2023年高考数学一轮复习重难点专题突破：专题02 函数的综合应用（解析版）

专题02函数的综合应用

【考点预测】

高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与

不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌

握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突

破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式

（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、

对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导

公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法

则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

【题型归纳目录】

题型一：函数与数列的综合

题型二：函数与不等式的综合

题型三：函数中的创新题

【典例例题】

题型一：函数与数列的综合

例1.（2022・浙江・效实中学模拟预测）已知数列｛4｝满足6=1,e*=2-六

其中e是自然对数的底数，则（）

C111

A.0<生022<-----------B.----<。2022<-------------

20224043404320222022

C•2022<""22<1D.1V。2022<2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用不等式e'Nx+l可得2-一二>4川+1,即一L-’AI,由累加法可得见<，,利用不

4+1«,1+1%n

等式>1可得c2——l—i<-——，即--1---1--<c2,同理用累力口法可得%>丁二1，则

1-xan+\l-a„+1a„tla„2n-\

-^—<an<-,即可求解.

2n-\n

【详解】

（当x=0时等号成立），...e"”-%+1,

当a”>0时，e""，=2--------->1=>«„+|>0,即4=1>Ona“>0,

+।

则e""8+l,"=2一六…1,

1

整理得即一->1

%+1%an

11,11,

即------>1,---------->1,L-L>i,

a24a3a2an%

11.11

将〃个不等式相加得------即一>n,an<-f

44ann

令〃x)=ev(l-x)-l,则/'(x)=-疣)

当为<0时，/'（力>0,当x<0时，/'（力<0,

则/（X）在（-8,0）上单调递增，在（0,+巧上单调递减，即/（X）在元=0出取得最大值,

/（x）<（0）=0,所以e"（l—x）—lW0（当1=0时等号成立），

当x<1时，ex<-—（当x=0时等号成立）,

1-x

—!—,2———<—?—,1-1

即当〃>1时,----<

1一a〃+i。〃+11一。“+1。〃+1---1一。“+1

4<%Cl.,+11—.11.

,」一>——,即-------<2,

。”+11一《向%〃，山。向凡

同理利用累加法可得/?2（1）,即“贵

所以七r1I11

则----<0)0”<------------

4043--2022

故选：B.

例2.（2022•辽宁•东北育才学校二模）已知数列｛4｝满足0<q<0.5，。向=%+ln（2—%）,

则下列说法正确的是（）

A.0<“2022<。,5B.0.5<“2022<1

<15

C.1<«2022-D.1.5<a2022<2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用lnx4x-l可得%<1,且数列｛《,｝是单调递增数列，得出0<%<1,利用导数可得

g（x）=x+ln（2-x）,0<x<l在（0,1）单调递增，即可得出当”>1时，In2<<1,即

可求解.

【详解】

令/（x）=lnx-x+l,x>0,则/=~,

由/'（x）>0得0<x<l,由/'（x）<0得x>l,

所以f（x）在（0,1）单调递增，在（I,”）单调递减，所以，（x）W〃l）=0,

所以In尤工了一1,

所以4+1=%+1*2-4,）4%+（2-4-1）=1,当且仅当。“=1时等号成立,与已知矛盾，所

以为<1,

则qM-4,=ln（2—%）>lnl=0,所以数列｛%｝是单调递增数列，所以0<%<1,

令8（%）=*+111（2-%）,0<%<1,则8'（%）=1+—5—>0,

所以g（x）在（0,1）单调递增，则a2=g（4）>g（0）=ln2,

所以当〃>1时，ln2v4<l,因为ln2>0.5,所以。.5<。〃<1,所以0.5</022<L

故选：B.

例浙江绍兴•模拟预测）已知数列｛《,｝满足则下列

3.（2022・4=,，a„tl+cosa„-y=0,

说法正确的是（）

A〈五兀

-一—B.a+[-—1

A・«„+1〃+12"2

2&nrr_24

rC-%--------4.4彳一。2D.%——a>--\

万2兀n2

【答案】D

【解析】

【分析】

将已知等式化为根据〃x）=x-sinx的单调性和"0）=0,可得

凶讣inx|,由此可化简得到74a“4子；分别构造函数g1（xb^-cosx-x、

g,（x）=g-cosx-《f、g3（x）=^-cosx-^^x和g4（x）=g-cosx-2x,利用导数可求

2227i27t

得各个函数在上的单调性，进而根据单调性得到最值，从而判断出各个选项的正误.

【详解】

71cn.(

・・・+cosq一,=0,an+l--=-cosan=sm\an--\f

令〃x)=x-sinx,则/r(x)=l-cosx>0,

丁•/(x)在R上单调递增,又/⑼=0,|乂讣in4

1/兀兀i/1,7i37r

an~a\~~=—>l解lT得：~7~an-~T；

乙乙〜4q

71

对于A，。向an=~~COSan~an，

令gi(X)=万-cosx-x,则^(x)=sinx-l<0,/.g1(x)在R上单调递减,

7--T1(a")-=T-7,人错误；

乃

c1a2-COS6r1a,2t9

对于B,an+l~~n=-/,~2

2则

4-g2(x)=y-cosx--x,g；(x)=sinx_x,

令〃(x)=g<x),则〃(x)=cosx-lW0,

.•・g；(x)在R上单调递减，又g；(O)=O,

当x«-oo,0)时,g；(x)>0；当xw(0,+oo)时，g；(x)<0；

.•.g2(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

,•54可4,，.,当(%)4g2任[=]_#_金<]_1，B错误;

说千「2&冗2&

对]C，an+l--------atJ=--cosan---------%，

7C2冗

g(x)="-cosx-x,贝ljg；(x)=sinx—»

327T71

令=g；(x),则//(x)=cosX,

当xe卜寸，/77(x)>0；当X€(g,q时，w(%)<()；

••・g；(x)在?,£|上单调递增，在(与今上单调递减，

又噩"逑>0,g伯邛一丝<0,g；图邛一也<0,

\2Jn[4J2n14J2n

'‘,叫e仔身，叫侍专)使得*a)=g((电)=0,

・•$(同在%),12年上单调递增，在(不㈤上单调递减，

-'-gG)>&(方)=5一&''■'',"^a"efX|,T),使得83(。")>^_应'c错误;

,..„2_7t2

对于D,a—a=—-cosaa,

n+[71n2n7Cn

122

令g4(x)=w_cosx——x,则g；(x)=sinx——,

27171

当时，

xe—sinxe1],.,.sinX——>0,B|Jg'4(x)>0,

rr34

・•・&(x)在-，Y上单调递增，

%/“3万与W-'D正确

•••・,—，.•.心

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用导数求解函数最值的问题，解题关键是能够根据N耳sinR的特

点，构造不等式求得应的取值范围，进而可以通过构造函数的方式，将问题转化为函数最

值的求解问题，从而利用导数来进行求解.

例4.(2022・浙江・慈溪中学模拟预测)已知数列｛《,｝满足：q=-g,且a.=ln(a.+l)-sin%,

则下列关于数列｛《,｝的叙述正确的是()

.]。22

；°

A.an>a„+1B.<--C.%+i>-“D.a„<--^

【答案】D

【解析】

【分析】

构造函数"x)=ln(x+l)—sinx(-g4x<0),由导数确定其单调性，从而利用数学归纳法

证明一;Wa“<0,然后构造函数g(x)=/(x)-x=ln(x+l)—sinx—x(-1<x<0),利用导

数证明g(x)>0,得f(x)>x,利用此不等式可直接判断A,对选项B,由数列｛4｝的单调

性与有界性知其极限存在，设［哩4=同，对数列的递推关系求极俏.川.得A=0,从而判断B,

对选项C,引入函数设p(x)=ln(x+l)-2)(-1<］<0),由导数证明p(x)〈0,得

x+2

9r

ln(x4-l)<--(-l<x<0),从而利用不等式性质得出数列｛”“｝的不等关系，判断C,利用

x+2

判断选项C所得正确不等式变形，并换元引入新数列6“=-工，得｛4｝前后项关系(求对数

a”

再变化)，类比等比数列的通项公式的方法得出结论后判断D.

【详解】

首先我们证明：利用数学归纳法.

事实上，当〃=1时，—

假设当〃=%时，则当”=&+1时，=ln(4+l)-sina*.

设函数/(x)=ln(x+l)—sinx(-LwxvO),IJIiJ/'(%)=———cosx>0,则f(x)在一；,0)上

2x+1_2J

单调递增，

从而-gwln；+sin；=f(-；)44“=/(4)<f(O)=O.

当-;时，设g(x)=〃x)-x=ln(x+l)-sinx-x(-^<x<0),

贝！Jg'(x)=cosx-1,设h(x)=g'(x)=----cosx-1,

x+1x+l

〃(x)=一厂」77+sinx<0,则g'(x)在匚,0)上单调递减，又gf-；］>0,g，(0)<0,

所以存在与e(-；,0),使得g'(x())=0,时，g'(x)>0,x0<x<Og>f,g'(x)<0,

故g(x)在-g,。)上先增后减，从而g(x)>min*(0)《-)｝=0,从而f(x)>x.

对于A选项：由于-gwa.cO,all+l=In(a„+1)-sinan>an,故数列｛%｝单调递增，选项A

错误.

对于B选项，由于｛4｝单调递增且从而:师q=A存在，由

。"+1=ln(a“+l)—sina”>q,可得A=ln(A+l)-sin4,故A=0,从而!则q=°.故选项B

错误.

对于C选项，山于-IvxvO时,

2x14Y2

设PM=ln(x+l)-----(-1<x<0),p'(x)=-------------=-----:-----7>0,

"x+2x+1a+2)2(x+l)(x+2)2

所以P。)是增函数，〃(x)vp(0)=0,所以ln(x+l)<—(-l<x<0),

0<xvl时，x>sinx,因此有sinx>x(1<x<0),

Oy_y2—CT

从而/(x)=ln(x+l)-sinx<—^-x=——-,故=In(a〃+1)_sina“v(，故选项C

错误.

2]12]

对于D选项，由于4+i<—&■<(),即。>>-------£,令〃=---,则一"+|>4一2外，

。〃+2%4%

BPbll+]<2^-bn<lb；~bn^=l[bn-,其中2工勿<。向，故

In/?ZJ+1<】n2+21n(0〃一；)<ln2+21n〃,，从而ln/??+l+ln2<2(lnZ??+ln2),即

Inbn+ln2<2"-'(In瓦+In2),2bn<4*,即一『<广,’，故为<-产r.从而选项D正确.

故选：D.

【点睛】

难点点睛：本题考查数列的性质，难度很大，解题难点在于有关数列的不等关系，一是用数

学归纳法进行证明，二是需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关

系，考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题.

例5.(2022•辽宁•二模)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，满足

sin(4—l)+2q-5=0,sin(a,-1)+2%+1=0,则下列结论正确的是()

A.5h=1l,a3<«,B.S„=1l,a3>a,

C.51|=22,〃3<“9D.51|=22,%>“9

【答案】B

【解析】

【分析】

把己知等式变形为sin(4—l)+2(4-l)-3=0,sin(l—%)+2(1-％)-3=0,构造函数

/(x)=sinx+2x-3|可知％-1和1-%是函数“X)的零点，故利用导数研究其“X)单调性

并研究其零点，结合函数零点存在性定理求得4，%的关系，再利用等差数列的性质与求和

公式即可求解.

【详解】

sin(4-l)+24Z3-5=0,sin(a)-l)+2^+l=0

sin(a,-1)+2(03-1)-3=0,sin(l-a9)+2(l-a,)-3=0

令=sinx+2x-3,即a,-1和1-是函数/(x)的零点

V/,(x)=cosx+2>0,故/(x)最多有个零点

dy-1=1—%,/.%+%=2

.C_ll(a1+all)_ll(«3+a9)_

"22

又•:/(l)=sinl-l<0,/(2)=sin2+l>0,

；・1V%-1=1—%V2,

/.2<a3<3,-1<a9<0,/.a3>a9.

故选：B

例6.(2022•上海•高三专题练习)若等差数列｛4｝的公差d<0,令函数

£(x)=k-q|+4，g(x)=min｛"x),…力(必，(其中i=1,2,…%则下列四个结论中：①

g(x)=fn(x);@g(x+d)=g(x)+d-③力(x+d)=£_|(x)+d；④gmax⑶=4；⑤gmm(X)=a”;

错误的序号是.

【答案】②④

【解析】

【分析】

不妨取4=-1/=-1,则£(x)=k+i|-i过原点，且y=E,(x)在最下方，根据性质逐项判定，

即可求解，得到答案.

【详解】

不妨取4=-1/=-1,则/(x)=k+i|—i过原点，且y=4(x)在最下方，

可得①中，函数g(x)=£(x)是正确的；

②中，g(x+d)=fn(x-l)=\x-\+r^-n,g(x)+d=|X+H|-/7-1,

所以g(x+d)wg(x)+d,所以不正确；

③中，£(%+1)=/(》_1)=卜_1+〃|_”,九(犬)+1=卜+〃_1|_(〃_1)_]=卜_1+〃|_〃，

所以力(x+d)=_CG)+d,所以是正确的；

④中，由g(X)=3(X)=|x+“|-〃,函数g(x)无最大值,所以gmax(X)=q不正确；

⑤中，函数((x)=k+〃|-〃，所以当x=f时，函数力(x)取得最小值-"=4,,

即函数gmin(X)=”“，所以是正确的.

故答案为：②④.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质，以及函数的基本行性质的应用，其中解答中认真审题，合

理利用题设条件，构造新函数，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的

能力，属于中档试题.

【方法技巧与总结】

利用函数与数列知识的相互联系、相似性质：

(1)抽象函数的关系与数列递推关系式类似.

(2)函数单调性与数列单调性的相似性.

(3)数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不

等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.

题型二：函数与不等式的综合

例7.(2022•全国•模拟预测)已知函数“X)是定义域为R的函数，/(2+x)+/(-x)=0,

对任意玉，X,G[1,+OO)(x,<x2),均有-/(玉)>0,已知a,6(awA)为关于x的方程

f一2x+产一3=0的两个解，则关于，的不等式〃。)+/他)+/。)>0的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】

【分析】

由题可得函数f(x)关于点(1,0)对称，函数f(x)在R上单调递增，进而可得〃。>0=/(1),

利用函数的单调性即得.

【详解】

由〃2+x)+/(r)=0,得/(1)=0且函数/(x)关于点。,0)对称.

由对任意X],丑e[l,+OO)(一<々)，均有/(w)-八%)〉。，

可知函数/(X)在[1,+«>)上单调递增.

又因为函数“X)的定义域为R，

所以函数“X)在R上单调递增.

因为a,为关于X的方程产-2*+/_3=0的两个解，

所以4=4-4(产-3)>0,解得一2</<2,

且。+〃=2,即6=2-

又〃2+X)+/(T)=0,

令x=-。，则〃。)+/(力)=0,

则由f(a)+fe)+刖>0,得“。>0=〃1)，

所以，>1.

综上，f的取值范围是(1,2).

故选：D.

|ln(x-1)1,1<x<3

例8.(2022•海南•模拟预测)已知函数，幻=也।，若关于x的不等式

X+W7</(X)<X+"?+l有且仅有两个整数解，则m的取值范围是.

【答案】13+ln2,-2)

【解析】

【分析】

令g(x)=/(x)-x,讨论g(x)的单调性，分析画出函数的图象，由+l可知

-3+ln2<m<-2.

【详解】

关于x的不等式》+机</。)<》+机+1有且仅有两个整数解，转化为，*<机+1有

—3x—2,x40

..,、x-2,0<x<I

且仅有两个整数解，令g(x)“(x)-x=5(7』］<皿,

ln(x-l)-x,2<x<3

11_rI19—r

当2<x43,g(x)=ln(x-l)-x,g，(x)=---1=——=―7<0,所以8(X)在(2,3］上

X-1x-1x-1

单调递减，同理已知g(x)在(F,0］,。,2］上单调递减，在(0,1］上单调递增，且

g(0)=—2,g⑴=—l,g(2)=—2,g⑶=加2—3,g(x)的图象如下图，而y=",y=，〃+i的距离

为1,即在y=〃z,y=w+l之间有且仅有两个整数解，所以-3+ln24m<-2,则m的取值范

围是：［-3+In2,-2).

故答案为：［-3+In2,-2).

例9.（2022•全国高三专题练习）不等式（x2-1）'°"+X2002+2X2-1<0的解集为：

【答案】一冬孝

【解析】

【分析】

将不等式化为构造尤根据其单调性可得

x2<l-x2,求解即可.

【详解】

不等式变形为卜2_-1+,f40,

所以（巧皿+f4（1一灯°”+1-2,

令〃则有了12）4/（1-丁）显然/*）在R上单调递增，

则4-2,可得心上解得-变4》4巫.

222

故不等式的解集为一当当.

故答案为：--看v

例10.（2022.四川遂宁.三模（文））德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19

岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，

在其年幼时，对1+2+3+L+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所

给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数

/3=/行，设数列&｝满足/="))+/(3+/(2)+…+/(巴士)+")(〃€.),若存在

2+。2nnn

“6代*使不等式"+4”一2•“+2740成立，则左的取值范围是.

【答案】［-彳49，田)、

【解析】

【分析】

根据题意先求/(x)+/(l-x),然后利用倒序相加法求4,则由"+4”一2切“+2740可得

.n+4n+27(〃+1)~+2("+1)+24.24.....八24日...—

k>-----------------=-——-——-——-------=(〃+1)+——+2,求出(〃+1)+―；+2的最小值即Hn可r

n+\M+1n+\n+\

求得％的取值范围

【详解】

2'

因为/(X)=；^—7=,

2,+V2

由.乙、」「八、2,212'2TV2_,

J力以f(X)+f(1-X)=-------尸4------------尸=----尸4--------尸=----尸Hj--------尸=1,

2x+yf22l~x+722*+近2+&22、+应2、应

由。〃=/(。)+/(—)+于(一)---------1~/(---------)+/(D5£N"),

nnn

n—1H—21

«„=/(1)+/(-)+/(-)+-••+/(-)+/(0),

nnn

〃+1

所以2。,=〃+1,所以

/7-4-1

所以由川+4及一23〃+27«0,得〃2+4〃-2匕-^-+2740,

"+4〃-k(n+1)+27<0,

/+4〃+27Kk(n+1),

匕匚+4〃+27(〃+1)2+2(〃+1)+2424*

所以女之----------="——-——-——-----=(〃+1)+——+2,

〃+1〃+171+1

24

令g(x)=(x+l)+-(XGN*)则当0cx<2"-1,g(x)递减，当X>2#-1时，g(x)递

X+1

增，

244924

因为g(4)=5+二-==,g(3)=4+：~=10,

554

所以g(X)min=g(4)=彳

所以&2;+2=手，

即上的取值范围是［「彳49，+8、)

故答案为：£，+8)

【方法技巧与总结】

不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想,

并能用函数的图像及性质解答.

题型三：函数中的创新题

例11.(2022•全国•高三专题练习)定义两个函数的关系：函数制x),〃(x)的定义域分别为AB,

若对任意的占WA,总存在“2eB,使得皿阳)="(々)，我们就称函数镇(X)为”(存的”子函

数已知函数/(x)=Jx+1-二坨2,g(x)=x4+ax3+bx2+ax+3,a,h&R.

43

(1)求函数〃x)的单调区间；

(2)若/(x)为g(x)的一个“子函数”，求/+万2的最小值.

4

【答案】(1)单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,y),(2)j-.

【解析】

【分析】

(1)求导，令/'(x)>0,可得/(x)的单调递增区间；令/。)<0,可得〃x)的单调递减

区间；

(2)根据“X)的单调性求出“X)的取值范围，进而得到g(x)min<2,即g(x)=2有实数解，

从而得至Ur+办+人+。—।—7=0，令/UXH—€(—℃,—2]kJ[2,+oo),可得r+ar+6—2=0,

Xx~X

r-2

令〃=+加则4t->4,利用换元法和函数的单调性即可得出结果.

【详解】

(1)/(x)=^/7TT-|ln|,函数/(x)的定义域为(0,+功,

,,31=(717^-2)(2717"1)

4x231+X4xy/l+x

令/,(x)>0,即VF7^-2>0，解得X>3,

所以函数/(x)的单调递增区间为(3,+8)；

令_r(x)<0,即ViT7-2<0,解得0<x<3,

所以函数〃x)的单调递减区间为(0,3),

综上，函数.“X)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+oo).

(2)由(1)知，当x=3时，函数“X)取得极小值，即最小值，

所以/'(X)W[2,M),

当x—>+oo时，g(x)->+oo,

且g(x)为连续函数,只需g(X)min<2,

即g(x)=2有实数解,

即x,+/+旅+or+1=0,因为XHO，

贝ijx"+cix+b+a—I—y=0,

XX*

令，=X+LG(YO,-2]U[2,+8),

X

即“+小+6-2=0在区间(YO,-2]U[2,+8)上有实数解，

将(。力)看成直线柩+〃+/一2=0上的点，

______2

2

令“=J/+/,则«min=/,，r>4,

Vr+1

____32

令S=G+12石，则—=5-丁存，

所以/+〃的最小值为

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式的解法，考查了换元法和等价

转化法的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于难题.

例12.(2022・上海•高三专题练习)若存在常数左四>0),使得对定义域。内的任意

%,毛(工产赴)，都有|〃3)-〃电)区布一切成立，则称函数“X)在其定义域。上是“"-利

普希兹条件函数

(1)若函数/(x)=&,("xW4)是“好利普希兹条件函数”，求常数我的最小值；

(2)判断函数/(x)=bg2》是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说

明理由；

(3)若y=〃x)(xwR)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数占,2，

都有〃(西)-/(马)归1.

【答案】(1)方；(2)不是，理由见解析；(3)证明见解析.

【解析】

【详解】

试题分析：(1)不妨设%>%,则北―后=恒成

X-“2J%+J%

立.­,-1<X2<X］<4,.-.^<-J=2-J=<^,从而可得结果；⑵令为=；,“：，贝|J

/［^-/^=log21-log21=-l-(-2)=l,从而可得函数〃x)=log2X不是“2-利普希兹

条件函数”；(3)设〃x)的最大值为〃，最小值为机，在一个周期［0,2］,内

f^a)=M,f^b)=m,利用基本不等式的性质可证明

|/(Ai)_/(x2)|-Af-zw=/(a)-/(/?+2)-|a-&-2l<1-

试题解析：(1)若函数f(x)=、G，(1WXa)是“k-利普希兹条件函数”，则对于定义域U，

4］上任意两个xl,x2(xlA2),均有|f(xl)-f(x2)|<k|xl-x2|成立，

不妨设x1>x2,则立£=j—:/恒成立.

x「X2Vxl+Vx2

111

，k的最小值为

(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+oo),

令xl=g,x2=g,则f(g)-f(二)二k)g25-log22=-1-(-2)=1,

242424

而2|xl-x2|=-^,：.f(xl)-f(x2)>2|xl-x2|,

・•.函数f(x)=log2x不是“2-利普希兹条件函数

(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期［0,2］内f(a)=M,f(b)=m,

则|f(xl)-f(x2)|<M-m=f(a)-f(b)<|a-b|.

若|a-b|S,显然有|f(xl)-f(x2)|<|a-b|<l.

若不妨设a>b,则0Vb+2-aVl,

.\|f(xl)-f(x2)|<M-m=f(a)-f(b+2)<|a-b-2|<l.

综上，|f(xl)-f(x2)|<1.

例13.(2022.上海.高三专题练习)对定义域的函数y=/(x),y=g(x),规定：

f(x)g(x),xe巧cOg

函数〃(x)=,f(x),xeDfSjciDg

g(x),x任巧且xeq

(1)若函数〃力=工，g(x)=f,写出函数人(x)的解析式；

x—1

(2)求问题(1)中函数R(x)的值域；

(3)若g(x)=〃x+a),其中a是常数，且ae[0,同，请设计一个定义域为R的函

数y=/(x),及一个a的值，使得/z(x)=cos4x,并予以证明.

R

【答案】(I)〃(*)=Hi";(2)(F,0]U{1}U[4,*»)；

Ix\x=\

兀

(3)f(Jf)=sinlx+cos2x,当。=—时，g(x)=cos2x-sin2x,此时〃(x)=cos4x.

4

【解析】

【详解】

试题分析：(1)依题意得，分X=1：XH1讨论，利用函数性质可求得函数〃(力的解析式；

r21

(2)当x=l时，易求〃(1)=1；当XHI时，h(x)=f(x)-g(x)=——=x-l+---+2,再

x-1X-1

时X分X>1和x<l讨论，利用基本不等式即可求得函数〃(X)的值域：(3)构造函数

/(X)=sinlx+cos2.v:，可求得g(x)=cos2x—sin2x,继而可证得Zi(x)=cos4x.

2

试题解析：⑴/7(x)={±'xe(f1)"1，+8).

l,x=1

(2)当x*l时,〃(x)£=x-l+—匚+2,若x>l时，则〃(x)N4,其中等号当x=2时成立,

X-]X-]

若X<1吐则可6«0,其中等号当x=0时成立,•,・函数〃("的值域是

(3)令f(x)=sin2x+cos2x.a=2,则

4

g(x)=f(x+a)=sin2卜+9)+cos2(x+?)=cos2x-sin2x,

于是〃(x)=/(x)/(x+a)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x,

另解令/(x)=l+V2sin2x,cif==/(x+a)=l+V2sin2(x+^)=1-72sin2x,

于是=/(%)•〃x+a)=(1+&sin2x)(1-0sin2x)=cos4x.

考点：抽象函数及其应用.

例14.(2022•上海•高三专题练习)对于函数/(x)(xw。)，若存在正常数T,使得对任意的

x&D,都有/(x+T)N/(x)成立，我们称函数f(x)为“T同比不减函数”.

(1)求证：对任意正常数T,/(力=/都不是“T同比不减函数”；

(2)若函数"x)=H+sinx是同比不减函数”，求k的取值范围；

⑶是否存在正常数T,使得函数/(x)=x+kT-k+l|为“T同比不减函数”,若存在，求

T的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)k>—(3)存在，TN4

71

【解析】

【分析】

(1)取特殊值使得f(x)4f(x+T)不成立，即可证明；

(2)根据“T同比不减函数”的定义，(x+?+sin[>丘+sinx恒成立，分离参数k,

构造函数，转化为％与函数的最值关系，即可求出结果；

(3)去绝对值化简函数/(x)解析式，根据“T同比不减函数”的定义，取x=-l,因为

/(-1+7')2/(-1)=1=〃3)成立,求出7的范围，然后证明对任意的工€丸“*+7)"“》)

恒成立，即可求出结论.

【详解】

证明：(1)任取正常数T,存在与=-7,所以x0+T=0,

因为/1)=/(-7)=1>/(0)=〃4+下,

即“x)4/(x+T)不恒成立，

所以/(力=/不是，7同比不减函数，，.

rr

(2)因为函数〃x)=fcr+sinx是“5同比不减函数”，

所以恒成立，即/卜+5)+$111卜+5卜丘+5皿》恒成立，

k>2(sinX-cosx)_2^sin^A对—・切x《R成立.

(3)设函数/(x)=x+|x—［-|x+［是"T同比不减函数”，

x-2

/(x)=--x(-1<X<1),

x+2(x<-l)

当x=—1时，因为/(T+T)2/(T)=1=〃3)成立，

所以一1+723,所以724,

而另一方面，若TN4,

(1)当时，

/(犬+7)—/(x)=x+T+|x+T—1—|x+T+1|—(x+2)

=7'+|x+7'-l|-|x+7'+l|-2

因为|x+T-l|-k+T+l|N-|(x+T-l)-(x+T+l)|=_2,

所以f(x+T)—/(x)W7—2—220,所以有/(x+T)N/(x)成立.

(II)当xe(-l,+8)时，

/(X+T)-/(X)=X4-T-2-(X+|X-1|-|X+1|)

=7'-2-|x-l|+|x+l|

因为卜+1|一卜-1|2-|(犬+1)-(》-1)|=-2>

所以/(x+T)-f(x)WT-2-220,

即f(x+7)Nf(x)成立.

综上，恒有有f(x+T)”(x)成立，

所以T的取值范围是［4,+8).

【点睛】

本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属

于较难题.

【方法技巧与总结】

紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为己有的认知结构，然后利

用函数性质解题.

【过关测试】

一、单选题

x—2

1.(2022・全国•高三专题练习)已知函数"x)=—,若对任意的实数a,〃，总存

x+2

在与e[T,2],使得了(%)..机成立，则实数巾的取值范围是()

A.18,(B.(-8,/C.1°0，：D.(^0,1]

【答案】B

【解析】

【分析】

由存在,使得成立，故，”《/(初皿，又对任意的实数a,%,m/(x)max,

则加数形结合，为函数8。)==与函数〃(x)=ar+匕图象上的

x+2

纵向距离的最大值中的最小值,求出距力的边界直线4,即过点(-Lg(-D),(2,g(2)),再求

出与4平行且与g(x)相切的直线1则以%)为4与4正中间的直线，可得答案.

【详解】

由存在使得/(%)..他成立，故帆Wf(x)111ax,

又对任意的实数a,乩，〃W/(x)2,则〃?4，

^^-ax-b=x—2x—2

M+与可看作横坐标相同时，函数g(x)=

x+277rx+2

与函数/z(x)=公+方图象上的纵向距离的最大值中的最小值,

又g(-l)=-3,g(2)=(),作示意图如图所示：

设A(-l,-3),8(2,0),则直线的方程4：丫=*一2,设)：y=x+m与g(x)相切,

x—2

则----=x+m得I?+(加+l)x+2("?+1)=0,有△=(加+1)?-8(/n+1)=0,

x+2y

得加=-1或6=7,由图知，切点。(。,一1),则4：y=x—1，

当直线以x)与《，，2平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时,

函数g(X)与〃(X)图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，

此时力(X)=X-',"(x)maximin=|-1-(-|)1=；，故加4g.

故选：B

【点睛】

本题考查了存在和任意问题，考查了学生分析理解能力，运算能力，数形结合思想，难度较

大.

2.(2022•全国•高三专题练习)若定义在R上的函数/(x)满足/(力+/(%-x)=»,则其

图象关于点(a,b)成中心对称.已知：函数/(》)=不占，则函数f(x)图象的中心对称点是

()

A.(0,1)B.C.(1,0)D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求出〃2-X)=WR,即可求〃X)+/(2-X)=1,即可选出正确答案.

【详解】

解汕〃力=不占得，/(2凶=不』节=不上丁

所以〃x)+/(2㈤=4++=2+4二+4：=i,

所以“X)图象的中心对称点是(1