2023考研数四真题及解析

Borntowin2023年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题：此题共6小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)假设，那么a=，b=.(2)设，那么.(3)设，那么.(4)设，，其中为三阶可逆矩阵,那么．(5)设是实正交矩阵，且，，那么线性方程组的解是．(6)设随机变量服从参数为的指数分布,那么.二、选择题：此题共8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)函数在以下哪个区间内有界()(A)(1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).(8)设f(x)在内有定义，且，，那么()(A)必是的第一类间断点. (B)必是的第二类间断点.(C)必是的连续点.(D)在点处的连续性与a的取值有关. (9)设,那么()(A)是的极值点,但不是曲线的拐点.(B)不是的极值点,但是曲线的拐点.(C)是的极值点,且是曲线的拐点.(D)不是的极值点,也不是曲线的拐点.(10)设，，那么() (A)在点不连续. (B)在内连续，但在点不可导. (C)在内可导，且满足. (D)在内可导，但不一定满足. (11)设在上连续，且，那么以下结论中错误的选项是()(A)至少存在一点，使得>. (B)至少存在一点，使得>. (C)至少存在一点，使得. (D)至少存在一点，使得=0. (12)设阶矩阵与等价,那么必有()(A)当时,.(B)当时,.(C)当时,.(D)当时,.(13)设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足,假设,那么等于()(A).(B).(C).(D).(14)设随机变量独立同分布，且其方差为令，那么()(A)Cov((B).(C).(D).三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题总分值8分) 求.(16)(此题总分值8分) 求，其中是由圆和所围成的平面区域(如图).(17)(此题总分值8分) 设f(u,v)具有连续偏导数，且满足.求所满足的一阶微分方程，并求其通解.(18)(此题总分值9分) 设某商品的需求函数为，其中价格，为需求量. (I)求需求量对价格的弹性(>0)； (II)推导(其中为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19)(此题总分值9分) 设，表示夹在轴与曲线之间的面积.对任何，表示矩形，的面积.求 (I)=的表达式； (II)的最小值.(20)(此题总分值13分)设线性方程组是该方程组的一个解，试求(I)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的根底解系表示全部解；(II)该方程组满足的全部解．(21)(此题总分值13分)设三阶实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值．假设,,,都是的属于特征值6的特征向量．(I)求的另一特征值和对应的特征向量；(II)求矩阵．(22)(此题总分值13分)设,为两个随机事件,且,,,令求：(I)二维随机变量的概率分布;(II)与的相关系数;(III)的概率分布.(23)(此题总分值13分)设随机变量在区间内服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求(I)随机变量和的联合概率密度；(II)的概率密度；(III)概率．2023年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】此题属于极限求参数的反问题.方法1：根据结论：＝，(1)假设，那么；(2)假设，且，那么因为，且，所以(否那么根据上述结论(2)给极限是0，而不是5)，由得a=1.极限化，得b=4.因此，a=1，b=4.方法2：由极限与无穷小的关系，有，其中，解出上式两端求极限，把a=1代入，再求，，两端同时对取极限，得因此，a=1，b=4.(2)【答案】.【详解】因为由，得，所以，所以.(3)【答案】【详解】方法1：作积分变换，令，那么所以＝.(也可直接推出，因为积分区间对称，被积函数是关于是奇函数，那么积分值为零)方法2：先写出的表达式即：所以.(4)【答案】【详解】因为，为对角阵，故有所以所以.(5)【答案】【详解】方法1：设，是正交矩阵，故的每个行(列)向量都是单位向量所以有，，得故，又由正交矩阵的定义知是可逆矩阵，且.那么，有唯一解.方法2：同方法1，求得的正交阵为是正交阵，由正交矩阵的性质可知，不等于零，故，即有，那么原方程为解得，即方程组有唯一解.(其中，由及齐次线性方程组只有零解的充要条件是，可知，方程组只有零解，故.进而的解为.)(6)【答案】【详解】此题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.指数分布的概率密度为，其方差.于是，由一维概率计算公式，，有==二、选择题(7)【答案】(A)【详解】方法1：如果在内连续，且极限与存在，那么函数在内有界.当x0,1,2时连续，而，，，，，所以，函数f(x)在(1,0)内有界，应选(A).方法2：因为存在，根据函数极限的局部有界性，所以存在，在区间上有界，又如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么f(x)在闭区间[a,b]上有界，根据题设在上连续，故在区间上有界，所以在区间上有界，选(A).(8)【答案】(D)【详解】考查极限是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通过换元，可将极限转化为.因为=a，又，所以，当时，，即在点处连续，当时，，即是的第一类间断点，因此，在点处的连续性与的取值有关，应选(D).(9)【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决,令，那么，是以直线为对称轴，顶点坐标为，开口向上的一条抛物线，与轴相交的两点坐标为，的图形如图.点是极小值点；又在点左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点是拐点，选C.方法2：写出的分段表达式：,从而,,，所以时，单调增，，所以时，单调减，所以为极小值点.当时,，为凹函数；当时,，为凸函数,于是为拐点.(10)【答案】(B)【详解】先求分段函数的变限积分，再讨论函数的连续性与可导性即可.方法1：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理：设在上除点外连续，且为的跳跃间断点，又设，那么(1)在上必连续；(2)，当，但；(3)必不存在，并且直接利用上述结论，这里的，即可得出选项(B)正确.方法2：当时，；当时，，当时，.即，显然，在内连续，排除选项(A)，又，，所以在点不可导.应选(B).(11)【答案】(D)【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项.方法1：举例说明(D)是错误的.例：，.但在上.方法2：证明(A)、(B)、(C)正确.由在上连续，且，那么由介值定理，至少存在一点，使得，所以选项(C)正确；另外，由导数的定义，根据极限的保号性，至少存在一点使得，即，所以选项(A)正确.同理，，根据极限的保号性，至少存在一点使得.所以选项(B)正确，应选(D).(12)【答案】(D)【详解】方法1：矩阵等价的充分必要条件：矩阵与等价,是同型矩阵且有相同的秩,故由与等价，知与有相同的秩.因此，当时,,那么有,即,应选(D).方法2：矩阵等价的充分必要条件：与等价存在可逆，使得.两边取行列式，由矩阵乘积的行列式等于行列式的积，得.可逆，由矩阵可逆的充分必要条件：，故，但不知具体数值.由，知时，不能确定.但有.故应选(D).方法3：由经过假设干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：(1)中某两行(列)互换得，那么.(2)中某行(列)乘得，那么.(3)中某行倍加到另一行得，那么.又由与等价，由矩阵等价的定义：矩阵经有限次初等变换变成矩阵，那么称与等价，知故当时，，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但，那么，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行列式值的非零性，即假设，假设.故应选(D).(13)【答案】(C)【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何有.或直接利用图形求解.方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，，于是即有，可见根据分位点的定义有，故应选(C).方法2：OOOO图一图二如图一所示题设条件.图二显示中间阴影局部面积，.两端各余面积，所以，答案应选(C).(14)【答案】A.【详解】由于随机变量独立同分布，所以必有：又下面求和.而故此题的关键是将中的别离出来，再用独立性来计算.对于选项(A)：所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算.可以看此题(C),(D)选项.因为与独立时，有.所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：=，=所以此题选(A)三、解答题(15)【详解】求“〞型极限的首要步骤是通分，或者同乘、除以某一式以化简..(16)【详解】利用对称性与极坐标计算.方法1：令，根据二重积分的极坐标变换：，那么：化为极坐标：所以；化为极坐标：所以所以区域关于轴对称，中被积函数为的奇函数，根据区域对称性与被积函数的奇偶性：设在有界闭区域上连续，假设关于轴对称，对为奇函数，那么，所以所以.方法2：.(17)【详解】求复合函数的偏导数，求一阶线性微分方程的解方法1：由，两边对求导有，，即，那么.因此，满足下述一阶微分方程为.由一阶线性微分方程通解公式：这里，代入上式得：(为任意常数).方法2：由有(1)满足(2)这是一个偏微分方程，当时(2)式变为以(1)代入，有，即，化简得，由通解公式得(为任意常数).(18)【详解】(I)由于需求量对价格的弹性>0，所以；(II)由，得要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加，即收益为价格的减函数，，即证，换算成为，解之得：，又，所以，此时收益随价格降低反而增加.(19)【详解】当时，，所以，同理：当时，，所以，所以是关于轴对称的偶函数.又，，所以轴与曲线围成一无界区域，面积可用广义积分表示.图形如下：(I)表示矩形，的面积，所以，因此，.(II)由于，令，得的唯一驻点为，又，，所以为极小值，它也是最小值.(20)【详解】是该方程组的一个解，故可将代入方程组，有解得．代入原方程，并对方程组的增广矩阵施以初等行变换,得当时，有，故.定理：设是矩阵，方程组，那么，(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解：，故方程组有无穷多解.所以，该方程组有无穷多解，对应的齐次线性方程组同解方程组为由于此方程组的系数矩阵的秩为3，那么根底解系的个数为，故有1个自由未知量.选为自由未知量，取，得方程组的根底解系为，取非齐次方程的一个特解为，故方程组的全部解为(为任意常数)．当时，有，可知，，所以该方程组有无穷多解，对应的齐次线性方程组的同解方程组为那么根底解系的个数为2，故有2个自由未知量.选为自由未知量，将两组值：代入，得方程组的根底解系为，，取非齐次方程的一个特解为，故方程组的全部解为(为任意常数)．当时，方程组的通解为假设，即得，故原方程组满足条件的全部解为.当时，方程组的通解为=假设，即，得，代入通解，得满足条件的全部解为(21)【分析】由矩阵的秩为2,立即可得的另一特征值为0.再由实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交可得相应的特征向量,此时矩阵也立即可得.【详解】的秩为2，于是，所以，因此的另一特征值．特征值的性质：假设是矩阵的重特征值，那么矩阵属于的线性无关的特征向量的个数不超过个又是的二重特征值，故的属于特征值6的线性无关的特征向量个数.因此必线性相关.由题设知，为的属于特征值6的线性无关的两个特征向量.定理：实对称矩阵对应与不同特征值的特征向量是正交的.设所对应的特征向量为,所以，，，即那么根底解系的个数为，故有个自由未知量.选为自由未知量，取得方程组的根底解系为，故的属于特征值全部特征向量为(为任意不为零的常数)．令矩阵，求那么，，所以．(22)【分析】此题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比拟好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。先确定的可能取值，再求在每一个