考研数学线性方程组常考知识点技巧题型汇总

考研数学线性方程组常考知识点技巧题型汇总

一、三基与拓展

1、〃元齐次方程组Ax=O（〃为未知数的个数）的解系统

1）一定有解。

2）解的结构

r（A）=〃有唯一零解；r（A）＜〃有〃A）个线性无关的解向量，称为基础

解系（它不是唯一的，一般取最简单的整数形式）,它构成解的线性空间S（称为解空

间），解得空间维度为A（S）=〃-r（A），它是一个极大无关组，Ax=0的任何一个解

都可以由他们线性表出，即

At=0nx=3+贴2+L+勺叫，代叫力（匕为不全为零的任意常数）

3）解的性质

若。，$是Ar=0的解，则。±$,g,域也是祗=0的解。

陈氏第26技RREF法全面解决Ax=°和Av=方的解。

4）求解Ax=0的方法定势…RREF法

①将A化为简化行阶梯形（RREF）,如有r个非零行，则基础解系中有〃--个解

向量；

②确定非主元所在的列的对应的变量的值，共有〃-「个非主元；

③将非主元表示为主元的线性叠加的，表示式中的系数为对应非主元列向量的负值，

3

缺少的主元分别取〃-r个线性无关的单位向量，依次补满到〃维

向量，并把每一未知量的解向量全部元素化为互质整数，这样求得的〃--线性无关的解就

是基础解系。

⑤基础解系中〃-/•个向量的线性组合就是所求的通解。

【例1］求下列齐次方程组的一个基础解系

玉+工2+演+4*4_3/=0

2%1+x2+3X3+5z-5X5=0

西一%+3/一2%5=0

3%+/+5尤3+6x4-7X5=0

解：

114-3、'1114-3、<1114-3、’1021-2、

2135-501-1-3101-1-3101-13-1

A=告->

1-13-2-10-22—620000000000

156-22-6000000

<3一7)、02)<0、00,RRE

主元为4超对应的列，选非主元工3,14,&为待确定量，它们所在的行对应乘以主元王,X2

的系数(恒等于1)的负值，即为三个解向量(。，J2，42)的须，々坐标的值，由于原方程

有5个未知数，故需要用单位向量目的三列分别补上七，4毛的位置，则基础解系为：

4=(X]x2x3x4=(—21100)’

$=(内尤2%32九5)'=(T-3010)'

43=(X]x2x3x4/)'=(21001)’

匡闵如果A化成一般阶梯形时，求解很方便，就没必要继续化为简化行阶梯形，而利用

等价方程组直接求出基础解系。上述方法还是求矩阵特征向量(对应某一特征值)的基本步

4

骤,望读者务必掌握，［例2］再次让你掌握其精髓。

【例2]求下列齐次方程组的通解：

2x}-4X2+5尤3+3尤4=0

<3x]-6X2+4X3+2X4=0

4xj-8X2+17X3+11X4=0

解：

_2

1-20

1-2-1-1

'2-453'7

只能行变换）1*只能行变换）5

A=3-64200001

77

4-81711

00000000

RREF

在上述的RR或7中，有两个主元玉和七，主元的个数就是秩R（A）=2,解向量有

〃—R（A）=4-2=2个基础解，又由于有4个未知数，故使用E2的两列和分别

V7

补上々和天的位置，最后所求的基础解系如下：

5

2

72

0化为互质的整数）0

05-5

01

2

0

（匕，卷不全为零）

0-5

07

5）n元齐次方程组Ax=0与矩阵秩的联系

将矩阵看成是列向量构成的这个观点十分重要，正是因为这个视角，结合分块矩阵的运

算方法，就可以把矩阵的乘积A8=0和齐次方程组联系起来，从而可以利用方程组的解系

统理论来解决有关矩阵秩的题型。

【例3】设A,8都是〃阶方阵，齐次方程组AX=O,BX=O有相同的基础解系九基刍，

则。，左，刍必是（）的基础解系。

（A）（A+8）X=0⑻A3X=0

A

（D）以上都不对

B

解：齐次方程组的解具有三个要素：一是方程组的解；二是线性无关；三是所有的解都能由

〃-R（A）个解向量线性表出（注意：”是方程组未知数的个数\

依题意，R（A）=R（5）=〃-3，显然配是（A）（3）（C）的解，而且是线性无

关的，故①）不对。下面关键是判断（A）（8）（C）中，哪个方程组的系数矩阵的秩是〃-3

或哪个方程组的任意一个解能由九刍线性表出。

（A）由于R（A+B）HR（A）,故不对；

（B）由于R（4B）KH（R）,故也不对；

6

（c）使用排除法，当然对。我们将分析如下：

由于X=0=AX=O,BX=O，同时成立。设&是X=0的任意一个解，则有

AJ=O,84=0同时成立，J就能由AX=O,8X=0的基础解系。，△，统线性表

出,故（C）正确。

【例4】设B是三阶非零矩阵，8的每一列向量都是下列方程组的解

元1+2X2-2X3=0

<2%j-x2+Zx3=0

3%+x2-x3=0

求f和R（5）0

解：

’12-2、

A=2-1t

31-I

8是三阶非零矩阵，则方程组有非零解

12-210

|A|=2-1t=2t-\=5（z-l）=0=>r=l

31-130

依题意，AB=O,则

/?（A）+/?（B）＜3

’12-2）（\20、

r=l=>A=2-11-»2-10=>R（A）=2

、31-JL1o>

nR（3）K3—2=l

R（8）wOnR（B）=l

7

2〃元非齐次方程组Ar=8的解系统

1）无解充要条件

r（A）wr（AM）

2）有解充要条件

r（A）=r（AM）

•r（A）=r（AM）=〃有唯一解<=>£）=同/0,

其解由克莱姆法则得出七吟（i=1,2……,〃）求得。

•r（A）=r（AM）<〃有无穷多个解

3）Ar=b与Ax=O解的关系

①Ar=0称为Ar=。的导出组。

②Ax=0的解无条件存在，但由此不能推出Ar=8是否有解;反过来，如果Ax=b

有唯一解，则4=0只有零解，如果Ax=b有无穷多个解，则Ar=0有非零解。

③Ar=。的一般解为Ax=b的一个特解和其导出租一般解的和，设小是Ax=b一

个特解，7,%…•，/一,是Ax=0的基础解系，则Ar=/，有无穷解时，可表示为

X二%+k昌4-k2^2+L+勺⑷*式⑷

胡闵所谓特解是指不含待定系数的解，通解就是含待定系数的解，当待定系数被

确定时，通解就变成了特解。

4）无解和有解的本质一同维解空间

关系/•（4）=r（AM）究竟有什么内涵：首先如果/•（4）=（,就意味AX=O有4个独

8

立方程和4个独立的自由变量，其余的〃-4个变量可以由这r个向量组成的极大无关组表

示出来，也就是说AX=0的解空间为“-4维；r(AM)=4表示有r2个独立的合理方程，

即4个方程不仅相互独立，而且相互没有矛盾，也就是AX^h的解空间为〃-々维，如果

r(A)wr(AM)n乙w4二〃-/〃-弓，意味两个解空间不同维，不同维度的向量是不

能相互叠加的，犹如三维和二维坐标空间不能相互运算一样，原方程必无解。同理

r(A)=r(AM)必有解。在同维解空间内，即r(A)=r(AM)时，如果AX=分独立方程的

个数「(A)或r(AM)等于未知数的个数〃,则有唯一解，否则，有无穷多个解。

5)Ax^b的求解方法---RREF法

把增广矩阵(AM)化成简化行阶梯形(RREF),最右边的一列就是小:=6的特解。去

掉最右边的一列，剩下的矩阵就是系数矩阵A的简化行阶梯形，据此可求出基础解系。例

如，假如

’102[1、

(AM)f01-1;-1,则%=(1-10)\。=(-211)’

、000:0,

=+=>x=(l-10),+攵(一211)，

6)Ar=。解的三大性质

・7,%是小"的两个解n号也是土5的一个解’而7-%是导出组

Ax=0的一个解；但7+%不是导出组Ar=0的解；

•7是Ar=人的一个解,g是导出组Ar=0的一个解n〃+J是的一个解。

・7,%,不是Ar=。的三个线性无关的解，则导出组Ax=0至少有两个线性无关的

解。=〃1一％,$=7-5(〃-R(A)N2),依次类推。

9

【例5］设方程组

百+%+七=0

<+2X2+ox3=0与方程占+2犬2+毛=。-1

Xl+4尤2+。2工3=0

有公共解，求。的值和所有公共解。

解：联立两个方程得非齐次方程组得

玉+Z+工3=0

X）+2X+ax=O

23依题意此方程必须有解

X1+4X2+/工3=0

玉+2X2+£=a-l

’11110、’111\0、

1

12a•001a-\0

।

（A"）=21->

14a~।000）；0

i

J21;1一牝、001-ai1-a,

R（A）=R（A|b）=a=1或2

（11IO"

0ioio

a=1n（A|Z?）1基础解系为3-27个解向量》&=0=x=k0

000：0

iJ

、000I02

（\11I0、pooI0、

'o、

01a-]I0101

10R(A)=R(A|*)=3,有唯一解(特解)、„

a=2n（A\b）=—>)X-i

00010001I-1

10[o00i0c1

0\-aI]一a.7

何且请读者仔细研究本章附录的公共解专题。

【例设矩阵的行向量线性无关，则下列错误的是()

6］A4X5

(A)A，X=0只有零解(B)MAX=0必有无穷多解

(C)V/?,A，X=而唯一解(D)Mb,AX=。总有无穷多解

10

解：选（c）。

（A）Q火（A）=4（行满秩）OH（AT）=4（列满秩），则*X=0只有零解正确。

（B）A7是5阶方阵，/?（47）=/?（4）=4=>|A7卜0，故A“X=0必有无穷多解

正确。

（C）A，=AX4,R（A'）=R（A）=4,则A'X=。中人必为5维列向量，且完全可以取这

样的。，使R（A「|4=5=R（A‘），从而使A'X=b无解。故

V"MX=力有唯一解不正确。

（D）AX=b中/2必为4维列向量，A有4个线性无关的列向量，任意h和4个线性无关

的列向量就构成5个4维列向量，故必线性相关，也就是匕可由A的4个线性无关的列向

量线性表出，而导出组AX=0是个5元齐次方程组，R（A）=4nAX=0有非零解，

H（A|b）=R（A）=4<〃=5，故V仇AX=A总有无穷多解正确。

3、三元线性方程组解结构的几何背景与向量组秩的联系及其形象化（重点）设三元线性

方程组为

%1玉+a\2X2+a\3X3=4

%1%+a22x2+a23x3=d2

。3|%+%2工2+“33尤3=4

并设增广矩阵的列向量依次为«1，a2,a3,a4n（A|Z?）=（a.2a31%）

系数矩阵的行向量依次为四，B”区nA=也

11

Y\

增广矩阵的行向量依次为外,%，%nA=/2

。＞

便于对照，我们把矩阵作如下向量表示

-a\\42《3八T41。12a134

夕2Ta2\a22&23/2->d2

Pifl“3l“32a2,3)Y3T七/3“3/

T四T七T%T,T%T%T%

方程组中每一个方程代表一个平面，依次极记为多，万2,»3，每个平面能否存在，等价于每

个方程能否成立，也等价于4（i=L2,3）能否由（斗，龙2,刍）线性表出，只要有一个

4（i=L2,3）不能由（西，”,刍）线性表出,其中有个平面就不存在，即存在一个矛盾方

程，方程组就无解，对应R（A）*R（A；d）;由空间解析几何知，凡四，A分别是平面

多,乃2,13的法向向量，决定平面的取向，如R（/1，&0）=30仇,A线性无关,

则说明三个平面（法线）既不能平行又不能重合，如R（四，四，A）＜3oK,夕2,A线性

相关，则说明三个平面（法线）既可能同时平行又可能全部重合，或既可能部分平行又可能

部分重合；/?（/„/2,%）=3表示三个方程独立，R仇，/，%）＜3表示三个方程有多余

方程存在，比如外，％线性相关，则方程一与方程二是同一个方程等等。显然，根据矩阵秩

的性质，有系数矩阵忸（%，a?,a?）三R（4,仇,凤）］增广矩阵

R（a«2a./。，三刈%,%，/）］下面分八种具体情形（简称312413理论）详细讨论，希

望读者反复体味。

•情形1R3a2%）=刈%a2a31%）=3，三个平面法线成三维分布。

因为当R（ag2a3）=穴（%a2a31%）=3n方程有唯一解。

几何意义|①三个平面交于一贰

■情形2R®a2,a.）=2。R（凡四，&）=2,三个平面法线共面。

12

◎2.1R（a},a2,（2/%）=/?（/,%，%）=R（%，%，%）=2=>方程有无穷解，

但导出组

基础解系只有一个解向量（〃-R（A）=3-2=1）,相当于一条直线只有一个方

向。

几何意义：三个平面交于一条直线。

o2.1.14，必，夕3中有两个向量线性相关。

几何意义|②二个平面重合，第三个平面与它们相交于一条直国。

02.1.24，尸?，四任意两个向量线性无关。

几何意义|③三个平面交于一条直纵

◎2.2/?（apa2,a3,a4）=3*7?（a,,a2,a3）=R（Pv%夕3）=2方程无解。

几何意义：三个平面既无共同交点又无共同交线更无交面（不能重合X

02.2.1笈，四，四中有两个向量线性相关。

几何意义|④二个平面平行，第三个平面与它们相交两条直线。

02.2.2幺，四，夕3中任意两个向量线性无关。

几何意义|⑤三个平面两两相交，中间围成一个三棱树。

・情形3R®a2,%）=1。穴（四，A，4）T，三个平面法线共线（平行或重合X

◎3.1/?（«,,a2,a3,a4）=/?（«,,a2,0^）=/32,4）=1=>方程有无穷

解，但导出组基础解系有二个解向量（〃-R（A）=3-1=2）,相当于需要两条直

线才能决定一个平面。

几何意义|⑥三个平面重合

©3.2/?（«!，a2,a3,a4）=2a2,a3）=/?（^],（32,夕3）=1=»方程无解。

o3.2.1及，为中有两个向量线性相关。

13

几何意义I⑦二个平面重合，第三个平面与它们平行。

03.2.2%，/，为中任意两个向量线性无关。

几何意义|⑧三个平面互不重合但相互平林

r

［例7】设q=（知"2，%）,。2=仇，％，力3）,，a3=（cl,c2,c3）,04=（4，&，4）7

01P2=（a2,b2,c2）,­=3也,。3）

则三个平面qx+〃）+qz+4=0（i=l,2,3），两两相交成三条平行直线的充要条件是（）

（A）/?（«,,%,。3）=2,R（4,。2,。3,。4）=3

（B）即见，任意两个都线性无关且4不能由即%，火线性表出

（C）a,,a2,er,线性相关且不能由囚，。2,。3线性表出

1D）人瓦，区任意两个都线性无关，但4,⑸，从线性相关，且见不能由囚，线性

表出

解：选（。）。

根据312413理论，在几何上应该是三个平面两两相交，中间围成一个三棱柱。首先就

必须要求R（4尸2,四）=刈%，%,a,）=2.然后要求用,四，夕3两两线性无关。

（A）有两种情况，故不对；

（B）«,,a2,巴任意两个都线性无关就是火（。［,%，%）22,如果R（%a2,a,）=2,

则由%不能由%。2,%线性表出，推知R（%，。2,。3，。4）=3,所以（B）是（A）的另

一种等价说法而已，也不对；

（C）R（a"%,%）<3,只有R3,a2,%）=2才有可能,又R®,a2,4,%）=3,

所以（C）是（A）的又一种等价说法而已，也不对；

（。）正确。

类似的题在2002年数学一的选择题中考到过。现在我们一眼就能看得出答案。

14

二、典型题型

<1、(2、<4、

-115

【例8】已知列向量71=，%=,%=是方程组

0-1-3

12）

+2X2+。3无3+=d]

<4%+b2x2+3X3+仇％=d2的

3%+c2x2+5X3+c4x4-d3

三个解，求通解。

p]勺、

26

解：“一7=.%—小==是小:=0的两个线性无关解

一1-3

、2>、9,

=>r（S）=n-r（A）>2

=>r（A）<n-2=2

’42%](43、

又4=4瓦3b4中至少有_二阶子式不为Onr(A"2

(35J

5c”

故r(A)=2故基础解系正好只有两个

工=7+勺（%—7）+%2（%—7）

,X]+工2+如=4、

【例9】k为何值时-％+丘2+马=公有唯一解、无解和无穷多解。

、王一々+2七=-4,

解：|A|=-仅-4)伏+1)

①当|A|w0n%w4,-1时方程组有唯一解

15

k2+2k

x.=---------

1女+1

Tnk2+2k+4

=-----------

'Dk+\

-2k

k+\

②人=一1时

1-1•411-1-4

-1I-1T000-5

12•—40-23,—8

r（A）=2,/•⑸=3wr（A）无解

③左=4时

114•4103•0

-141•16011-4

1-12•-4000•0

=2<〃=3有多个解

—3、0

基础解系只有一个七-1,特解即

I。，

1212

【例10】A01,Ax=0为二维解空间，求Ax=0通解

01

10l-2r2-2?

解An01

00("1)2(1)2

QA)=〃―r(S)=4—2=2；：.t=\

16

’I0-10、

A0111

.00007

、’0、

【例11】1，/=2

J7

问力为何值时:

(1)£可由火,。2，。3线性表示，目唯一；

(2)万可由名,。2，%线性表示，且不唯一；

(3)4不能由%线性表示。

解：设£=犬乌+x2a2+x3a3则

(1+4)玉+/+%3=。

<X]+(1+X)/+演=义

X]+X,+(1+九)X3=%-

/

‘1+411•0、111+2•22

A11+A1•202-2­2-22

,111+2.九2700-4(4+3),丸(1—2A—4),

可见：

(1)解唯一时可满足=4w0且4w-3。

(2)当4=0时，月可由名,。2，。3线性表示，且不唯一。

(3)当;I=一3时,仅不能由％%,线性表示。

【例12]已知4=(。],%，%，%)，%为四维列向量，其中%，%，%线性无关，

a}=2a2-臼，，=%+%+%+%；求AX=廿的通解。

17

x,

解：令X=AX=0=xta,+x,a2+x3a3+x4a4=a,+a2+a3+a4

%3

lX4>

把a】=2%_%代入上式得：(2王+x2-3)(Z2+(-%(+x3)(z3+(x4-l)a4=0

2%+九2=3

=><-%]+x3=0

p4=1

'000

210

A=

-101

、000

n-r

nX

2的三阶矩阵B，使AB=O。

112、-2

解Ax-0=>A000,基础解系为：10

000)17

-1-20、

由于秩=2,所求矩阵第三列取0向量n8=100

,°10,

玉+工2+*3=0

【例14］已知线性方程组ax1+bx2+用=0问：

221

ax{+bx2+cxi=0

18

（1）a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？

（2）a,仇c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。

解：系数行列式显然为范德蒙型，故

111

D=abc=

a2b2c2

（1）当b^a,c手a,c^bnD彳。，方程有唯一零解：司=x,=七=。

（2）分四种情形讨论：

1。当。=b*c时，原方程变为，；3，由于方程简单明了，故直接求解（此

［七=0

时使用RREF反倒麻烦）：J=K（1,-1,0）

2°当“=c工b时，原方程变为rl+°,由于方程简单明了，故直接求解（此

上=0

时使用RREF反倒麻烦）：彳=&（0,1,-1）

3°当〃=cw。时，原方程变为'-3，由于方程简单明了，故直接求解（此时

E=0

使用RREF反倒麻烦）：g=&（o,1,-1）

4°当a=b=c时，原方程变为xl+x2+xi=0，使用RREF求解：

&=勺（一1,1,0）+勺（一1，。，1）。

X+2X2+3刍=0

x+bx+cx3=0

【例15】已知齐次方程组(1)2%+39+5七=。与}2

⑵2

2x,+bx2+(c+l)%3=0

X+工2+“=0

同解，求a,b,c。

解：设（1）（2）的系数矩阵分别为A,B0由于方程组（2）的方程个数大于未知数个数，故

有无穷多解，（1）（2）同解，解空间同维度,必有R（A）＜3,因此：

19

123

Ml2350=a=2

11a

123、13、I23、T01、

A2350-101101(*)

1100000

2,-I°,.0/RREF

故⑴的基础解系为4=(T，-LO'

b=\或<b=0

4=(7,TO'代入方程(2))

c=2c=1

b=l112、'101、'101

当nB.■显然与(*)式同解。

c=221-111

3,、0、0/RREF

b=Q01101

当nB显然与(*)式不同解。

c=1、2027000JRREF

所以，终上所述：a=2,b=1,c=2。

【例16］确定常数a,使向量囚=(1,1,a)',a2=(1,a,1)',a3=(a,1,1)'可由向量

组=(LLa)',乩=(-2,a,4)，/?3=(-2,a,a)7线性表示，4%四不能由

%,四线性表示。

解：根据题意，向量组A能由向量组B线性表示(A—B),8不能由A线性表示，说明

系嬲巨阵不可逆，即|川=0。故

11a

|A|=1a1=-(2+a)(a-l)=0=a=l或-2

a11

•当。=1时，

20

11a、411、1-2—2、'1-2-2、

A1a1111B=Iaa111

11J11J4a）41

111-2—2、1111-2-2111-2-2\

（A|8）=1111110000-3-30000-3-3

U111470000—6-30000—6-3

’1111—2-2、1111-2-2"

00001000011

.000020000。-I

nR（A）=l;H（A|3）=3wR（A）n4V=8无解,3不能由A线性表示;

q-2-2111、

（B|A）=011000nR（B）=3;R（8|A）=3=R（B）

,00-10007

=>8X=A有解，A能由B线性表示;

故。=1满足全部条件。

•当。二一2时,

1a、1-2、1-241-2-2、

A二1a11-21,B1a1-2-2

a11-2114a）-24-2

1-21-2-2、’11-21-2-2\

（A|3）=1-211-2-20-33000

-211-24-2

7<03-300-67

11-21-2-211-21-2-2

->0-33000一01-1000

00000—60000017

nR（A）=2;R（A⑻=2=&（4）nA¥=5有解,3能由A线性表示，与条件矛盾。

故。=-2不合题意。

综上所述：。=1。

尼回本题告诉我们：向量组之间的线性表示、方程组AX=8有解无解及秩三者通过

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公共知识点"初等变换"的过度关系，是常年考点定势。请读者反复揣摩，下例

让你再度领会这种方法。

【例17】设向量组（A）/=（1,0,2），%=（1,1,3），％=（1，-1，q+2）7和向量组

⑻用=（1,2,a+3）7/2=（2,1,a+6）「，笈3=（2,1,a+4）\试问：当a为何值时，

（A）,（5）等价？当a为何值时，（4）,（3）不等价？

解：利用过度技术："初等变换二

11122](102-1

(ag2a31/夕24)=。1-1211-01-1211

12

Qa+3a+6a+4)(0

3+20。+1a-\a+1a-\)

•当。。一1时

2a3[=。+1nR（/a2a3）=3=R（/a2a31AAA）

nAX=8有唯一解，8=（片P243）可以由4=（。1。2。3）线性表示。

,-111102、

（44仅3I>21101-1

、。一1。+1Cl-\00。+1,

n|£啰2闾工。=R（男尸2四）=3=R（Z?iAAIa.2a3）

=>BX=A有唯一解，A=（a]a2a3）可以由8=（四£2尸3）线性表示。

所以，当a#—1时,（4）,（B）等价。

•当a=—1时

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‘102-111、’102-111、

1a&a八岫01-121101-1211

,00a+1ci—1a+1ci—1,,000-20—2,

=>R（ag2a3）=2,R{a}a2ai\）=3=>AX=5无解n8不能由A线性表示。

所以，当。=-1时，（A）,（B）不等价。

【例18】设A,B是〃阶非零矩阵，满足AB=O,A*HO，若%，a2,L,4为BX=O

的一个基础解系，a是任意〃维列向量，证明：8a可由a,%a2，L,%线性表示，并

说明这个表示是否唯一。

解：由AB=0和BwO（A8=0有非0解）推知A不可逆（否则8=0），即R（B）＜〃，

又A*#0，根据

n,R（4）=〃

R（A"）=＜1,R（A）=〃—In则有H（A*）=lnR（A）=〃-l

0,R（A）＜n-\

又AB=0nR（A）+R（B）V〃nR（B）4』-（〃-l）=lnR（B）=l

推得BX=O的解空间为R（S）=〃-R（8）=〃-1维，设为即a2,L,%_一

故，若a与囚，a2,L,a,i线性相关，则a是8X=0的解，即&z=0，显然Ba可

由a,at,a2,L,ak（攵=线性表示但表示法不唯一；

若a与%，％，L,a,1线性无关，则a不是BX=O的解，即及ZHO，显然3a也

可由a,a1，a2,L,ak（攵=〃-1）线性表示但表示法唯一。

【例19】设「（1,）=〃；B=Bnxs,证明：r（AB）=厂⑻。

证明：只需证明ABX=0和BX=0同解，因为此时AB的列向量组与B的列向量组有相

同的线性关系,从而r（A8）=r（8）。

s维向量〃是ABX=O的解=A8〃=0,因为A列满秩，所以b7=0,即〃也是

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8X=0的解，于是ABrj=0的解一定是8X=0的解反之8X=0的解一定是A助=0的

解。从而4?X=0和8X=0同。

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附录两个线性方程组的公共解集的题型和题法2015

线性方程组是考研数学试卷线性代数部分的重点，不仅要考计算题（求通解），方程组

的理论部分也是重要考点，两个线性方程组的解的关系是近年来在试卷中屡屡涉及的问题，

但是这个问题不仅有关的教材都没有讨论，一般的辅导材料中也找不到它。下面是对这个问

题的一些探讨。

一、线性方程组的公共解

如果两个线性方程组（I）和（n）都有〃个未知数，则它们的公共解就是既满足（I）

又满足（ID的〃维向量