2022-2023学年江苏省镇江市句容市华阳片区八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省镇江市句容市华阳片区八年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列说法中，正确的是（）A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．全等图形的面积相等3．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72° B．60° C．58° D．50°4．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE5．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点7．如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE．若∠B＝80°，∠BAE＝26°，则∠EAD的度数为（）A．36° B．37° C．38° D．45°8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（）A．4 B．5 C．6 D．79．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确10．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，ED⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，AB＝11，AC＝5，则BE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）11．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有条．12．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是．13．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝．14．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件．15．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．16．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝．17．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，ED′与BC交于点为G，点D、点C分别落在点D′、点C′的位置上，若∠1＝110°，则∠GFC′＝．18．已知点P为∠AOB内一点，且∠AOB＝30°，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若OP＝6，则△PMN的周长为．19．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．三、解答题（共70分）21．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC．22．如图，AB⊥DB，AC⊥EC，垂足分别为B、C．AD＝AE，AC＝AB，BD与CE交于点F．（1）求证：∠ADB＝∠AEC；（2）求证：CD＝BE；（3）连接AF，则图中共有对全等三角形．23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．24．（1）①在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；②△ABC的面积为．③在直线l上找到一点P，使PB+PC最短．（2）如图2，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，用尺规在BC边上求作一点D，使D到AC的距离等于DB的长；若BD＝3，则△ACD的面积＝．25．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．26．已知，在△ABD中，∠B＝45°，∠ADB＝90°，点B关于直线AD的对称点为E，连接AE，点C在射线DE上，EN⊥AC于N，BM⊥AC于M．（1）若点C在点E的右边，①依题意，在图中补全图形；②若EN＝1，BM＝3，求MN的长；（2）当点C在射线DE上运动时，请直接用等式表示出EN，BM，MN之间的数量关系（不需要证明）．27．如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD＝CD，且AE＝BE．（1）求线段AO的长；（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】结合轴对称图形的概念进行求解．解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．下列说法中，正确的是（）A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．全等图形的面积相等【分析】全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析．解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，故本选项错误；B、形状相等的两个图形不一定能完全重合，故本选项错误；C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，故本选项错误；D、全等图形的面积相等，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了全等形的概念，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用．3．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72° B．60° C．58° D．50°【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是b、c边的夹角，然后写出即可．解：∵两个三角形全等，∴∠α的度数是72°．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．4．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．解：∵AB＝AC，∠A为公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD．故选：B．【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．5．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形进行解答．解：如图所示：，共5种，故选：C．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：D．【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为C．7．如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE．若∠B＝80°，∠BAE＝26°，则∠EAD的度数为（）A．36° B．37° C．38° D．45°【分析】利用三角形的内角和等于180°求出∠AEB，再根据翻折变换的性质可得AE＝CE，根据等边对等角可得∠EAD＝∠C，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AEB＝∠EAD+∠C，最后计算即可得解．解：∵∠B＝80°，∠BAE＝26°，∴∠AEB＝180°﹣（∠B+∠BAE）＝180°﹣（80°+26°）＝74°，∵将△ABC折叠点C与点A重合，∴AE＝CE，∴∠EAD＝∠C，由三角形的外角性质得，∠AEB＝∠EAD+∠C，∴2∠EAD＝74°，∴∠EAD＝37°．故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到×5×4+×AC×4＝8，然后解一次方程即可．解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，∴×5×4+×AC×4＝24，∴AC＝7．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理SSS．10．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，ED⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，AB＝11，AC＝5，则BE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE＝CF，继而求得答案．解：如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝11，AC＝5，∴BE＝（11﹣5）＝3．故选：A．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）11．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有4条．【分析】根据轴对称图形的概念求解．解：正方形是轴对称图形，它的对称轴共有4条：两边的垂直平分线2条，正方形的对角线2条．【点评】掌握好轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．12．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是10：21．【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2．解：电子表的实际时刻是10：21，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．故答案为10：21．【点评】对于这类题型常用的解题方法为把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．13．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝1．【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可．解：∵两个三角形全等，∴x＝6，y＝5，∴x﹣y＝6﹣5＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．14．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件AB＝AC．【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．解：还需添加条件AB＝AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故答案为：AB＝AC．【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．15．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝55°．【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE．16．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝2．【分析】解法一：由已知条件可得BD＝7，∠A＝90°，∠CED＝90°，可得AB＝＝2，则CE＝2，DE＝＝5，由BE＝BD﹣DE可得出答案．解法二：根据已知条件可得Rt△ABD≌Rt△ECD，则AD＝DE＝5，而BD＝CD＝7，根据BE＝BD﹣DE可得出答案．【解答】解法一：∵BD＝CD，CD＝7，∴BD＝7，∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，∵AD＝5，∴AB＝＝2，∵AB＝CE，∴CE＝2，∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴DE＝＝5，∴BE＝BD﹣DE＝2．故答案为：2．解法二：∵AB⊥AD，CE⊥BD，∴∠A＝∠CED＝90°，∵AB＝CE，BD＝CD，∴Rt△ABD≌Rt△ECD（HL），∴AD＝DE＝5，∵BD＝CD，CD＝7，∴BD＝7，∴BE＝BD﹣DE＝2．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理与全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．17．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，ED′与BC交于点为G，点D、点C分别落在点D′、点C′的位置上，若∠1＝110°，则∠GFC′＝70°．【分析】根据平行线的性质得出∠AEG＝70°，再根据翻折的性质得出∠DEF＝55°，进而利用平行线的性质解答即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝180°﹣∠1＝70°，∠DEF+∠EFC＝180°，由翻折可得，∠DEF＝∠GEF，∠EFC＝∠EFC'，∴∠DEF＝55°，∴∠EFC＝180°﹣55°＝125°，∴∠GFC'＝∠EFC'﹣∠EFG＝∠EFC﹣∠DEF＝125°﹣55°＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18．已知点P为∠AOB内一点，且∠AOB＝30°，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若OP＝6，则△PMN的周长为6．【分析】根据轴对称的性质可得∠P1OA＝∠AOP，∠P2OB＝∠BOP，PM＝P1M，PN＝P2N，P1O＝PO＝P2O，从而求出△OP1P2是等边三角形，△PMN的周长等于P1P2，从而得解．解：∵P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，∴∠P1OA＝∠AOP，∠P2OB＝∠BOP，PM＝P1M，PN＝P2N，P1O＝PO＝P2O，∴∠P1OP2＝∠P1OA+∠AOP+∠P2OB+∠BOP＝2∠AOB，∵∠AOB＝30°，∴∠P1OP2＝2×30°＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，又∵△PMN的周长＝PM+MN＝PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∴△PMN的周长＝P1P2＝P1O＝PO＝6．故答案为：6【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键．19．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，连结BE、CD交于点F．将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，且EB'∥DC'∥BC，若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是96°．【分析】由翻折的性质和全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．解：设∠C′＝α，∠B′＝β，∵将△ADC和△AEB分别绕着边AB、AC翻折得到△ADC'和△AEB'，∴△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠ACD＝∠C′＝α，∠ABE＝∠B′＝β，∠BAE＝∠B′AE＝42°，∴∠C′DB＝∠BAC′+AC′D＝42°+α，∠CEB′＝42°+β．∵C′D∥BC，EB′∥BC，∴∠ABC＝∠C′DB＝42°+α，∠ACB＝∠CEB′＝42°+β，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，即126°+α+β＝180°．则α+β＝54°．∵∠BFC＝∠BDC+∠DBE，∴∠BFC＝42°+α+β＝42°+54°＝96°．故答案为：96°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．【分析】作F关于AD的对称点F'，由角的对称性知，点F'在AB上，当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，再利用面积法求出CF'的长即可．解：作F关于AD的对称点F'，∵AD是∠BAC的平分线，∴点F'在AB上，∴EF＝EF'，∴当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝，∴12×8＝10×CF'，∴CF'＝，∴EC+EF的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握将军饮马的基本模型是解题的关键．三、解答题（共70分）21．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC．【分析】利用全等三角形的判定定理AAS证得△ABF≌△DCE；然后由全等三角形的对应边相等证得AB＝CD．【解答】证明：∵点E，F在BC上，BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．如图，AB⊥DB，AC⊥EC，垂足分别为B、C．AD＝AE，AC＝AB，BD与CE交于点F．（1）求证：∠ADB＝∠AEC；（2）求证：CD＝BE；（3）连接AF，则图中共有五对全等三角形．【分析】（1）根据HL证明Rt△ADB与Rt△AEC全等，利用全等三角形的性质解答即可；（2）利用HL证明Rt△AFC与Rt△AFB全等，进而得出CF＝BF，利用SAS证明△CFD与△BFE全等后解答即可；（3）根据全等三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）∵AB⊥DB，AC⊥EC，∴∠ACE＝∠ABD＝90°，在Rt△ADB与Rt△AEC中，∴Rt△ADB≌Rt△AEC（HL），∴∠ADB＝∠AEC；（2）∵Rt△ADB≌Rt△AEC，∴DB＝CE，在Rt△AFC与Rt△AFB中，∴Rt△AFC≌Rt△AFB（HL），∴CF＝BF，∴DF＝EF，在△DCF与△EBF中，∴△DCF≌△EBF（SAS），∴CD＝BE；（3）根据可得△ADC≌AEB（SSS），由可得△AFD≌△AFE（SSS），全等三角形有△ACF≌△ABF，△DCF≌△EBF，△ADB≌△AEC，△ADC≌AEB，△AFD≌△AFE．故答案为：五．【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．【分析】猜想：BF⊥AE，先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．解：猜想：BF⊥AE．理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．∴在Rt△BDC与Rt△AEC中，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴∠CBD＝∠CAE．又∴∠CAE+∠E＝90°．∴∠EBF+∠E＝90°．∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【点评】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质．猜想问题一定要认真观察图形，根据图形先猜后证．24．（1）①在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；②△ABC的面积为2．③在直线l上找到一点P，使PB+PC最短．（2）如图2，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，用尺规在BC边上求作一点D，使D到AC的距离等于DB的长；若BD＝3，则△ACD的面积＝7.5．【分析】（1）①利用轴对称变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可；②把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；③连接CB′交直线l于点P，连接PB，点P即为所求；（2）作∠BAC的角平分线交BC于点D，点D即为所求．【解答】（1）①如图，△AB′C′即为所求；②△ABC的面积＝2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4＝2．故答案为：2；③如图，点P即为所求；（2）如图，点D即为所求．过点D作DH⊥AC．∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DB＝3，∴△ADC的面积＝•AC•DH＝×5×3＝7.5．故答案为：7.5．【点评】本题考查作图﹣轴对称最短问题，三角形的面积，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．25．（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是1＜x＜4；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．【分析】（1）①根据三角形的中线得出BD＝CD，再由对顶角相等得出∠ADB＝∠CDE，即可得出结论；②先由△ABD≌△ECD，得出CE＝5，再由ED＝AD，得出AE＝2AD＝2x，最后用三角形的三边关系，即可求出答案；（2）先根据SAS判断出△DEF≌△DEH，得出EH＝EF，再根据SAS判断出△BDH≌△CDF，得出CF＝BH，即可求出答案．【解答】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADB和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）；②解：由①知，△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，∵AB＝5，∴CE＝5，∵ED＝AD，AD＝x，∴AE＝2AD＝2x，在△ACE中，AC＝3，根据三角形的三边关系得，5﹣3＜2x＜5+3，∴1＜x＜4，故答案为：1＜x＜4；（2）证明：如图2，延长FD，截取DH＝DF，连接BH，EH，∵DH＝DF，DE⊥DF，即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE，∴△DEF≌△DEH（SAS），∴EH＝EF，∵AD是中线，∴BD＝CD，∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF，∴△BDH≌△CDF（SAS），∴CF＝BH，∵BE+BH＞EH，∴BE+CF＞EF．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键．26．已知，在△ABD中，∠B＝45°，∠ADB＝90°，点B关于直线AD的对称点为E，连接AE，点C在射线DE上，EN⊥AC于N，BM⊥AC于M．（1）若点C在点E的右边，①依题意，在图中补全图形；②若EN＝1，BM＝3，求MN的长；（2）当点C在射线DE上运动时，请直接用等式表示出EN，BM，MN之间的数量关系（不需要证明）．【分析】（1）①由题意楞出图形即可；②由轴对称的性质得出AB＝AE，由等腰三角形的性质得出∠AED＝∠ABD＝45°，证明△ABM≌△EAN（AAS），由全等三角形的性质得出BM＝AN，AM＝EN，则可得出答案；（2）分两种情况画出图形，由全等三角形的性质得出结论．