20XX年高考全国卷2理科数学真题(附含答案解析)

千里之行，始于足下。第2页/共2页精品文档推荐20XX年高考全国卷2理科数学真题(附含答案解析)20XX年一般高等学校招生全国统一考试理科数学

本试卷共23题，共150分，共5页。

一、挑选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，惟独一项是符合题目要求的。

1.

A.B.C.D.

2.已知集合A=｛（x，y）｜x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为

A.9

B.8

C.5

D.4

3.函数f（x）=e2-e-x/x2的图像大致为

A.

B.

C.

D.

4.已知向量a，b满脚∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=

A.4

B.3

C.2

D.0

5.双曲线x2/a2-y2/b2=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为

A.y=±x

B.y=±x

C.y=±

D.y=±

6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=

A.4

B.

C.

D.2

7.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

A.i=i+1

B.i=i+2

C.i=i+3

D.i=i+4

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界率先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数能够表示为两个素数的和”，如30=7+23，在别超过30的素数中，随机选取两个别同的数，其和等于30的概率是

A.B.C.D.

9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，

AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为

A.B.

10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是

A.B.C.D.π

11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满脚f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=

A.-50

B.0

C.2

D.50

12.已知F1，F2是椭圆C:=1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且歪率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为

A..

B.

C.

D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为________。

14.若x，y满脚约束条件则z=x+y的最大值为_________。

15.已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=________。

16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为

,则该圆锥的侧面积为________。

三、解答题：共70分。解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤。第17～21题何必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依照要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S1=-15。

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值。

18.（12分）下图是某地区2000年至20XX年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图

为了预测该地区20XX年的环境基础设施投资额，建立了y与时刻变量t的两个线性回归模型。依照2000年至20XX年的数据（时刻变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=-30.4+13.5t；依照2010年至20XX年的数据（时刻变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t。

（1）分不利用这两个模型，求该地区20XX年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你以为用哪个模型得到的预测值更可靠？并讲明理由。

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。

20.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点。（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值。

21、（12分）差不多函数f（x）=ex

-ax2

。

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）惟独一具零点，求a。

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分。22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直线l的参数方程为，

（t为参数）。

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的歪率。

23：[选修4-5：别等式选说]（10分）设函数f（x）=5-|x+a|-|x-2|。

（1）当a=1时，求别等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1时，求a的取值范围。参考答案:一、挑选题

1.D

2.A

3.B

4.B

5.A

6.A

7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、填空题13.2yx=14.9

15.1

2

-

16.402π

三、解答题17.(12分)

解：（1）设{}na的公差为d，由题意得13315ad+=-.由17a=-得d=2.

因此{}na的通项公式为29nan=-.

（2）由（1）得22

8(4)16nSnnn=-=--.

因此当n=4时,nS取得最小值,最小值为?16.

18.(12分)

解：（1）利用模型①,该地区20XX年的环境基础设施投资额的预测值为

?30.413.519226.1y

=-+?=(亿元).利用模型②,该地区20XX年的环境基础设施投资额的预测值为

?9917.59256.5y

=+?=(亿元).（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：

（ⅰ）从折线图能够看出,2000年至20XX年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt=-+上下.这讲明利用2000年至20XX年的数据建立的线性模型①别能非常好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至20XX年的数据对应的点位于一条直线的附近，这讲明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至20XX年的数据建立的线性模型?9917.5y

t=+能够较好地描述2010年往后的环境基础设施投资额的变化趋势,所以利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网

（ⅱ）从计算结果看,相关于20XX年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.讲明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.(12分)

解：（1）由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)ykxk=->.

设1221(,),(,)AyxyxB，

由2(1),4ykxyx

=-??=?得2222(24)0kxkxk-++=.2

16160k?=+>，故1222

24k

xkx++=.因此1222

44

||||||(1)(1)xkABAFBFkx+=+=+++=.

由题设知22

44

8kk

+=，解得1k=-（舍去），1k=.所以l的方程为1yx=-.

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，因此AB的垂直平分线方程为2(3)yx-=--，即5yx=-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，则

0022

0005,

(1)(1)16.2

yxyxx=-+???-++=

+??解得003,2xy=??=?或0011,6.xy=??=-?所以所求圆的方程为22(3)(2)16xy-+-=或22

(11)(6)144xy-++=.

20.(12分)

解：（1）因为4APCPAC===，O为AC的中点，因此OPAC⊥

，且OP=连结OB.

因为2

ABBCAC==，因此ABC△为等腰直角三角形，且OBAC⊥，1

2OBAC=

=.

由222OPOBPB+=知POOB⊥.

由,OPOBOPAC⊥⊥知PO⊥平面ABC.

（2）如图，以O为坐标原点，OBuuur

的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz-.

由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),OBACPAP-=uuur

取平面PAC的法向量(2,0,0)OB=uuur

.

设(,2,0)(02)Maaa-，()hx没有零点；

（ii）当0a>时，()(2)e

x

h'xaxx-=-．

当(0,2)x∈时，()0h'x．因此()hx在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．

故24(2)1e

a

h=-

是()hx在[0,)+∞的最小值．学&科网①若(2)0h>，即2

ea，由于(0)1h=，因此()hx在(0,2)有一具零点，

由（1）知，当0x>时，2exx>，因此3334224

1616161

(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa

=-=->-=->．故()hx在(2,4)a有一具零点，所以()hx在(0,)+∞有两个零点．综上，()fx在(0,)+∞惟独一具零点时，2

e4

a=．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为22

1416

xy+=．

当cos0α≠时，l的直角坐标方程为tan2tanyxαα=?+-，当cos0α=时，l的直角坐标方程为1x=．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得对于t的方程22(13cos)4(2cossin)80ttααα+++-=．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，因此①有两个解，设为1t，2t，则120tt+=．

又由①得1224(2cossin)

13costtααα

++=-+，故2cossin0αα+=，于是直线l的歪率tan2kα==-．