2023年高考一轮复习精练必备第5讲 指对幂函数及其应用（解析）

2023年高考一轮复习精讲精练必备

第5讲指对易函数及其应用

一、知识梳理

指数和指数函数

1.根式的概念及性质

(1)概念：缶称为根式，〃称为根指数,。称为被开方数.

(2)性质：(%)"=a；当"为奇数时，跖』a,当〃为偶数时，y[a^=\a\.

2.分数指数塞

inn

规定：正数的正分数指数幕的意义是雨=版3>0,〃2,"GN*,且/7>1)；正数的负分数指

m1

数累的意义是，[=’(">0,祖，〃6N*,且〃>1)；0的正分数指数幕等于0；0的负分数指

n

迎

数用没有意义.

3.指数寨的运算性质

实数指数塞的运算性质:优。'=优+’,(优)'=工」，(ab)'=a'b、,其中a>0,b>0,s,/GR.

4.指数函数及其性质

(1)概念：一般地，函数y=一称为指数函数,其中。是常数，。>0且a#l.

(2)指数函数的图像与性质

a>\0<6!<1

,P:…J

图像

-OX-4J

定义域定义埸t为R

值域值域为(0,+8。即对任何实数，都有标>0

性过定点过定点(0,1),即x=0时，y=1

质函数值当x>0时，y>l；当x>0时，0<><1；

的变化当A<0时，0<y<l当x<0时，y>l

单调性在R上是增函数在R上是减函数

”的图像关于y轴对称

对称性y=〃与尸S

对数和对数函数

1.对数的概念

在表达式泊=N(a>0且aWl，NG0,+8))中，当。与N确定之后，只有唯一的b能满足

这个式子，此时，幕指数b称为以。为底N的对数，记作b=To%N,其中a称为对数的底

数，N称为对数的真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质：①HogaN=N；②10gM="。>0,且aWl).

(2)对数的运算性质

①loga(MN)=log“M+log“N,

②log“M。=alogaM,

AM

(3)10g“X；=10g“M10&tN.

其中，a>0且aWl,M〉0,N>0,aGR.

(3)换底公式：loga》=出聆(a>0,且aWl,b>Q,c>0,月.cWl).

3.对数函数及其性质

(1)概念：一般地，函数y=log“x称为对数函数，其中a是常数，。>0且aWl.

⑵对数函数的图像与性质

a>l0<«<1

)

\,x=l

图像

尸O

O/(1.0)

)=logov(0<a<l)

定义域定义域为(0,+8),图像在y轴的右边

值域值域为区

过定点过定点(1,0),即x=1时，y=0

性函数值当Oavl时，><0,当0<x<l时，y>0,

质的变化当x>l时，y>0当x>\时，y<0

单调性增函数减函数

y=log“x与y=loglx的图像关于x轴对称

对称性

4.指数函数与对数函数的关系

指数函数丁=〃(。>0,且aWl)与对数函数y=log«xm>0,且aWl)互为反函数，它们的图像

关于直线y=x对称.

幕函数和二次函数

L器函数

(1)基函数的定义

一般地，函数>=靖称为幕函数，其中a为常数.

⑵常见的五种幕函数的图像

(3)累函数的性质

①所有的基函数在区间(0，+8)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通

过点(1,1).

②如果a>0,则幕函数的图像通过原点，并且在区间［0,+8)上是增函数.

③如果a<0,则基函数在区间(0,+8)上是减函数，且在第一象限内；当x从右边趋向于原

点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近

x轴.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：/lr)=ax2+/?x+c(a:/:0).

顶点式：/(x)=a(x—机>+〃(aWO),顶点坐标为(〃?，〃).

零点式：/(x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0)，xi,改为八》)的零点.

(2)二次函数的图像和性质

y=ax1-\-bx+cy=ajc2+bx-]-c

函数

（。>0）m<o）

图像

(抛物线)j7y三J:\2

定义域R

4ac—/r)(4ac-b1

值域-8.

L4a，+8,1，4。」

b

对称轴x=二茏

顶点(b4〃。一%

坐标-2cr—4a)

奇偶性当匕=0时是偶函数，当匕#0时是非奇非偶函数

在（-8,一5上是遮函

在（一8,一盘上是增函数；

单调性数；

在一息，+8）上是减函数

在一/，+8）上是增函数

二、考点和典型例题

1、指数和指数函数

【典例1-1]（2020.黑龙江.东宁市第一中学高二阶段练习）关于函数/1）=34+2-3的结论正确的是

（）

A.值域是（0,81]B.单调增区间是（7）,1]

C.值域是[81,物）D.单调减区间是（―』

【答案】AB

【详解】

令〃+2x+3=-（x-lJ+4,

则〃（x）V4,

又/（x）=3"为增函数，

所以0<3"481，所以函数的值域为（0,81],故A正确，C错误；

因为Mx）=-（x-iy+4在（YO,1]上单调递增，/（X）=3"为增函数，

所以函数的单调增区间是（F,1]，

故选：AB

【典例1-2]（2021.湖北省直辖县级单位.高二阶段练习）已知函数y=a*（。>0且。工1）的图象如下图

如上图所示，4乂2,4,4分别是%（x）=e,绕着原点逆时针方向旋转:，p与，万，所得到的的曲线,

根据函数的定义可知，这四个曲线都符合函数图像的定义.

故选：ABCD.

【典例1-4】（2022.重庆.模拟预测）已知l<a<b<e（e为自然对数的底数），则（）

,ababah

ha

A.a<bB.>pyC.n«.PTD.by

【答案】AD

【详解】

a

因为l<a<b<e,所以a">a">a°=l,b>b°=l,0<logAa<log,,b=\.

对aJe?这三个数先取自然对数再除以而，则也义=皿=叱，叱=皿=电，

ababaababb

ab

Inee1Ine

----=—=,

abee

设〃X）=9，则/'（力=号竺，由/'（x）>o,解得0<x<e,

所以〃x）在（0,e）上单调递增,故f（a）</⑶</（e）,

In。InZ?Ine通,,曲

r即1n二-〈丁<三，则/<"'<e丁，故a"<a〃<6“<e丁，

故选：AD.

【典例1-5】（2022•全国•高三专题练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检

测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中我份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴

性，则这%份核酸全为阴性，因而这4份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k

份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这无份核酸再逐份检测，此时，这无份核酸的检测次数总共为

我+1次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样

本是阳性的概率都为〃（0<〃<1）,若％=10,运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方

式优于逐份检测方式.（参考数据：lg0.794=-0.1）（）

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

【答案】CD

【详解】

设混合检测分式，样本需要检测的总次数y可能取值为Ui

p（y=i）=（i-p）'°,p（y=n）=i-（i-p）10

故y的分布列为：

Y111

P(l-p)10l-(l-p)10

.1.E（y）=lx（l-p）l0+llx[l-（l-p）l（,]=ll-10x（l-p）l（,

设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X,则E（X）=10

要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需E（y）<E（X）

即11—10x（1-0严<10,即（1-「尸>\,Epi-p>10-°-1

x1g0.794®-0.1,.•.1-p>10l8°-794=0.794,.-./?<1-0.794=0.206

/.0</?<0.206

故选：CD

2、对数和对数函数

【典例2-1】（2022•安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设a=logz3,b=logj,c=则。，b,

c的大小关系正确的是（）

A.a>h>cB.b>a>cC.b>oaD.c>a>b

【答案】A

【详解】

/?=log47=log2>/7,

因为函数y=log2X为（。，物）上的增函数，2<V7<3,

所以log22<log26<log?3,故l<6va.

A.c>b>aB.a<c<h

C.a>b>cD.c>a>b

【答案】C

【详解】

­.-3°=6».1.a=log36=log33+log32=l+log32；

A

1.-5=10..-./>=log510=log55+log,2=l+log52;

,.,c=lg4+lg5,c=1g201g10+1g2=1+1g2；

•.•l<log23<log25<log,10,/.Iog32>log52>lg2,;.a>h>c.

故选：C.

【典例2-5】（2022.湖北.荆门市龙泉中学一模）有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前〃

项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当〃很

大时，1+1+!+……+l«ln/7+y,其中/称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901……,至今为止

都还不确定/是有理数还是无理数.由于上式在〃很大时才成立，故当〃较小时计算出的结果与实际值

之间是存在一定误差的，已知1112=0.693,ln3=1.099.用上式估算出的ln6与实际的In6的误差绝对值

近似为（）

A.0.073B.0.081C.0.122D.0.657

【答案】B

【详解】

解：依题意l+:+!+!+:+,Bln6+/

23456

所以In6Hl+；+g+；+（+[-y=2.45-y=1.8728,

又In6=ln2+ln3ao.693+1.099=1.792

所以估算出的In6与实际的In6的误差绝对值近似为1.8728-1.792=0.0808«0.081；

故选：B

3、幕函数和二次函数

【典例3-1】（2022・浙江•高三专题练习）下列塞函数中，定义域为R的是（）

_111

A.y=xB•y=x2•y=D,y=x2

【答案】c

【详解】

对选项A,则有：XWO

对选项B,则有：x>0

对选项C,定义域为：R

对选项D,则有：x>0

【典例3-2】(2022•全国•高三专题练习)基函数f(x)="—2加+1片用在(0,+8)上为增函数，则实数

m的值为()

A.-2B.0或2C.0D.2

【答案】D

【详解】

因为“X)是基函数，所以〃?2一2〃?+1=1,解得机=0或加=2,

当机=0时，/(力=尸在(0,+向上为减函数，不符合题意，

当机=2时，/(力=/在(0,+8)上为增函数，符合题意，

所以，〃=2.

故选：D.

【典例3-3】(2022•安徽蚌埠•模拟预测(理))若幕函数〃力=/(06/?)满足(a+l)/(x)=〃⑴，则下

列关于函数/(x)的判断正确的是()

A.“X)是周期函数B.“X)是单调函数

C./(X)关于点(。,1)对称D.f(x)关于原点对称

【答案】C

【详解】

由题意得9+1)犬=("『,即(a+l)K=e"x°,故e"-a-l=0,

令g(x)=e，-x-1,则g[x)=e，-1,当x«-oo,0)时,g'(x)<0,则g(x)单调递减;当x«0,+<»)时,

g/x)>0,则g(x)单调递增；所以g(xL=g(x)=O,因此方程e。-a-l=O有唯一解，解为a=0,因

此/(x)=x°=l(x*0),所以不是周期函数，不是单调函数，关于点(0,1)时称，

故选：C.

【典例3-4】（2022•浙江•模拟预测）已知a>0,函数〃x）=x"-优（x>0）的图象不可能是（）

【答案】C

【详解】

当a=l时，/（x）=xa-aA=x-l（x>0）,此时函数/（x）为一条射线，且函数〃x）=x—1在（O,+s）上为增

函数，B选项符合：当时，函数y=在（0,+e）上为增函数，y=优在（0,+句上为减函数，所以

函数/■（》）=£-/在（0,+4）上为增函数，此时函数在（0,+8）上只有一个零点，A选项符合；当时,

、一+8时-，函数y=的增长速度远小于函数y="的增长速度，所以xf+8时，函数〃x）=x"—屋一

定为减函数，选项D符合，C不符合.

故选：C

【典例3-5】（2021・湖南・长沙一中高三阶段练习）已知函数/（同=2），若当xeR时，

/仁，）+/（£-26）>（）恒成立，则实数”的取值范围是（）

A.（73,+oo）B.卜8,6）C.（3,+oo）D.（—,3）

【答案】C

【详解】

由题意，f(_x)=_2)=_/(x)，即f(x)为奇函数，同时也为增函数，

・•,*)+，停-2可>0,即*)>-/值-2可=12凡1)

.♦.e'>2石—即e'+二>2g恒成立，a>-©丫+2屈,，

若不等式恒成立，只需“>(-(巧2+2任］,

''max

令g(x)=-(e')2+2^e'=-(ex->/3)2+3<3,

，g(x)max=3，：.a>3.

故选：C

【典例3-6】(2021•四川省绵阳实验高级中学高三阶段练习(理))基函数/(”=(疗-2m-2产在(0,+s)

上单调递增，则g(x)=ai"+l(a>l)的图象过定点()

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(3,1)D.(3,2)

【答案】D

【详解】

解：因为嘉函数〃力=(>-2机-2)/在(0,+8)上单调递增，

所以《八，解得加=3,所以g(x)=“'T+l(a>l),

m>Q

故令X—3=0得x=3,所以g(3)=ai+i=2(a>i)

所以g(x)=ai'+l(a>l)的图象过定点(3,2)

故选：D

4、综合应用

【典例4-1】(2022・安徽・南陵中学模拟预测(文))已知10"=兀,5%=3,log3C=-J,则”，匕，c的大小关

系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【详解】

由10"=%,5〃=3,k>g3C=-gu［得，a=lg/t,^=Iog53,c=34,

由于c=32=叠€(；,1),6z=lg7t<lg>/io=^,h=log53>logs,而

1313

。=忑<§,53<35.所以6=1。853>108555=s，所以a<c<〃.

故选：D.

2*+3x<0

【典例4-2】(2022•北京•二模)若函数f(x)=,、，"一的定义域和值域的交集为空集，则正数〃

(x-2)',0<x<a

的取值范围是()

A.(0,1]B.(0,1)

C.(1,4)D.(2,4)

【答案】B

【详解】

2'+3,x40

解：因为〃x)=,、，，所以/(x)的定义域为S，a],a>0,

(x-2)90<x<a

当xMO时〃x)=2，+3,则/(x)在(F,0]上单调递增,所以〃X)G(3,4卜

要使定义域和值域的交集为空集，显然0<〃=3,

当0vx〈a时/(x)=(x-2)2,

若。22则/(2)=0,此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，

若0<”2时”X)在(0,可上单调递减，此时“x)e[(a-2)2,4),

则”x)w[(a-2)2,4)U(3,4],

所以卜<(“-2),解得即a«o,i)

0<a<2

故选：B

【典例4-3】(2022.安徽•寿县第一中学高三阶段练习(理))若/(x)为定义在R上的偶函数，且在

(y,o)上单调递减，则()

111111

A./(ln-)>/(22)>/(33)B./(33)>/(ln-)>/(22)

111111

C./(22)>/(33)>/(ln-)D./(33)>/(22)>/(ln-)

【答案】D

【详解】

由/(X)为偶函数且在(y,0