2023届新高考新教材一轮复习人教B版第九章第二节二项式定理与杨辉三角学案

第二节二项式定理与杨辉三角课程标准解读1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.[知识排查·微点淘金]知识点一二项式定理1．二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．2．通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项．3．二项式系数：展开式中第k＋1项的二项式系数为Ceq\o\al(k,n).知识点二二项式系数的性质[微思考](a＋b)n展开式的某项的系数与其对应的二项式系数相同吗？提示：不一定．(a＋b)n展开式的通项是Ceq\o\al(k,n)an－kbk，其二项式系数是Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1…n)，不一定是这一项系数．[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．()(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(链接人B选择性必修第二册P31例3)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．120解析：选B二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.3．(链接人B选择性必修第二册P33T6)化简：Ceq\o\al(1,2n)＋Ceq\o\al(3,2n)＋…＋Ceq\o\al(2n－1,2n)＝________.解析：因为Ceq\o\al(0,2n)＋Ceq\o\al(1,2n)＋Ceq\o\al(2,2n)＋…＋Ceq\o\al(2n,2n)＝22n，所以Ceq\o\al(1,2n)＋Ceq\o\al(3,2n)＋…＋Ceq\o\al(2n－1,2n)＝eq\f(1,2)(Ceq\o\al(0,2n)＋Ceq\o\al(1,2n)＋…＋Ceq\o\al(2n,2n))＝22n－1.答案：22n－14．(混淆项的系数与二项式系数)在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为__________.解析：由题意得2n＝32，所以n＝5，令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.答案：－1一、基础探究点——二项展开式中特定项及系数问题(题组练透)1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,\r(x))))6的展开式中的常数项为()A．－150B．150C．－240D．240解析：选Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,\r(x))))6的二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(x))))k＝Ceq\o\al(k,6)x6－k·(－2)k·x－eq\f(k,2)＝(－2)kCeq\o\al(k,6)x6－eq\f(3,2)k.令6－eq\f(3,2)k＝0，解得k＝4，故所求的常数项为T5＝(－2)4·Ceq\o\al(4,6)＝240.2．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))5的展开式中，x2的系数是________.解析：二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·x5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))r＝Ceq\o\al(r,5)·2r·x5－3r.令5－3r＝2得r＝1.因此，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))5的展开式中，x2的系数为Ceq\o\al(1,5)·21＝10.答案：103．在二项式(eq\r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.解析：由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(eq\r(2))9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，当项为常数项时，r＝0，T1＝Ceq\o\al(0,9)·(eq\r(2))9·x0＝(eq\r(2))9＝16eq\r(2).当项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.答案：16eq\r(2)5求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤：第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．二、综合探究点——二项式系数的性质或各项系数和(师生共研)[典例剖析][例1](1)(2021·合肥模拟)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为()A．－1B．1C．32D．64[解析]选D由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ceq\o\al(2,6)a4b2，x5项的系数为Ceq\o\al(1,6)a5b，则由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(2,6)a4b2＝135，,C\o\al(1,6)a5b＝－18，))解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64.(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝()A．0B．1C．32D．－1[解析]选A由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－x)r＝Ceq\o\al(r,5)(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二项展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.(3)(2021·天津西青区模拟)在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.[解析]二项式中仅x5的系数最大，其最大值必为Ceq\f(n,2)n，即得eq\f(n,2)＝5，解得n＝10.[答案]10赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．[学会用活]1．(2021·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．212解析：选A由题意知Ceq\o\al(4,n)＝Ceq\o\al(6,n)，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.2．(2021·淄博模拟)已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7bA．5B．6C．7D．8解析：选B由题意可知，a＝Ceq\o\al(m,2m)，b＝Ceq\o\al(m,2m＋1)，∵13a＝7b，∴13·eq\f(?2m?！,m！m！)＝7·eq\f(?2m＋1?！,m！?m＋1?！)，即eq\f(13,7)＝eq\f(2m＋1,m＋1)，解得m＝6.三、应用探究点——多项式展开式中特定项、系数问题(多向思维)[典例剖析]思维点1几个多项式和展开式中特定项问题[例2](2021·长沙雅礼中学模拟)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是()A．10B．15C．20D．25[解析]选C含x2项的系数为Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＝20.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．思维点2几个多项式积展开式中特定项问题[例3]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为()A．5B．10C．15D．20[解析]选C因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－ryr，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,5)＝15.故选C.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．思维点3三项展开式中特定项问题[例4](1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为________.[解析]法一：(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝Ceq\o\al(0,5)(1＋2x)5＋Ceq\o\al(1,5)(1＋2x)4(－3x2)＋Ceq\o\al(2,5)(1＋2x)3·(－3x2)2＋…＋Ceq\o\al(5,5)(－3x2)5，所以x5的系数为Ceq\o\al(0,5)Ceq\o\al(5,5)×25＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,4)×23×(－3)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)×2×(－3)2＝92.法二：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为Ceq\o\al(0,5)Ceq\o\al(5,5)×35＋Ceq\o\al(1,5)(－1)Ceq\o\al(4,5)×34＋Ceq\o\al(2,5)(－1)2Ceq\o\al(3,5)×33＋Ceq\o\al(3,5)×(－1)3Ceq\o\al(2,5)×32＋Ceq\o\al(4,5)×(－1)4Ceq\o\al(1,5)×31＋Ceq\o\al(5,5)×(－1)5Ceq\o\al(0,5)×30＝92.[答案]92(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法[学会用活]3．(2021·沧州七校联考)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24解析：选A展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝4＋8＝12.4．(2021·嘉兴联考)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60解析：选C法一：利用二项展开式的通项求解．(