2023年四川省巴中市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年四川省巴中市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.A.A.

B.

C.

D.

3.

4.微分方程y"-y'=0的通解为()。A.

B.

C.

D.

5.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

6.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

7.A.1B.0C.2D.1/2

8.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

9.

A.

B.1

C.2

D.＋∞

10.A.(－5，5)B.(－∞，0)C.(0，+∞)D.(－∞，+∞)

11.

12.设函数y=(2+x)3，则y'=

A.(2+x)2

B.3(2+x)2

C.(2+x)4

D.3(2+x)4

13.

14.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

15.

16.A.f(2x)

B.2f(x)

C.f(-2x)

D.-2f(x)

17.A.A.

B.

C.

D.

18.一端固定，一端为弹性支撑的压杆，如图所示，其长度系数的范围为()。

A.μ<0.7B.μ>2C.0.7<μ<2D.不能确定

19.

20.f(x)在[a，b]上可导是f(x)在[a，b]上可积的()。

A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.无关条件

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.设，将此积分化为极坐标系下的积分，此时I=______.

27.

28.

29.设区域D由y轴，y=x，y=1所围成，则．

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.

42.

43.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

44.求微分方程的通解．

45.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

48.

49.

50.证明：

51.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

52.

53.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

54.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

55.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

56.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

57.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

58.

59.

60.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答题(10题)61.设z=z(x，y)由x2+2y2+3z2+yz=1确定，求

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.已知∫f(ex)dx=e2x，则f(x)=________。

六、解答题(0题)72.设存在，求f(x)．

参考答案

1.D

2.A

3.C

4.B本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。微分方程为y"-y'=0特征方程为r2-r=0特征根为r1=1，r2=0方程的通解为y=C1ex+c2可知应选B。

5.C

6.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

7.C

8.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

9.C

10.C本题考查的知识点为判定函数的单调性。

11.D解析：

12.B本题考查了复合函数求导的知识点。因为y=(2+x)3，所以y'=3(2+x)2·(2+x)'=3(2+x)2.

13.D解析：

14.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

15.A

16.A由可变上限积分求导公式可知因此选A．

17.A

18.D

19.D

20.B∵可导一定连续，连续一定可积；反之不一定。∴可导是可积的充分条件

21.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

22.

23.

24.

本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。

25.0

本题考查的知识点为无穷小量的性质．

26.

27.π/8

28.

29.1/2本题考查的知识点为计算二重积分．其积分区域如图1-2阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1由二重积分的几何意义可知表示积分区域D的面积，而区域D为等腰直角三角形，面积为1/2，因此．

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正向看，入口曲线为y=x，作为积分下限；出口曲线为y=1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x=0，最大值为x=1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对Y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积分下限；出口曲线为x=y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y=0，最大值为y=1，因此

0≤y≤1．

可得知

30.3

31.

32.1．

本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义．

由于f(1)=2，可知

33.

34.

35.2

36.

本题考查的知识点为：参数方程形式的函数求导．

37.00解析：

38.1

39.

40.

41.

42.由一阶线性微分方程通解公式有

43.

44.

45.由等价无穷小量的定义可知

46.

47.

48.

49.

50.

51.函数的定义域为

注意

52.

53.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

54.由二重积分物理意义知

55.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

56.

列表：

说明

57.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

58.

则

59.

60.

61.

62.

63.(11/3)(1,1/3)解析：

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.∫f(ex)dx=e2x两边对x求导(∫f(ex)dx)"=(e2x)"∴f(ex)=2e2x一2(ex)2∴f(x)一2x2

∴f"(x)=4x∫f(ex)dx=e2x,两边对x求导(∫f(ex)dx)"=(e2x)"∴f(ex)=2e2x一