2022-2023学年湖北省武汉市经开一中九年级（下）寒假反馈数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市经开一中九年级（下）寒假反馈数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．将一元二次方程3x2＝﹣2x+5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、﹣2、5 B．3、2、﹣5 C．3、﹣2、﹣5 D．3、5、﹣22．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，流传下来很多经典棋局．现取某棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案（不考虑颜色）是中心对称的是（）A． B． C． D．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果a2＝b2，那么a＝b D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上4．如图（1）是博物馆展出的古代车轮实物．为测量车轮半径，如图（2）所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则OA的长度是（）A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm5．利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（）A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+4）2＝9 D．（x﹣4）2＝96．将抛物线y＝x2+3x+2向右平移a单位正好经过原点，则a的值为（）A．a＝1 B．a＝2 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝1或a＝27．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB＝1，∠B＝60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C． D．18．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，则一次打开锁的概率是（）A． B． C． D．9．如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点C′处，若⊙O的周长为10，则的长为（）A．1 B．1.25 C．1.5 D．210．抛物线y＝ax2+bx+c过点（x1，t）和（x2，t），若点和均在抛物线上，关于y1，y2的关系描述正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1，y2的大小无法确定二、填空题（本大题共6小题，共18分）11．在平面直角坐标系xOy中，将点（﹣2，3）绕原点O旋转180°，所得到的对应点的坐标为．12．如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是．13．为了保障医护人员在抗击疫情期间的个人防护安全，我市不断增加一线医疗工作者的医疗防护保障资金，2019年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用为20000元，2021年人均医疗防护费用为24200元．则2019年到2021年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用的年平均增长率是．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，则DE＝．15．下列关于二次函数y＝x2﹣2ax+4a（a为常数）的结论：①该函数的图象与x轴有两个交点时，a必大于4；②该函数的图象必过一定点；③该函数的图象随着a的取值变化时，其顶点会两次落在x轴上；④点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上，若a＞﹣1且﹣a＜x1＜x2时，y1＜y2．其中正确的结论是（填写序号）．16．如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且∠NAD＝30°，AB＝2，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转60°至BQ，连CQ，CQ的最小值是．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有一个根是x＝3，求c与另一个根．18．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数．19．防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A测温通道通过的概率是；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．20．如图（1），⊙O与矩形ABCD的边AB相切于点H，与边AD，BC分别交于点G，E，F，K，＝．（1）求证：∠AEH＝∠BFH；（2）如图（2），连接GF，连接DF交⊙O于点M，且GM平分∠DGF，若半径＝5，ED＝4，求BK．21．如图，由小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹）（1）在图（1）中作线段AB的垂直平分线；（2）在图（2）中的⊙O上画一点E，使＝；（3）在图（3）中过A，B，C的圆上找一点F，使AF平分∠CAB．22．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）求y与x的关系式；（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．23．问题背景如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．尝试应用如图2，△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；拓展创新如图3，在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．24．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）．（1）若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式；（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），M、N为线段AB上的两个点，MN＝2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，当S△HCQ＝2S△GCQ，试证明是否为一个定值．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．将一元二次方程3x2＝﹣2x+5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、﹣2、5 B．3、2、﹣5 C．3、﹣2、﹣5 D．3、5、﹣2【分析】把原方程根据移项法则化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可．解：3x2＝﹣2x+5，移项得，3x2+2x﹣5＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、2、﹣5，故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史，流传下来很多经典棋局．现取某棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案（不考虑颜色）是中心对称的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果a2＝b2，那么a＝b D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．根据定义即可解决．解：A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件．B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；C．如果a2＝b2，那么a＝b，也可能是a＝﹣b，此事件是随机事件；D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上是必然事件；故选：D．【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．如图（1）是博物馆展出的古代车轮实物．为测量车轮半径，如图（2）所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则OA的长度是（）A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm【分析】设⊙O的半径为rcm，根据垂径定理得到AD＝BD＝45cm，接着利用勾股定理得到452+（r﹣15）2＝r2，然后解方程即可．解：设⊙O的半径为rcm，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝45cm，在Rt△OAD中，∵OA＝r，OD＝r﹣15，AD＝45，∴452+（r﹣15）2＝r2，解得r＝75，即OA的长为75cm．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．5．利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（）A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+4）2＝9 D．（x﹣4）2＝9【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．解：x2+4x﹣5＝0，x2+4x＝5，x2+4x+4＝5+4，（x+2）2＝9，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．6．将抛物线y＝x2+3x+2向右平移a单位正好经过原点，则a的值为（）A．a＝1 B．a＝2 C．a＝﹣1或a＝1 D．a＝1或a＝2【分析】根据平移的规律得到向右平移a单位后的抛物线为y＝（x+﹣a）2﹣，然后把（0，0）代入，解关于a的方程即可．解：y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣，将抛物线y＝x2+3x+2向右平移a单位得到y＝（x+﹣a）2﹣，∵平移后的抛物线经过原点，∴0＝（0+﹣a）2﹣解得a＝1或a＝2．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律是解题的关键．7．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB＝1，∠B＝60°，则CD的长为（）A．0.5 B．1.5 C． D．1【分析】利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝2AB＝2，再根据旋转的性质得AD＝AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB＝1，然后计算BC﹣BD即可．解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴BC＝2AB＝2，∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，∴AD＝AB，而∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝1，∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，则一次打开锁的概率是（）A． B． C． D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的情况，即可求出所求的概率．解：列表如下：（其中1，2，3分别表示三把钥匙，a，b表示两把锁，1能开启a，2能开启b），123a（1，a）（2，a）（3，a）b（1，b）（2，b）（3，b）所有等可能的情况有6种，任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的情况有2种，（1，a），（2，b），则P＝．故选：B．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点C′处，若⊙O的周长为10，则的长为（）A．1 B．1.25 C．1.5 D．2【分析】连接AC、BC、CC'，DE，根据题意可判断出△ACB是等腰直角三角形，AD是CC'的垂直平分线，AB是DE的垂直平分线，从而得出∠CAD＝∠BAD＝∠EAB＝22.5°，设的圆心为O'，则O与O'关于AD对称，则OA＝O'A，连接O'F，OO'，则O'在AC上，O'A＝O'F，进而利用∠O'AF＝∠O'FA＝22.5°×3＝67.5°得到∠AO'F，最后利用弧长公式计算即可．解：连接AC、BC、CC'，DE，∵AB为⊙O的直径，点C为的中点，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，∵将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点C处，∴AD是CC'的垂直平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°，∵D、E关于AB对称，∴AB是DE的垂直平分线，∴∠DAB＝∠EAB＝22.5°．设的圆心为O'，则O与O'关于AD对称，∴OA＝O'A，连接O'F，OO'，则O'在AC上，O'A＝O'F，∴∠O'AF＝22.5°×3＝67.5°＝∠O'FA，∴∠AO'F＝180°﹣2×67.5°＝45°．∵⊙O的周长为10，∴⊙O的半径为．∴O'A＝，∴的长为＝1.25．故选：B．【点评】本题考查轴对称的性质、圆的基本性质、弧长计算，解题关键是利用对称计算出半径和圆心角．10．抛物线y＝ax2+bx+c过点（x1，t）和（x2，t），若点和均在抛物线上，关于y1，y2的关系描述正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1，y2的大小无法确定【分析】由抛物线过点（x1，t）和（x2，t）可得两点关于对称轴对称，由点和可得此两点也关于抛物线对称轴对称，进而求解．解：∵抛物线过点（x1，t）和（x2，t），∴抛物线对称轴为直线x＝，设抛物线对称轴为直线x＝m，则x1+x2＝2m，∵+＝＝x1+x2＝2m，∴点和关于抛物线对称轴对称，∴y1＝y2，故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握求抛物线对称轴的方法．二、填空题（本大题共6小题，共18分）11．在平面直角坐标系xOy中，将点（﹣2，3）绕原点O旋转180°，所得到的对应点的坐标为（2，﹣3）．【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解．解：点（﹣2，3）绕原点O旋转180°，所得到的对应点的坐标为（2，﹣3）．故答案为（2，﹣3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．12．如图，激光打靶游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人用激光枪向打靶游戏板发射激光一次（光点落在游戏板上），则光点落在涂色部分的概率是．【分析】根据几何概率的求法：光点落在涂色部分的概率就是涂色区域的面积与总面积的比值．解：∵总面积为4×4＝16，其中阴影部分面积为4，∴光点落在涂色部分的概率是＝；故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率，确定涂色部分的面积与整个方格网的面积之间的关系是解题的关键．13．为了保障医护人员在抗击疫情期间的个人防护安全，我市不断增加一线医疗工作者的医疗防护保障资金，2019年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用为20000元，2021年人均医疗防护费用为24200元．则2019年到2021年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用的年平均增长率是10%．【分析】设2019年到2021年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用的年平均增长率是x，利用2021年人均医疗防护费用＝2019年人均医疗防护费用×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设2019年到2021年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用的年平均增长率是x，依题意得：20000（1+x）2＝24200，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．∴2019年到2021年我市一线医疗工作者年人均医疗防护费用的年平均增长率是10%．故答案为：10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，则DE＝．【分析】如图，连接BD，CD，EC．只要证明DE＝DC，△DCB是等腰直角三角形即可解决问题；解：如图，连接BD，CD，EC．∵点E是△ABC的内心，∴∠DAB＝∠DAC，∠ECA＝∠ECD，∵∠DCB＝∠DAB，∠DEC＝∠EAC+∠ECA，∠ECD＝∠ECB+∠DCB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∵∠DAB＝∠DAC，∴＝，∴BD＝DC，∵BC＝4，∴DC＝DB＝2，∴DE＝2，故答案为2．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是证明DE＝DC．15．下列关于二次函数y＝x2﹣2ax+4a（a为常数）的结论：①该函数的图象与x轴有两个交点时，a必大于4；②该函数的图象必过一定点；③该函数的图象随着a的取值变化时，其顶点会两次落在x轴上；④点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上，若a＞﹣1且﹣a＜x1＜x2时，y1＜y2．其中正确的结论是②③（填写序号）．【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．④④解：∵该函数的图象与x轴有两个交点，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4×4a＞0，∴4a（a﹣4）＞0，∴a＜0或a＞4．∴①错误．∵x＝2时，y＝4﹣4a+4a＝4，∴抛物线过定点（2，4）．∴②正确．∵y＝x2﹣2ax+4a＝（x﹣a）2+4a﹣a2，∴顶点为（a，4a﹣a2）．当4a﹣a2＝0时，a＝0或a＝4，∴③正确．∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a，∴当x＜1时，y随x的增大而减少，x＞1时，y随x的增大而增大，∵a＞﹣1，∴﹣a＜1∴点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上，﹣a＜x1＜x2时，y1，y2的大小关系不确定．∴④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．16．如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且∠NAD＝30°，AB＝2，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转60°至BQ，连CQ，CQ的最小值是﹣．【分析】以AB为边，在AB右侧作等边△ABE，射线AE交CD于T，过C作CH⊥射线AE于H，由△ABE是等边三角形，BP绕B点顺时针旋转60°至BQ，证明△ABP≌△EBQ（SAS），可得∠PAB＝∠QEB＝60°，即知P在直线MN上运动时，Q在直线AE上运动，即Q的运动轨迹是直线AE，从而知当Q运动到H时，CQ最小，最小值即是CH的长度，由∠DAT＝∠DAB﹣∠EAB＝30°，AD＝AB＝2＝CD，可得DT＝，CT＝CD﹣DT＝2﹣，又∠HTC＝∠TAB＝60°，即得CH＝CT•sin60°＝﹣，即得答案．解：以AB为边，在AB右侧作等边△ABE，射线AE交CD于T，过C作CH⊥射线AE于H，如图：∵△ABE是等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°，∵BP绕B点顺时针旋转60°至BQ，∴∠PBQ＝60°，PB＝QB，∴∠PBQ＝∠ABE，∴∠PBA＝∠QBE，在△ABP和△EBQ中，，∴△ABP≌△EBQ（SAS），∴∠PAB＝∠QEB＝60°，∴P在直线MN上运动时，Q在直线AE上运动，即Q的运动轨迹是直线AE，∴当Q运动到H时，CQ最小，最小值即是CH的长度，∵∠DAT＝∠DAB﹣∠EAB＝30°，AD＝AB＝2＝CD，∴DT＝2×tan30°＝，∴CT＝CD﹣DT＝2﹣，∵∠HTC＝∠TAB＝60°，∴CH＝CT•sin60°＝（2﹣）×＝﹣，即CQ的最小值是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的旋转，通过证明∠PAB＝∠QEB得出Q的运动轨迹是直线AE．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有一个根是x＝3，求c与另一个根．【分析】将x＝3代入原方程可求出c值，设方程的另一个根为x1，根据两根之和等于﹣即可求出x1的值，此题得解．解：当x＝3时，原方程为32﹣4×3+c＝0，解得：c＝3．设方程的另一个根为x1，根据题意得：3+x1＝4，解得：x1＝1．∴c的值为3，方程的另一个根为1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，代入x的值求出c值是解题的关键．18．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数．【分析】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE＝45°，易知∠ACD＝90°﹣20°＝70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC＝∠B，则可求．解：根据旋转的性质可知CA＝CE，且∠ACE＝90°，所以△ACE是等腰直角三角形．所以∠CAE＝45°；根据旋转的性质可得∠BCD＝90°，∵∠ACB＝20°．∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°．∴∠EDC＝45°+70°＝115°．所以∠B＝∠EDC＝115°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后对应的线段．19．防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A测温通道通过的概率是；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．解：（1）小明从A测温通道通过的概率是，故答案为：；（2）列表格如下：ABCAA，AB，AC，ABA，BB，BC，BCA，CB，CC，C由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．如图（1），⊙O与矩形ABCD的边AB相切于点H，与边AD，BC分别交于点G，E，F，K，＝．（1）求证：∠AEH＝∠BFH；（2）如图（2），连接GF，连接DF交⊙O于点M，且GM平分∠DGF，若半径＝5，ED＝4，求BK．【分析】（1）连接OH，OE，OF，证明△OEH≌△OFH，得∠EHO＝∠FHO，再由平行线的性质得结论；（2）连接EF、GK、OH，过点O作OP⊥KF于P，先证明GF是直径，再证明DG＝GF，进而求得KF，由BK＝BP+PF﹣FK得出结果．【解答】（1）证明：连接OH，OE，OF，如图（1），则OH＝OE＝OF，∵，∴EH＝FH，在△OEH和△OFH中，，∴△OEH≌△OFH（SSS），∴∠OHE＝∠OHF，∵⊙O与矩形ABCD的边AB相切于点H，∴OH⊥AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴OH∥AD∥BC，∴∠AEH＝∠OHE，∠BFE＝∠OHF，∴∠AEH＝∠BFH；（2）解：连接EF、GK、OH，过点O作OP⊥KF于P，如图（2），在△AHE和△BHF中，，∴△AHE≌△BHF（AAS），∴AE＝BF，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∴∠AEF＝90°，∴GF是⊙O的直径，∴∠GMF＝∠GMD＝90°，∵∠DGM＝∠FGM，∴∠GDM＝∠GFM，∴GD＝GF＝2OF＝10，∵DE＝4，∴EG＝10﹣4＝6，∵GF为直径，∴∠GKF＝90°＝∠EFK＝∠GEF，∴四边形GEFK是矩形，∴FK＝EG＝6，∵OP⊥FK，∴PK＝PF＝3，∵AB是⊙O的切线，∴∠OHB＝90°＝∠HBK＝∠BKO，∴四边形BHOK为矩形，∴BP＝OH＝5，∴BK＝BP+PF﹣FK＝5+3﹣6＝2．【点评】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，垂径定理，全等三角形的性质与判定，关键是正确构造辅助线，使已知条件与未知条件联系起来．21．如图，由小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹）（1）在图（1）中作线段AB的垂直平分线；（2）在图（2）中的⊙O上画一点E，使＝；（3）在图（3）中过A，B，C的圆上找一点F，使AF平分∠CAB．【分析】（1）在网格中找到格点C、D，使得AC＝BC、AD＝BD．连接CD，即可求解；（2）根据垂径定理，即可求得点E；（3）作线段BC的垂直平分线DE，交圆于点F，连接AF即可．解：（1）如图，CD所在的直线即为AB的垂直平分线，（2）找到格点D，使得AD＝BD，连接OD并延长，交⊙O于点E，如图：则点E即为所求；（3）连接BC，找到格点D、E，使得CD＝DB、CE＝BE，连接DE，交圆O于点F．连接AF，则AF即为所求，如图：【点评】此题是圆的综合题，考查了线段垂直平分线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，几何作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，几何作图是解题的关键．22．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）求y与x的关系式；（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，进而求解；（3）由题意得：w＝（x﹣20×2）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，而40≤x≤a，进而求解．解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得，故y与x的关系式为y＝﹣x+120；（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，∵x﹣20≥0，﹣x+120≥0，x﹣20≤20×100%，∴20≤x≤40，∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，故当x＜70时，w随x的增大而增大，∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；（3）当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，∵x﹣2×20≥0，∴x≥40，又∵x≤a，∴40≤x≤a．∴有两种情况，①a＜80时，即40≤x≤a，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，②a≥80时，即40≤x≤a，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，∴这种情况不成立，∴a＝70．【点评】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．23．问题背景如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）．尝试应用如图2，△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；拓展创新如图3，在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AO＝CO＝BO，∠AOB＝∠AOC＝90°，即点A绕点O顺时针旋转90°与点B重合，点C绕点O顺时针旋转90°与点A重合，通过证明△OBD≌△OAE，可证得OD＝OE，∠DOE＝90°，即点E绕点O顺时针旋转90°与点D重合，即可求解；（2）由等边三角形的内心性质可得AO＝CO＝BO，∠AOB＝∠AOC＝90°，∠CAO＝∠ABO＝45°，即点A绕点O顺时针旋转90°与点B重合，点C绕点O顺时针旋转90°与点A重合，通过证明△OBD≌△OAE，可证得DO＝EO，∠DOE＝120°，即点E绕点O顺时针旋转120°与点D重合，即可求解；（3）由题意可得点D在以AB为直径的圆上运动，则当点D在线段CH上时，CD有最小值为﹣1，当点D在线段CH的延长线上时，CD有最大值为+1，即可求解．解：（1）如图1，取BC的中点O，连接AO，DO，EO，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点O是BC的中点，∴AO＝CO＝BO，∠AOB＝∠AOC＝90°，∠CAO＝∠ABO＝45°，∴点A绕点O顺时针旋转90°与点B重合，点C绕点O顺时针旋转90°与点A重合，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，AE＝BD，∵∠ABD＝∠CAE，∠CAO＝∠ABO＝45°，∴∠OBD＝∠OAE，又∵AO＝BO，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴DO＝EO，∠BOD＝∠EOA，∴∠DOA+∠AOE＝∠BOD+∠AOD＝90°，∴∠DOE＝90°，∴点E绕点O顺时针旋转90°与点D重合，∴△ABD可以由△CAE绕点O顺时针旋转90°得到，即旋转中心为点O，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°；（2）可以，旋转中心是△ABC的内心，理由如下：如图2，取△ABC的内心O，连接AO，BO，CO，DO，FO，∵△ABC为等边三角形，点O是△ABC的内心，∴OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，∴∠ABO＝∠BAO＝∠OAC＝30°，∴点A绕点O顺时针旋转120°与点B重合，点C绕点O顺时针旋转120°与点A重合，∵∠ADB＝∠AEC＝60°，∴∠ABD+∠BAD＝120°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD+∠CAE＝120°，∴∠ABD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，AE＝BD，∠CAE＝∠ABD，∴∠DBO＝∠EAO，∴△DBO≌△EAO（SAS），∴DO＝EO，∠BOD＝∠EOA，∴∠DOE＝∠AOB＝120°，∴点E绕点O顺时针旋转120°与点D重合，∴△ABD可以由△CAE绕点O顺时针旋转120°得到；（3）如图3，取AB的中点H，连接CH，∵AB＝2＝AC，点H是AB的中点，∴AH＝1，∴CH＝＝＝，∵DB⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴点D在以AB为直径的圆上运动，∴当点D在线段CH上时，CD有最小值为﹣1，当点D在线段CH的延长线上时，CD有最大值为+1，∴CD的长的取值范围为：﹣1≤CD≤+1．【点评】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三