2009年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题

2009年全国硕士研究生入学考试《数学三》真题卷面总分：23分答题时间：240分钟试卷题量：23题练习次数：21次

单选题（共8题，共8分）

1.设函数y＝f（x）在区间[－1，3]上的图形如图1所示。

说明:说明:11

则的图形为（）。

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案：D

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本题解析：由图可知：

（Ⅰ）在区间（－1，0）上，f（x）≥0，则F（x）在此区间单调递增，排除A项。

（Ⅱ）

表示y＝f（x），x＝0，x＝x0与x轴所围曲边梯形位于x轴上方的图形面积减去位于x轴下方的图形面积所得差值，则当0＜x＜1时，由图可知

排除C项。

（Ⅲ）又当2＜x＜3时，f（x）＝0，故

即F（x）在x＝2处连续，排除B项。

2.

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：B

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本题解析：由于

因此选项B正确。

3.

A.1

B.2

C.3

D.无穷多个

正确答案：C

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本题解析：首先找出使f（x）无定义的点：即满足sinπx＝0的点，得x＝0，±1，±2，±3，…，若上述点为可去间断点，则f（x）在该点的左右极限存在且相等，又sinπx＝0，则必有分子x－x3＝0，即可去间断点可能为x＝0，±1。又

4.当x→∞时，f（x）＝x－sinax与g（x）＝x2ln（1－bx）为等价无穷小，则（）。

A.a＝1，b＝－1/6

B.a＝1，b＝1/6

C.a＝－1，b＝－1/6

D.a＝－1，b＝1/6

正确答案：A

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本题解析：

5.使不等式

成立的x的范围是（）。

A.（0，1）

B.（1，π/2）

C.（π/2，π）

D.（π，＋∞）

正确答案：A

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本题解析：

等价于

又在上述四个区间内，（1－sint）/t＞0，故若要使上式成立，则须0＜x＜1。

6.

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：A

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本题解析：由题设可知

于是

7.设事件A与事件B互不相容，则（）。

A.见图A

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：D

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本题解析：

8.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为P{Y＝0}＝P{Y＝1}＝1/2，记FZ（z）为随机变量Z＝XY的分布函数，则函数FZ（z）的间断点的个数为（）。

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：B

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本题解析：FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{XY≤z}＝P{XY≤z|Y＝0}P{Y＝0}＋P{XY≤z|Y＝1}P{Y＝1}＝P{0≤z}/2＋P{X≤z}/2。

当z≤0时，FZ（z）＝P{X≤z}/2＝ΦX（z）/2；当z＞0时，FZ（z）＝1/2＋P{X≤z}/2＝1/2＋ΦX（z）/2。于是

故z＝0为FZ（z）的间断点。

填空题（共4题，共4分）

9.

正确答案：2ln2＋1

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本题解析：暂无解析

10.

正确答案：2

您的答案：

本题解析：暂无解析

11.

正确答案：3e/2

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本题解析：暂无解析

12.设某产品的需求函数为Q＝Q（p），其对价格p的弹性εp＝0.2，则当需求量为10000件时，价格增加一元会使产品收益增加______元。

正确答案：8000

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本题解析：暂无解析

问答题（共11题，共11分）

13.

正确答案：

您的答案：

本题解析：

14.幂级数的收敛半径为

正确答案：

您的答案：

本题解析：

15.

正确答案：

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本题解析：

16.设曲线y＝f（x），其中f（x）是可导函数，且f（x）＞0。已知曲线y＝f（x）与直线y＝0，x＝1及x＝t（t＞1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程。

正确答案：

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本题解析：

17.

正确答案：

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本题解析：

18.计算不定积分

正确答案：

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本题解析：

19.（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）；

（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x＝0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且

则f＋′（0）存在，且f＋′（0）＝A。

正确答案：

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本题解析：证明：（Ⅰ）取F（x）＝f（x）－{[f（b）－f（a）]（x－a）}/（b－a），由题意知，F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且F（a）＝f（a）－{[f（b）－f（a）]（a－a）}/（b－a）＝f（a），F（b）＝f（b）－{[f（b）－f（a）]（b－a）}/（b－a）＝f（a）。根据罗尔定理得，存在ξ∈（a，b），使得F′（ξ）＝f′（ξ）－[f（b）－f（a）]/（b－a）＝0，即f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。

（Ⅱ）对于任意的t∈（0，δ），有f（x）在[0，t]上连续，（0，t）内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理有，

其中ξ∈（0，t）。

由于

且当t→0＋时，ξ→0＋，所以

故f＋′（0）存在，且f＋′（0）＝A。

20.

正确答案：

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本题解析：

证法2：由题设可得Aξ1＝0。设存在一组数k1，k2，k3使得k1ξ1＋k2ξ2＋k3ξ3＝0①，在等式两端左乘A，得k1Aξ1＋k2Aξ2＋k3Aξ3＝0，即k2Aξ2＋k3Aξ3＝0，即k2ξ1＋k3Aξ3＝0②，再在等式两端左乘A，得k2Aξ1＋k3A2ξ3＝0，即k3ξ1＝0，于是k3＝0，代入②式得k2ξ1＝0，故k2＝0。将k2＝k3＝0代入①式可得k1＝0，从而ξ1，ξ2，ξ3线性无关。

21.

正确答案：

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本题解析：

22.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（Ⅰ）求条件概率密度fY|X（y|x）；

（Ⅱ）求条件概率P{X≤1|Y≤1}。

正确答案：

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本题解析：

23.袋中有1个红球、2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

（Ⅰ）求P{X＝1|Z＝0}；

（Ⅱ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布。

正确答案：

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本题解析：由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为36。

（Ⅰ）P{X＝1|Z＝0}＝P{X＝1，Z＝0}/P{Z＝0}＝[（1×2＋2×1）/36]/[（3×3）/36]＝4/9。

（Ⅱ）X，Y的可能取值均为0，1，2，且

P{X＝0，Y＝0}＝（3×3）/36＝1/4

P{X＝0，Y＝1}＝（2×2×3）/36＝1/3

P{X＝0，Y＝2}＝