l垂直轴若0,B,l直于x轴．四常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程

有谁垂（吹）谁定直线系方程：经过定点P(x,y)的线系方程为(x)(除线00000x),其中k是待定的系数;经过定点P(,)的直线系方程为00y,中是定的系数．00(2)共点直线系方程两直线lAx0,l:AxB0的交点的直111222线系方程为(AxByA)(l)，其中λ是待定的系数．122(3)平行直线系方程：直线kx中斜率k一定b动时，表示平行直线系方程．与直线

平行的直线系方程是

By

()，是参变量．垂直线系方程：与直线

By

(A≠，B≠0)垂的直线系方是

,λ是参变量．点到线的距离第页共页

12北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测12d

|Ax|00A2

(点

(,y)0

,直线

l

：

).圆三种方程（1）圆的标准方程

x2)2

；（2）圆的一般方程x

2

2

F(

2

2

＞0).（3）圆的直径式方程())117.点与圆的位置关系

(圆的直径的端点是

()1

、

B(x,)22

).点

(,y)00

与圆

)

2y)r

的位置关系有三种若d(a)

)

则

dr点在外r点在圆上dr点在圆内8.直线与圆的位置关系：直线

0

与圆

)2y)r

的位置关系有三种:

r相离;相切;相交

.其d

22

.9.两圆位置关系的判定方法：设两圆心分别为O，O，径分别为r，，Odrr外离4条公切线;d外切3条切线121r相交2条公切线;dr内切条公切线1121

;0r内无公切线1

.10.圆的切线方程：已

x

2y2r2

．过圆上的

(y)0

点的切线方程为2;0空间角坐标系中点的坐标及距离公式3.A

(z)11

，

(,z)22

，则AB

OB

x

1

.必

修

三§统

计抽方法主要有：①简单随机抽(签法、随机样数表法)常常用于总体个数较时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；②系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分一分只取一个分层抽样要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：每部分取的个数样本容该部分个体总总体中的体数2.简单随机抽样、系统抽样、分层样的比较

nn或者kNN第10页共页

1123nnn2北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测1123nnn2类别

共同点

各自特点

联系

适用范围简单随机抽样系统

（1）样程中每个个体被抽到的可能性相等

从总体中逐个抽取将总体均分成几部在始部分分，按预先制定的规则样采用简在各部分抽取随抽样

总体个数较少总体个数较多抽样分层抽样

（2）次出个体后不再将它放回不回抽样

将总体分成几层，分层进行抽取

分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

总体由差异明显的几部分组成3.总体分布的估计用本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率般样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方.4.用本的数字特征估计总体的数字特征中位数：算出来可避免极端数据，代表着数据总体的中等情况（如果总数个数是奇数的话按小到大的顺,取中间的那个数；如总数个数是偶数个的,按从小到大的顺序,取中间那两个数的平均数）众数：一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数。例如：，，，，的众是3但是如果有两个或两个以上个出现次数都是最多的么几个数都是这组数据的众数。例如：，，，，，的数2和。还有，如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数。例如：，，，，没有数x样本平均数：12n；n样本方差：n

；样本数据,x,…x的准差

S

[(x))12

)]n5.回直线

bx

必过样本平均点

为斜率，如

b

，则变量

每增加1个位时，变量平减少1个位；线性回归方程方程为

bx

系数公式:b

yiii2nxi

,

a

。i第11页共页

x北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测x§算

法

初

步①画出算

2

2

2

2

的程序框图，如图⑴；1②对⑵，若输入，执行程序后输出的值为____2开始

开始s=0

开始输入y

输入

x,1S

4i=i+1s=s+ii=i+2

Y

N

Y

1ii<=100

是

N

i<=4否

是

S+

xi否输出结束图⑴③某市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量

输出y结束图⑵开始输入NS=0,k=1

输出结束图⑶开始s=0分别为x1吨。据如图所示的程序框图，若x,xxx分为1，131.5，1.5，，输出

skk<N

是

k=k+1

aii的结果为__________.④如执行下面的程序框图，如图⑷，输入N=5,则出的数等于___；⑤阅下面的程序框图⑸，运行相应的程序后，则输出的为_____.

否输出结束图⑷

否

s>11是输出结束图⑸§概

率第12页共页

北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测1.等可能性事件的概率：()

事A包含的基本事件数m（典概率式）n试验的基本事件总数（）

构成事件的区域长度（面积或积（几何概率公式）试验的全部结果所构的区域长度（面积或积）必修

4§三角函数．⑴边相同的角的集合：

kZ

⑵角度与弧度的换算：180rad180

；⑶弧长与扇形的面积公式：弧长

l

，扇形面积

11lr22

.⑷常见三角不等式①若

x(

)，则；②若x(0,)22

，则

1sinxx

③x|

.2.常用三角函数不等式及相关等式解集：⑴①

sinxcosx

的

集合是

k44②sinxx的

kkZ集是

；

225°角边

O

角终边x

x4

；

半个月亮爬上来③

sinxcosx

的

集合是3kZ4

。⑵①

sinx的x合是

4

4

；

边

y

边②

sinx

的

集合是

O

x

3xork44

；

所谓伊人在水一方③

sinx的集合是

4

4

。3.⑴对“

,sin

”三个式子知其中任意一个子的第13页共页

,sin．．．．．北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测,sin．．．．．值，可求出其余二式的值。⑵三角函数的诱导公:“变偶不变，符号看象限，，”形似角中的角的符号；

不论多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号作为等式右边00-

2020-

,-sin,

注意：总共两套诱导公式（一套0

0

,

是函数名不变；000

3030

0

coscos

,

另一套是函数名必须改变余弦函数和正切函数的诱导公式360

40

360

0

,

规律记忆同正弦

0

40

3600,

函数。

00

,4.三角函数的周期公式函数

x∈R及数

cos(

x∈ω为数，且A≠ω＞0)的周期

数

Z2

(A,ω,

为常数，且A≠0，0)的周期

.5.①类正弦函数

=Asin(wx+

的图像的变换：两种办法殊途同归。作y=sinx长度为2区间）的图像沿x轴移φ

个位（左加右减）

横坐标伸长或缩短原来的倍得y=sin(x+的图像

得y=sinx图像横坐标伸长或缩短原来的

倍

沿x轴移

个单（左加右减）得y=sin(ωx+φ的图像纵坐标伸长或缩短原来的A

得y=sin(ωx+φ)的图像纵坐标伸长或缩短到来的A倍得

=Asin(wx+

。②类正弦函数

y=Asin(

x

计算：振幅

y

ymax2

miyybmin2

。第14页共页

北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式注：对于类余弦函数

也有以上①②相应的结论。正弦数和余弦函数的图像和性质函数

y=sinx

y=cosx图

y

y=cosx

y像

π

-

-

o

π

π

x

x

定义域值域

R

最值

22

kZ时maxk时，ymin

kkZ，max，min

单调

xkkZ22

时数x

性

x

2k

kZ

时x奇偶性周

奇函数

偶函数期性

最小正周期为

对称性

对称轴：x2对称中心：k

kZ

对称轴：,k对称中心：(kZ2第15页共页

112北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测112正切数的图像和性质函数

ytan

图像

O

定义域

x

2

值域

R单调性

xk,22

k

时，增函数奇偶性周期性

奇函数最小正周期为

对称性

对称中心：

k(kZ2§平面向量1.向量的加减法的代数结构：⑴

AB

尾首接首尾⑵AB2.平面向量基本定理

首首接尾尾指被减向量如果e、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面的任一向量，有且12只有一对实数λ、，得a=λe+λe不线的向量e、e做表示这一平面内所有22212向量的一组基．向平行与垂直的坐标表示设

=

,y11

,

=

()2

，且

，则

∥

y12

；xy.1与b的量(或内积：·b=|||b|cos．其几何意：量积·b等于a的长|a|与b在a的方向上的投b|cosθ的乘积．平面量的坐标运算(1)设

,y()112

，则a+b=

(y)11

；设a=

,(xy)112

，则a-b=,y)；(3)设A(,，(),则ABOAy)1112(4)设a=(),a=((5)设a=(x,y()axyy1122xy6.两向量的夹角公：cos1(=(,y,b=()).y221

；.7.平面两点间的距离公式：

,B

=

|AB|

AB(x)1

y)1

(A

,11

，B

(2

).8.①线段的定比分公式：第16页共页

．．．．．．．yy．．．．2北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测．．．．．．．yy．．．．2设

)，P,，P(y)1122

是线段

P的分点是实数，且1

，则

xy

x121y121

OP11

tOP)2

（

t

11

）②中点的向量形式：平面内，设段的中点为，为线外意一点，则有

OAOB2

;设此时

yy

xx22，则y129.三角形的重心坐标公式eq\o\ac(△,：)ABC三个顶点的坐标分别为xy则△的心的坐标是G(1,1).3

A(x,yB(x)1122

C(x,y3

,10.三形四“心”向量形式的充要条件设O为ABC所平面上一点，角

,B,C

所对边长分别为

b,c

，则（）O为外心OAOBOC

.（）

O

为

的重心

OA

.（）

O

为

的垂心

OAOC

.（）为ABC的心bOB

.§三角恒等变换同角角函数的基本关系式：

sin

22

=

sin推论：

2

11

2

1tan2cos2

11tan

1,cos（正负号取决于所的象限）和角差角公式

;

cos

sin

;tan(

tan1tan

；sin(

sin

2

sin

2

(正弦平方差公式

);sin

cos

2sin(

(辅助

所在象限由点

(a,b)

所在的象限来决定,且

ba

).二倍公式：第17页共页

2nnmn11北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测2nnmn11sin

cos

；

22

2cos2

2

；万能公式：22sin2

21tan21tan1tan221tan

；；

辅助直角三角形半角式（降幂公式①

2

1；sin；222②

sin2sin必

修5§数

列1.⑴自然数和公式：nn①；②2

；③

13

3

3

2

⑵常见的拆项公式：①

1；②nn2n2

；③

n

1

12

11n

；④

11a

a

；⑤

a

.⑶数列的通项公式与前n项的的关系①a

n1,nn

②

(n2)n

（注：该公式对任意数列都适用）③

an1

n

（注：该公式对任意数列都适用）2.⑴等差列的项式：①一般式：aan*；推广形式：1aaan)；③前项和形式a(n2)（：该公式对任nn意数列都适用）④前n项公式为：n

(a)(n1nna

n

n1d2()2

.第18页共页

．．．1a．．．北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测⑵（*，．．．1a．．．nn2aan*anAnn⑶常性质：①若m+n=p+q，则

an

；特别地：若

a,a

的等差中项，则有2

aanmp成等数列；②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列

a，；③19

列，S为前n项和则

,，Sm2mmmm

差列；④aq,则a

；⑤1+2+3+…

n23.⑴等数通项公式：①一般形式：

aqn

n

a1q

n

(n

*

)

；②推广形式：

，

nm

（视n奇数或偶数等来开方得到的值）③前

n

项和形式

an

n

n

（注：该公式对任意数列都适用）n)qq1,④前n项和公式为：s1，.n,qna,1⑵anq2,nNannnnN*

n⑶常性质①则

an

特别地若

a,a

的等比中项，则有

am

p

n成比数列②比数列间相等的连续等长片断和序列”（如

a,a13456,

列S

为其前n项，则

,m

2

,Sm

3m

2

，

4

3

数（当

q

或者qm不偶时候成设等比数列

{b}n

的前n项为，则，nk

TT2,3kTT2

，T4kT3k

，…成等比数列．§解三角形第19页共页

．．．．．．．．．．．．cbcab．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．北师大版教材（必修．．．．．．．．．．．．cbcab．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1.⑴正定：

acRsinsinBsinC

（为

外接圆的半径也外接圆半径的一种算法asinA,sinBsinC:b:cA

等地号位①

abcsinsinBRa，，bsinBsinCsinsinAsinC

等；

两相边同②

abbRsinABCsinsinsinBCba

等；⑵余定

22

bccos

b

2

2bc

2

;

2

2

2

cos

a

2

2ac

2

;22coscos

a2222

.⑶正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴。解题时注意一种重要关系：在中给角A、B的弦或余弦值则角Acos2.三形内角和定：在△中有

的正弦或余弦有解（即存在）AA)2223.面定理

C

)（）

S

1ahbh（、h、2

分别表示a、、边的高）（）

111Ssinca222(3)

ABC

2Asin2R2sinARsinB

(其

R

为

的外接圆的半径⑷

S

ABC

4R

（为ABC外圆的半径，也是外接圆半径的一种算⑸

S

ABC

12

(其

r

为

的内切圆的半径导内切圆半径的一种算法顺说下直三角形中内切圆的半径r斜边。

a2

其b为条直角边为⑹

p

(其中

p

a2

，海伦公式⑺

S

OAB

12

(|2OA

2

（注意：此时以坐标原点O为一个顶点的三角第20页共页

2．．．．．．．．．．．．．北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测2．．．．．．．．．．．．．形的面积公式

yy12

，则

S

1xy122§不

等

式1.常用不等式：⑴重要不等式：

,b

22

(当仅当a＝b时“”)；⑵均值不等式：

a,R

a2

ab

(当且仅当a＝时“”号)；⑶三角形不等式：①

aba

（对于

时，当

同号时右边取等号，当ab异号时左边等；于ab时，易断号的条件；②aaa（对于ab时，当同号时左边取等号，当异时右边取等号；对于，易判断等号成立的条+）2.极值定理已知x都是正数，则有

“一定二正三相等”“定和最小和积最大”（）积

xy

是定值

，则当

x

时和

x

有最小值

2

；（）和

y

是定值

，则当

x

时积

xy

有最大值

14

s

.推广形式：已知

,，有x

2

(y)

2

2（）积

xy

是定值则

xy

最大时

xy|

最大；当

xy

最小时

xy|

最小（和

是定值则

最大时

|

最小

最小时

xy|

最大3.①一元二次不等式

2

或0)a0,

2

，如果

a

与2

同号，则其解集在两根之外；如果

a

与

2

异号，则其解集在两根之间简之：同号两根外，异号两根.x(xx1222xx,x(x)x121

对于.

的情形“大线小线段”②简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法重因式的处理，奇次重根一次穿过，偶次重根穿而不过。例如：

，如图

-

-

-

从图中易知解集为4.含有绝对值的不等式，当a>0时有

大射线小段x

xa；

2

2

x或x5.①解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|

，

aR

；6.

By或(其中A、B不同为所示的平面区域设直线

l，AxBy或所示平面区域是：若,则用原

试果适合不等式示点在的平面区域就是，是1）试非0试第21页共页

互逆北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测互逆边界的另一区域才是；若，用点

试，方法同上。真值（表1）ｐｑ

选修2-1§常用逻辑用非ｐｐｑｐｑ

语真真假假

真假真假

假假真真

真真真假

真假假假

同真为真同假为假真假相对2.见结论的否定形式（见表2原结论反词

原结论

反设词是

不是

至少有一个

一个也没有都是不是

至多有一个

至少有两个大于不于

至少有

n

个

至多有（

）个小于不于对所有，立存在某立

至多有或q

n

个

至少有（）个对任何

，不成立

存在某

，成立

且

或

四种命题的相互关系如下图所示原命题

互逆

逆命题

交“

若p则

”

互为

否

“q则

换位置互否

互

为

逆

互否

同时否否命题

逆

否

逆否命题

定“

若则

”“

若则

”充要件

一个命题一种形式（）

q

，则说

是

q

的充分条件，同时

q

是

的必要条件

两样说法（）要条件：若q，q，p是q的充要条.另外如条件最终都可化为数范围可转化为集合的包含关系来刻画者辑关系一目了然。设

小充分大必要等要第22页共页

22222北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测①若，是的充分不必要条件；22222②②若

B

,则p

是

q

的必要不充分条件；③若

A

，则

是

q

的充要条件。§空间

向量与

立体

几何空间量的直角坐标运算律（）

aa,)，b)①//aa,3223

；②aaxy。③夹角：

cosa

|

123312

．规：

)④模长公式：

a，|b112

．若

(,,z111

，

(x,y,)22

，如下图，则

x,)1

.的方向向量直线方向向量：我把直线l上向量以与e共线的向量叫做直线l

平面法向量：如果表示向量的向线段所在直线垂直于平面α

i

j则称这个向量垂直于平面α，记作如果n那向量n做平面α的法向量。用向描述空间线面关系间条直线l,l

的方向向量分别为e平面,

的法向量分别为,，由如下结论

空间线面关系

平

行

垂

直l与l

ee

e

l

与

e

e

与

n

n

法向在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角相或互补。法向在求线面角中的应用：第23页共页

．．．．．．．．．．．．2北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测．．．．．．．．．．．．2原理：设平面

的斜线l与平

所的角为

，斜线l与面法量所成角，与互余与的角互余。8.利向求面的小方一转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方）

l

如图：二面角α-l-β的大小为θ，A，∈，C

α，BD

β

DAC⊥，⊥则=<,,DB>

方二先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离后过解直角三角形求角。Pl如右图：已知二面角-l-β在α内取一点POA过P作⊥，及P⊥l,AO，则O⊥立，PO是二面角的平面角用向量可求|A及PO|，然后解三角形PAO求∠AO。

A

B方三转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如右图为面角αβ一，作⊥α，⊥β，则APB与面角的平面角互补。§圆

锥

曲

线

与

方

程1.①椭圆定义：

MF2aFF②

B1

OF

（c

2

，注意

RtFOB11

）③设P是圆上任意一点，且F则1PFPFcos12

.下表是椭圆的标准方程及几何性质。标准方程

2y0)a2第24页共页

2y0)ba

aa12222北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测aa12222分母较大

图形

A

1

F

B1B2

y

F

A

2

x

FF

y

B

1

x者的分子

范围

|x|≤a,|y|≤b≤≤a是谁，焦点就在谁轴上

对称性顶点坐标焦点坐标半长轴焦距、、关系

关于轴、轴轴对称；关于原点成中心对称长半轴椭长为，半轴长为b焦距为c2

离心率

e

ca

ore

1

（1）椭圆

2ya2

焦半径公式：

a2PF()e，a2PF)（）圆的的内外部：

；①点

(,y)0

在椭圆

2yx2y的部0a2a2

；②点

(,y)0

在椭圆

2yx2y的部0a2a2

；⑶椭圆

2y0)与线Axa2

相切的条件是

Aa

2

2b

2

2

.2.①曲线定义：

MFMF2

=2a

2a<|FF2

②

AO1

1

2

11

2

（即2，意，中A、为一象限内的实顶、虚顶点，1点。）③设M是双曲线上任意一点，且1MFcos是曲线上任意一点，有1212

为标原，则有2

（当且仅当点P落顶点时取到等号下表是其标准方程及几何意义。第25页共页

12．．．．．．．．．．．121北师大版教材（必修1～必修5及选修2-1）常用公式及知识点记忆检测12．．．．．．．．