苏教版选择性必修第二册6.3.3空间角的计算作业(2)2

【精选】6.3.3空间角的计算-1同步练习一．单项选择1．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（）A． B． C． D．2．正方体中，为中点，则直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．3．在三棱锥中，，，面，，，分别为，，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．4．如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为A. B. C. D.5．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（）A． B． C．- D．6．已知向量，若，则（）．A. B. C. D.7．如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为（）A． B． C． D．8．若=（4，2，3）是直线l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是A．垂直 B．平行C．直线l在平面α内 D．相交但不垂直9．在正方体中，点E，F分别是棱上的动点，且.当三棱锥的体积取得最大值时，记二面角．．平面角分别为，，，则（）A. B. C. D.10．若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（）A． B． C． D．A．C都有可能11．如图，在几何体中，为正三角形，，平面，若是棱的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B．C． D．12．如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）A．2B．C．D．13．当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是（）A． B． C． D．14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A． B． C． D．15．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A． B．C． D．16．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（）A． B． C．或 D．17．在边长为的正方体中，异面直线与所成角的大小为()A. B. C. D.18．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．

参考答案与试题解析1．【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，先求得向量的夹角的余弦值，即可得到异面直线所成角的余弦值，得到答案.【详解】分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，可得,所以，所以，所以异面直线和所成的角的余弦值为，所以异面直线和所成的角为，故选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．【答案】D【解析】以为坐标原点，分别以为轴．轴．轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，表示出与，求两向量夹角余弦值，即可得出结果.【详解】如图，以为坐标原点，分别以为轴．轴．轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，记直线与所成角为，则.故选D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，熟记空间向量的方法求解即可，属于常考题型.3．【答案】B【解析】由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.【详解】∵∴，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴，设，则，∵，∴，解得∴∴，∴异面直线与所成角的余弦值为故选：B【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．4．【答案】B【解析】建立以点为坐标原点，．．所在直线分别为轴．轴．轴的空间直角坐标系，设点，利用，转化为，得出，利用空间向量法求出的表达式，并将代入的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出的最大值。【详解】如下图所示，以点为坐标原点，．．所在直线分别为轴．轴．轴建立空间直角坐标系，则．．，设点，则，，，，，则，得，平面的一个法向量为，所以，，当时，取最大值，此时，也取最大值，且，此时，，因此，，故选：B。【点睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题。5．【答案】D【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．【详解】直三棱柱中，，，为的中点．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，设异面直线与所成角为，则．异面直线与所成角的余弦值为．故选：．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【答案】B【解析】先求得，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得的值.【详解】因为，，且，所以，解得．故选：B.【点睛】本小题主要考查向量加法．减法和数乘的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，考查方程的思想，属于基础题.7．【答案】B【解析】建立以点为坐标原点，．．所在直线分别为轴．轴．轴的空间直角坐标系，设点，利用，转化为，得出，利用空间向量法求出的表达式，并将代入的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出的最大值。【详解】如下图所示，以点为坐标原点，．．所在直线分别为轴．轴．轴建立空间直角坐标系，则．．，设点，则，，，，，则，得，平面的一个法向量为，所以，，当时，取最大值，此时，也取最大值，且，此时，，因此，，故选：B。【点睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题。8．【答案】D【解析】判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系．【详解】显然与不平行，因此直线与平面不垂直，又，即与不垂直，从而直线与平面不平行，故直线与平面相交但不垂直．故选D．【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系．9．【答案】A【解析】根据题意，设正方体的棱长为2，当三棱锥的体积取得最大值时，即底面积最大时，推得点E，F在棱上的位置，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立坐标系，利用向量法计算出，，的余弦值，即可得出答案。【详解】如图所示，设正方体的棱长为，线段的长为x,,底面积,当三棱锥的体积取得最大值时，即底面积最大时,此时。以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立坐标系，则，可得设面的法向量为，面的法向量为，面的法向量为，面的法向量为，则可得，，，，由图可知，，，均为锐角，则，同理可得，得，所以，故答案选：A。【点睛】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用。10．【答案】B【解析】直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为，可得，即可判断出结论。【详解】解:直线的一个方向向量为，平面α的一个法向量为则，，故选：B。【点睛】本题考查了向量的共线定理，属于基础题。11．【答案】C【解析】以C为原点，在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AC1所成角的余弦值【详解】以C为原点，在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝AA1＝CC1＝2BB1＝2，则A1（，1，2），A（），C1（0，0，2），B1（0，2，1），E（0，1，），（，0，），（，﹣1，2），设异面直线A1E与AC1所成角为θ，则cosθ．∴异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．【答案】D【解析】将翻折到与四边形同一平面内，的最小值为，在中，由余弦定理可得考点：1.翻折问题；2.空间距离13．【答案】B【解析】以为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BP与AD1所成角的取值范围．【详解】以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则，，设，则，，，故，对于函数，有：，，故，又，故.故选.【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查异面直线所成角的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．【答案】C【解析】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.15．【答案】C【解析】根据题意，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由，即可求得平面的法向量，而在上的投影即为点到面的距离，即可求得结果【详解】以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，则，,，，为的中点，则，，设平面的法向量为，则，即可得可取点到面的距离为故选【点睛】本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。16．【答案】C【解析】根据已知中两个平面法向量的夹角，代入向量夹角公式，可以求出两个向量的夹角，进而根据两平面所成的二面角与相等或互补，得到答案．【详解】∵两平面的法向量分别为则两平面所成的二面角与相等或互补故.故两平面所成的二面角为45°或135°故选：C．【点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中一定要注意两平面所成的二面角与相等或互补．属