2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（上）月考数学试卷（9月份）(含解析)

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级第一学期月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．不等式﹣x＜2的最小整数解（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．13．下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3，1，2 B．2，3，6 C．5，8，15 D．9，9，14．一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形5．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．6．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝4∠DAE，那么∠C的度数为（）A．45° B．60° C．70° D．72°8．若不等式组的解集为x＜﹣m，则下列各式正确的是（）A．m≥n B．m≤n C．m＞n D．m＜n9．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（）A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；①∠FAG＝2∠ACF，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11．若3a＜2a，则a﹣10（填“＞”或“＜”）．12．如图，已知在△ABC中，∠A＝35°，其外角∠ACD＝80°，则∠B＝度．13．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．14．若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则a的取值范围是．15．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，S△ABC＝26，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，作DE⊥BC于E，若DE＝2，则BC的长为．16．如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝．三、解答题（本大题有7个小题，共66分）17．解下列不等式（组）．（1）3（x﹣1）﹣5＜2x；（2）．18．（1）若x＞y，比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由；（2）若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，求a的取值范围．19．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度数．20．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；（3）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．21．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．22．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B钟纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°，∠DEC＝°；（2）当DC＝AB＝2时，△ABD与△DCE是否全等？请说明理由；（3）在点D运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．

参考答案一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．2．不等式﹣x＜2的最小整数解（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．解：解不等式﹣x＜2，得x＞﹣2，所以不等式﹣x＜2的最小整数解﹣1．故选：B．3．下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3，1，2 B．2，3，6 C．5，8，15 D．9，9，1【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．解：A、2+1＝3，不能够组成三角形，不符合题意；B、2+3＜6，不能够组成三角形，不符合题意；C、5+8＜15，不能组成三角形，不符合题意；D、1+9＝10＞9，能够组成三角形，符合题意．故选：D．4．一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【分析】由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了12份，最大角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可．解：因为3+4+5＝12，5÷12＝，180°×＝75°，所以这个三角形里最大的角是锐角，所以另两个角也是锐角，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，所以这个三角形是锐角三角形．故选：A．5．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC，∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，故选：B．6．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm【分析】设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．分①xcm为腰；②4xcm为腰两种情况讨论即可．解：设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．①当xcm为腰时，∵x+x＜4x，∴x，x，4x不能组成三角形；②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，∵4x+4x+x＝18，∴x＝2，∴该等腰三角形底边长为2cm．故选：C．7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝4∠DAE，那么∠C的度数为（）A．45° B．60° C．70° D．72°【分析】设∠DAE＝a°，则∠B＝4a°，∠BAC＝8a°，求出∠C＝180°﹣12a°，求出∠DAC＝4a°，根据∠DAC﹣∠EAC＝∠DAE得出方程4a﹣（12a﹣90）＝a，求出a即可．解：设∠DAE＝a°，则∠B＝4a°，∠BAC＝8a°，即∠C＝180°﹣12a°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＝90°﹣∠C＝12a°﹣90°，∵AD是角平分线，∠BAC＝8a°，∴∠DAC＝4a°，∵∠DAC﹣∠EAC＝∠DAE，∴4a﹣（12a﹣90）＝a，解得：a＝10，∴∠C＝180°﹣12a°＝60°，故选：B．8．若不等式组的解集为x＜﹣m，则下列各式正确的是（）A．m≥n B．m≤n C．m＞n D．m＜n【分析】解不等式﹣x＞n得：x＜﹣n，根据口诀：同小取小可得﹣m≤﹣n，再由不等式的基本性质即可得出答案．解：解不等式﹣x＞n得：x＜﹣n，∵不等式组的解集为x＜﹣m，∴﹣m≤﹣n，则m≥n，故选：A．9．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（）A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人【分析】根据每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本，得出3x+8≥5（x﹣1），且5（x﹣1）+3＞3x+8，分别求出即可．解：假设共有学生x人，根据题意得出：5（x﹣1）+3＞3x+8≥5（x﹣1），解得：5＜x≤6.5．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；①∠FAG＝2∠ACF，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】根据三角形的中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；利用三角形内角和定理得到∠AFC+∠ACF＝90°，∠DGC+∠GCD＝90°，则利用∠ACF＝∠GCD得到∠AFC＝∠DGC，然后根据对顶角相等得到∠AFC＝∠AGF，则可对②进行判断；连接DE，如图，根据斜边上的中线性质得到DE＝EC＝AE，所以∠EDC＝∠ACD＝2∠HCD，再利用三角形外角性质得∠EDC＝∠EBD+∠DEB，由于只有当DB＝DE时，∠EBD＝∠DEB，此时∠HCD＝∠EBD，然而从条件中不能确定AC＝2BD，即不能确定DB＝DE，所以不能确定∠HCD＝EBD，于是可对③进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD＝∠ACD，则利用角平分线的定义得到∠BAD＝2∠ACF，于是可对④进行判断．解：∵BE是△ABC的中线，∴AE＝CE，∴S△ABE＝S△BCE，所以①正确；∵∠BAC＝90°，∴∠AFC+∠ACF＝90°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠DGC+∠GCD＝90°，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠GCD，∴∠AFC＝∠DGC，∵∠AGF＝∠DGC，∴∠AFC＝∠AGF，所以②正确；连接DE，如图，∵DE为Rt△ADC的斜边AC的中线，∴DE＝EC＝AE，∴∠EDC＝∠ACD＝2∠HCD，∵∠EDC＝∠EBD+∠DEB，∴只有当DB＝DE时，∠EBD＝∠DEB，此时∠HCD＝∠EBD，∵条件中不能确定AC＝2BD，∴不能确定DB＝DE，∴不能确定∠HCD＝EBD，∴HB＝HC不成立，所以③错误；∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠BAD＝2∠ACF，所以④正确．故选：B．二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11．若3a＜2a，则a﹣1＜0（填“＞”或“＜”）．【分析】根据已知可得a＜0，然后利用不等式的性质，进行计算即可解答．解：∵3a＜2a，∴3a﹣2a＜0，∴a＜0，∴a﹣1＜0﹣1，∴a﹣1＜﹣1，∴a﹣1＜0，故答案为：＜．12．如图，已知在△ABC中，∠A＝35°，其外角∠ACD＝80°，则∠B＝45度．【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解．解：∵∠A＝35°，∠ACD＝80°，且∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠B，∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝45°．故答案为：45．13．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．14．若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则a的取值范围是5＜a≤6．【分析】，根据不等式组只有2个整数解，得到关于a的取值范围，即可得到答案．解：∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解，∴不等式组的解集为：3＜x＜a，且两个整数解为：4，5，∴5＜a≤6，即a的取值范围为：5＜a≤6，故答案为：5＜a≤6．15．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，S△ABC＝26，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，作DE⊥BC于E，若DE＝2，则BC的长为12．【分析】过D作DF⊥AB于F，DH⊥AC于H，连接AD，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝DH＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：过D作DF⊥AB于F，DH⊥AC于H，连接AD，∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，DE⊥BC，∴DE＝DF＝DH＝2，∵S△ABC＝S△ADB+S△ADC+S△BCD＝26，∴×6×2+8×2+BC×2＝26，解得，BC＝12，故答案为：12．16．如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝30°或120°﹣α．．【分析】分两种情况讨论P点的位置．点P位于MN左侧．点P位于MN右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等腰三角形的性质可求出∠OMP的度数，解：（1）当P位于MN左侧时，如图1，∵△OMN是等边三角形，∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°，∵∠MNP＝∠AOB＝α，∴∠PON＝∠PNO，∴PO＝PN，△MPO≌△MPN，（SAS）∴∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝×60°＝30°（2）当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ，此时△MPQ是等边三角形，∴∠MPQ＝60°，∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，故答案为：30°或120°﹣α．三、解答题（本大题有7个小题，共66分）17．解下列不等式（组）．（1）3（x﹣1）﹣5＜2x；（2）．【分析】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，即可求得不等式的解集；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．解：（1）去括号得：3x﹣3﹣5＜2x，移项得：3x﹣2x＜3+5，合并得：x＜8；（2），由①得：x≤1，由②得：x＞﹣2，∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤1．18．（1）若x＞y，比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由；（2）若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，求a的取值范围．【分析】（1）先求出（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）的值，再根据x＞y判断即可；（2）根据不等式的性质3得出a﹣3＜0，再求出答案即可．解：（1）﹣3x+5＜﹣3y+5，理由是：∵x＞y，∴y﹣x＜0，∴（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）＝﹣3x+5+3y﹣5＝3y﹣3x＝3（y﹣x）＜0，∴﹣3x+5＜﹣3y+5；（2）∵x＞y，（a﹣3）x＜（a﹣3）y，∴a﹣3＜0，∴a＜3，即a的取值范围是a＜3．19．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）若∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，求∠CED的度数．【分析】（1）证明∠BAF＝∠ECD，AF＝CE，再结合AB＝CD，可得结论；（2）利用三角形的外角的性质先求解∠AFB＝102°，结合△ABF≌△CDE，可得∠CED＝∠AFB＝102°．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠ECD，∵AE＝CF，∴AE﹣EF＝CF﹣EF∴AF＝CE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）；（2）解：∵∠BCF＝30°，∠CBF＝72°，∴∠AFB＝∠BCF+∠CBF＝30°+72°＝102°，∵△ABF≌△CDE，∴∠CED＝∠AFB＝102°．20．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；（3）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）根据题意得到关于k的不等式，解不等式即可求得；（3）由m＝2x﹣3y得出m＝7k﹣5，即可得出k＝≤1，解不等式即可求得m的正整数解；解：（1），①+②得，4x＝2k﹣1，解得x＝；②﹣①得2y＝3﹣4k，解得y＝，∴二元一次方程组的解为；（2）∵方程组的解x、y满足x+y＞5，∴+＞5，2k﹣1+2（3﹣4k）＞20，2k﹣1+6﹣8k＞20，﹣6k＞15，k＜﹣；（3）m＝2×﹣3×＝7k﹣5，∴k＝≤1，解得m≤2，∵m是正整数，∴m的值是1，2．21．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形；（2）证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE与△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF．22．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B钟纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？【分析】（1）设我校购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；（2）设我校购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；（3）设总利润为W元，根据总利润＝两种商品的利润之和建立解析式，由解析式的性质就可以求出结论．解：（1）设我校购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，由题意，得，∴解方程组得：答：购进一件A种纪念品需要50元，购进一件B种纪念品需要100元．（2）设我校购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，由题意，得则，解得，解得：8≤y≤10∵y为正整数∴y＝8，9，10答：共有3种进货方案；（3）设总利润为W元，由题意，得W＝20x+30y＝20（80﹣2y）+30y，＝﹣10y+1600（20≤y≤25）∵﹣10＜