高考数学（理）精优大一轮复习人教a通用版讲义第23讲正弦定理和余弦定理

第23讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA===2R(其中R是△ABCa2=,

b2=,

c2=

定理的变形a=2RsinA,b=,c=,a∶b∶c=

cosA=,

cosB=,

cosC=

2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数

3.三角形面积公式(1)S=12ah(h表示边a上的高(2)S=12bcsinA=12acsinB=12absin(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;变形:A+B2=π2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;(3)sinA+B2=cosC2;(4)cosA+3.三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.题组一常识题1.[教材改编]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于.

2.[教材改编]在△ABC中,已知a=5,b=23,C=30°,则c=.

3.[教材改编]在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于.

4.[教材改编]在△ABC中,已知a=32,b=23,cosC=13,则△ABC的面积为题组二常错题◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错.5.在△ABC中,若sinA=sinB,则A,B的关系为;若sinA>sinB,则A,B的关系为.

6.在△ABC中,若A=60°,a=43,b=42,则B等于.

7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=,△ABC的面积等于.

8.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若ccosA=b,则△ABC为三角形.

探究点一利用正弦、余弦定理解三角形例1在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,且b2+c2=3+bc.(1)求角A的大小;(2)求bsinC的最大值.

[总结反思](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.变式题(1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanAtanB=2cb,则A.π6 B.C.π4或3π4 (2)[2018·衡水中学月考]已知△ABC满足BC·AC=22,若C=3π4,sinAsinB=1探究点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sinB·sinC=sin2A,则△ABC的形状是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形

[总结反思]判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.变式题在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若tanAtanB=a2b2,则△A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形探究点三与三角形面积有关的问题例3[2018·洛阳三模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且bsinB+(c-b)sinC=asinA.(1)求角A的大小;(2)若sinBsinC=38,且△ABC的面积为23,求

[总结反思](1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,也可结合基本不等式求解.变式题[2018·黄冈中学月考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.(1)求△ABC的面积;(2)若cosBcosC=14,求△ABC的周长

第23讲正弦定理和余弦定理考试说明1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.【课前双基巩固】知识聚焦1.bsinBcsinCb2+c2-2bccosAc2+a2-2accosBa2+b2-2abcosC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCb2.一解两解一解一解对点演练1.263[解析]易知A=75°,角B最小,所以边b最短.由正弦定理bsinB=csinC,得bsin452.7[解析]由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=52+(23)2-2×5×23cos30°=7,所以c=7.3.60°[解析]因为cosC=a2+b2-c24.43[解析]因为sinC=1-cos2C=223,所以△ABC的面积S=15.A=BA>B[解析]根据正弦定理知,在△ABC中有sinA=sinB⇔a=b⇔A=B,sinA>sinB⇔a>b⇔A>B.6.45°[解析]由正弦定理知asinA=bsinB,则sinB=bsinAa=42×3243=22.7.7332[解析]易知c=4+9-2×2×3×12=7,△ABC8.直角[解析]∵ccosA=b,∴由正弦定理得sinCcosA=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,整理得sinAcosC=0,∵sinA≠0,∴cosC=0,即C=90°,则△ABC为直角三角形.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)由余弦定理可得出;(2)用正弦定理将bsinC表示为关于C的三角函数,再结合C的取值范围求最大值.解:(1)由a=3,b2+c2=3+bc,得b2+c2-即cosA=12,又∵A∈(0,π),∴A=π(2)由正弦定理,得b=asinAsinB=2sin∴bsinC=2sinCsinB=2sinCsin2π3-C=2sinC12sinC+32cosC=sin2C+3sinCcosC=32sin2C-12cos2C+12=sin2C-∴当sin2C-π6=1,即C=π3时,bsin变式题(1)B(2)10[解析](1)由1+tanAtanB=2cb得1整理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA,所以sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,所以cosA=12又因为A∈(0,π),所以sinA=32由正弦定理asinA=csinC,得sinC=csinAa=22(2)由正弦定理可得sinAsinB=BCAC,因为A+B+C=π,所以cos(A+B)=-则由已知条件可知BCAC=-12cosC=22,又BC·可得BC=2,AC=2,由余弦定理得AB=BC2+AC例2[思路点拨]由b2+c2=a2+bc及余弦定理可得A=π3,由sinB·sinC=sin2A及正弦定理可得bc=a2,结合b2+c2=a2+bc可得C[解析]在△ABC中,∵b2+c2=a2+bc,∴cosA=b2+c2-又∵A∈(0,π),∴A=π3.∵sinB·sinC=sin2A,∴bc=a2.又由b2+c2=a2+bc,得(b-c)2=a2-bc=0,∴b=c,∴△ABC的形状是等边三角形.故选C.变式题D[解析]由条件可得sinAa2由正弦定理可得aa2cos整理可得acosA=bcosB,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,所以A=B或A+B=π2所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.例3[思路点拨](1)利用已知条件,结合正弦定理以及余弦定理即可求出角A的大小;(2)利用正弦定理以及三角形的面积公式求解a.解:(1)由bsinB+(c-b)sinC=asinA及正弦定理得b2+(c-b)c=a2,即b2+c2-bc=a2,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12,又(2)由正弦定理asinA=bsinB=csinC,可得∴S△ABC=12bcsinA=12·asinBsinA·asinCsin又sinBsinC=38,sinA=32,∴38a2=23,变式题解:(1)由a2-bc=(b-c)2可得b2+c2-a2=bc,∴cosA=12,又∵A∈(0°,180°),∴sinA=3∴S△ABC=12bcsinA=3(2)∵cosA=-cos(B+C)=12,∴sinBsinC-cosBcosC=1又cosBcosC=14,∴sinBsinC=3由正弦定理得asinA2=bcsinBsin∴b2+c2-a2=(b+c)2-2bc-1=(b+c)2-3.又∵b2+c2-a2=1,∴b+c=2,∴△ABC的周长为a+b+c=1+2=3.【备选理由】例1考查了利用正弦、余弦定理解三角形;例2考查了利用二倍角公式、余弦定理以及勾股定理判断三角形的形状;例3考查了求三角形的面积的最大值;例4考查了与三角形面积有关的问题,涉及三角形的中线以及利用基本不等式求解边的最值等问题.例1[配合例1使用][2018·莆田六中月考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(sinC-sinA)=(sinA+sinB)(b-a).(1)求角B的大小;(2)若c=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,且BM=13BC,ANBM=23,求AM解:(1)∵c(sinC-sinA)=(sinA+sinB)(b-a),∴由正弦定理得c2-ca=b2-a2,∴a2+c2-b2=ca,∴cosB=a2+c2-b22ca=1(2)设BM=x,则BN=2x,AN=23x,又B=π3,AB=8,∴在△ABN中,由余弦定理得12x2=64+4x2-2×8×2xcosπ3,解得x=2(负值舍去),即BM=∴在△ABM中,由余弦定理得AM=AB2+BM2-2例2[配合例2使用]已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且cos2A2=12+b2c,则△ABC为A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形[解析]B∵cos2A2=12+∴1+cosA2=12+b2c,即∴b2+c2-a22bc=b故△ABC为直角三角形,故选B.例3[配合例3使用][2018·三明一中月考]如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=1,CB=2,△ACD为正三角形,则△BCD的面积的最大值为.

[答案]1+3[解析]在△ABC中,设∠ABC=α,∠ACB=β,由余弦定理可知AC2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα.∵△ACD为正三角形,∴CD2=5-4cosα,由正弦定理得1sinβ=∴AC·sinβ=sinα,∴CD·sinβ=sinα.∵(CD·cosβ)2=CD2(1-sin2β)=CD2-sin2α=5-4cosα-sin2α=(2-cosα)2,β<∠BAC,∴β为锐角,CD·cosβ=2-cosα,∴S△BCD=12×2·CDsinπ3+β=CDsinπ3+β=32CD·cosβ+12CD·sinβ=32×(2-cosα)∴当α=5π6时,△BCD的面积最大,最大值为1+例4[配合例3使用][2018·三明一中月考]已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且△ABC的面积为12c(asinA+bsinB-csinC)(1)求角C的大小;(2)若D为AB的中点,且c=2,求CD的最大值.解:(1)依题意得,12absinC=12c(asinA+bsinB-csin由正弦定理得,abc=c(a2+b2-c2),即a2+b2-c2=ab,由余