第11章　相关与回归分析法

统计实用技术主编：胡宝珅(黑龙江农业经济职业学院)TL-mail:hbs570214@163.com配套：《统计实用技术实训》第十一章相关与回归分析【学习目标】通过本章学习应当理解现象及之间存在的相关关系；掌握简单线性相关分析、一元线性回归分析的理论与方法；把握相关系数与回归系数的联系与区别；能够依据实际资料具体运用简单线性相关与一元线性回归方法进行分析和预测。【案例导入】记录1029例眼晶状混浊度与患者的年龄如表11-1所示。表11-1晶状体混浊程度与年龄的关系（眼数）晶状体混浊程度年龄（岁）20-2930-3940以上合计+215131148494++67101128296+++4463132239合计3262954081029上述资料表明眼晶状体混浊度与年龄之间存在着一定的关系。用怎样的统计方法研究两者之间的关系是本章要研究的问题。第一节相关与回归分析概述一、函数关系与相关关系（一）函数关系。是指现象之间在数量上存在的严格的对应关系。（二）相关关系。是指现象之间在数量上存在的非确定性的依存关系。请思考：请指出一下各项哪些属于函数关系。（1）物体的体积随着温度的升高而膨胀，随着压力的加大而收缩。（2）家庭收入增多，其消费支出也有增长的趋势。（3）物价上涨，商品的需求量下降。（4）农作物的收获量和雨量、气温、施肥量有着密切的关系（5）圆的半径越大，其面积也越大。二、相关分析法与回归分析法对相关现象进行分析的方法，可分为相关分析和回归分析两种方法。（一）相关分析法。就是对相关现象进行相关性质和相关密切程度分析的方法。如分析产量与利润之间是否有关系、关系是否密切等。（二）回归分析法。就是对相关现象之间的规律性进行分析的方法。确切地说，回归分析法就是通过对相关现象的实际观察值，采用数学方法回归为直线或曲线形式的方程，以反映现象之间的数量关系及变化规律的一种分析方法。三、相关分析与回归分析的关系(一)相关关系是回归分析的前提。只有现象之间具有较为密切的相关关系，才有进行回归分析的必要，用回归分析所获得的结论才有实际意义。（二）相关关系决定回归分析现象之间的相关关系是很复杂的，它们以不同的方向、不同的程度、不同的形式等相互作用，表现出不同的类型和形态。但无论现象的相关类型呈现为何种状态，它对回归分析都是起决定作用的因素。(三)回归分析是相关分析的继续和深入。1．相关的类型决定回归的类型。直线相关示意图曲线相关示意图2．相关的性质决定回归系数。经济现象之间的关系，按其性质不同可分为正相关和负相关。在直线相关的情况下，正相关时回归系数为正，负相关时回归系数为负。即在回归方程Y=a+bx中，b为回归系数。正相关时，b＞0；负相关时，b＜0。3．现象相关的密切程度决定回归预测的准确程度。按现象相关的密切程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。其中完全相关即函数关系，不完全相关即前面说的“相关关系”，不相关即现象之间没有关系。BACK第二节相关分析常用方法对现象进行相关分析的常用方法有相关表分析法、相关图分析法和相关系数分析法。一、相关表分析法对两种现象作相关分析时，将一系列的成对观察值排列在统计表中，就形成了相关表。某作物耕作深度与单产相关表按耕作深度分组〔cm〕单产〔t/hm2〕810121416186.010.812.0从相关表中可以看出，耕作深度与单产之间存在着正相关的关系。二、相关图分析法相关图又称散点图或散布图，它是利用直角坐标，将变量值用相对应的坐标点描绘出来，从坐标点的分布状况观察变量之间的相互关系的图形。耕作深度与单产的关系可绘成相关图三、相关系数分析法相关系数，是判断两种现象在直线相关条件下相关密切程度的统计分析指标。（一）相关系数的计算公式r＝r表示相关系数，－1＜r＜1；x表示自变量，y表示因变量。（二）相关关系密切程度的判断。0.3以下0.3－0.50.5－0.80.8－1相关程度不相关低度相关显著相关高度相关（三）相关系数的计算。一般通过编制“相关系数计算表”来辅助计算。案例下面表中的观察资料计算10个企业生产性固定资产价值与工业增加值之间的相关系数。

相关系数计算表单位：百万元序号固定资产价值X工业增加值YX2Y2XY1234567891034566889101214162528303236424547916253636646481100144196256625748900102412961764202522094264125168180256288378450564合计71315575110792515r==0.973计算结果表明生产性固定资产价值和工业增加值之间存在高度的正相关关系。通过以上的计算与分析过程，我们看到，统计所研究现象之间的相关关系，应该是真实的、客观存在的联系关系，而不是主观臆造，或形式上的偶然巧合。请思考：如果将上例中的自变量和因变量互换位置，重新计算相关系数，你能得出什么结论？第三节回归分析与回归预测一、静态直线回归及预测只有当两种现象之间呈现为直线相关时，才能运用直线回归法进行直线回归。直线回归，也叫线性回归。它又有静态回归和动态回归之分。静态直线回归，即没有时间变量的线性回归。静态直线回归法的一般程序为：（一）确定自变量和因变量。自变量一般用x来表示，因变量一般用y来表示。（二）整理资料。至少应有五对以上的资料，否则保证不了回归的质量，也必然影响预测。（三）判断相关性质及密切程度。主要看是直线相关还是曲线相关，以及相关的密切程度如何。（四）确定回归模型。直线相关时只能选择直线回归模型，曲线相关时就只能选择曲线回归模型。（五）求参数a、b。其方法是利用“最小二乘法”对下式求极小值：S=Σ(y-)2=Σ[y-(a+bx)]2=Σ(y-a-bx)2解得a、b的通用公式

（六）确定直线回归方程。将a、b值代入y=a+bx中即可。如上例当a＝3.6和b＝3.93时，直线回归方程为：＝3.6＋3.93x（七）直线回归预测。二、动态直线回归及预测动态直线回归法的一般程序为：（一）确定自变量和因变量。自变量一般用x来表示，因变量一般用y来表示。但作为动态回归，x只能是表示时间的变量。（二）整理资料。至少应有五个时期以上的资料，否则就保证不了回归的质量，也必然影响预测（三）判断相关关系及密切程度。这里的相关关系是指某种经济现象与时间因素之间的相关关系，即看随着时间的变化该种现象是否有上升或下降的趋势。可用相关图的方法进行判断。（四）确定回归模型。直线相关时只能选择直线回归模型，曲线相关时就只能选择曲线回归模型。（五）求参数a、b。其方法仍是利用a、b的通用公式进行计算。（六）确定回归方程。（七）进行预测。年份利税额(万元)yxx2xy①②③④⑤199819992000200120022003200420052006851802302402602852953304001234567891491625364964818536069096013001710206026403600Σ23054528513410案例某企业1998～2006年的利税额如表代入公式得：b＝(9*13410-45*2305)/（9*285-452）＝31.42a＝(2305－31.42×45)/9＝99.01＝99.01+31.42x（x＝1时为1998年）对2007年进行预测。即当x＝10时的回归值＝99.01+31.42x＝99.01+31.42×10＝413.21

(万元)它表明根据近年来的发展规律可以预测出该企业2007年利税额应在413.21万元左右。这里需要注意的是：预测的时期不可往后推得太远，否则其预测值是不可靠的。第四节计算工具在相关与回归中的运用一、计算器的运用用计算器计算相关系数r、回归系数a、b和预测值y0，应是计算工具中的首选。案例以表上题为例，其操作过程为：1．MODE3

1即进入回归状态和线性回归状态。2．SHIFTScl=即清空存储器。3．录入资料（注意x值在前，y值在后）：1SHIFT；85DT

2SHIFT；180DT

3SHIFT；230DT

4SHIFT；240DT

5SHIFT；260DT

6SHIFT；285DT7SHIFT；295DT8SHIFT；330DT9SHIFT；400DT

4．取值：取相关系数r的值：SHIFTr=

(即得r=0.9579)取直线回归的截距a的值：SHIFTA=

(即得a=99.01)取直线回归的斜率b的值：SHIFTB=

(即得b=31.42)取由x预测y的值：10SHIFT

(即当x=10时，预测值=413.21)二、Excel计算相关系数使用的函数名称：CORREL（一）输入形式。其输入形式：＝CORREL（array1，array2）↙即r＝CORREL（X值的范围，Y值的范围）↙其中：array1为第一个变量X的观察值（或数组），array2为第二个变量Y的观察值（或数组）。例如：某项试验中有关X与Y的试验数据见图12－5中的数据。若用输入形式计算相关系数，则输入：＝CORREL（A2：A11，B2：B11）↙回车后其结果为：0.976464（见上图中的单元格B12；注意：用输入形式计算时，没有上图中的对话框）。当相关系数为0.976464时，按表12－2的标准进行判断，X与Y的关系应为“高度相关”。（二）导入形式。仍如图12－5中的资料，要求计算其相关系数。则操作过程如下：先确定存放相关系数的位置（如放在B12的位置；为了过后也能知道B12的数字是相关系数，可在A12中输入“相关系数：”作为其提示）；导入函数；点确定后会出现一个函数参数对话框；先在Array1后导入X的数据（A2至A11）；再在Array2后导入Y的数据（B2至B11）；再点确定即可。此时，B12的位置会出现0.976464，即相关系数为0.976464。三、Excel在回归分析中的应用直线回归，即数学模型为y＝a+bx的回归。其中a、b为待定参数。（一）求截距a。使用的函数名称为：INTERCEPT1、输入形式。输入形式为：＝INTERCEPT（known-y，s，known-x，s）↙即a＝INTERCEPT（y值的范围，x值的范围）2、导入形式。仍如下图中的资料，若对其求a，则操作过程如下：先确定存放回归截距的位置（如放在B13的位置；导入函数；点确定后会出现一个函数参数对话框（见下图）；先在known-y，s导入Y的数据（B2至B11）；再在known-x，s后导入X的数据（A2至A11）；再点确定即可。此时，B13的位置会出现82.5656，即回归截距为82.5656。（二）求斜率b。使用的函数名称：SLOPE1、输入形式。其输入形式为：＝SLOPE（known-y，s，known-x，s）↙即b＝SLOPE（y值的范围，x值的范围）如：对于图中的资料，其输入形式为：＝SLOPE（B2：B11，A2：A11）↙回车后，其取值应为：1.355348，如图中的单元格B14。它表明，对于该资料来说，其直线回归的斜率为1.35