2016届高三一轮复习步步高光盘-理科全书的课件第三章

数学A（理）§3.4定积分第三章导数及其应用基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分1.用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为

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.分割近似代替求和取极限2.定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式

.当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作

.4.微积分基本定理F(b)－F(a)F(b)－F(a)思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)√√×√√×返回题号答案解析1234

EnterCC3解析解析答案思维升华题型一定积分的计算如图，题型一定积分的计算解析答案思维升华如图，题型一定积分的计算C解析答案思维升华计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；题型一定积分的计算C解析答案思维升华解析答案思维升华A.－1 B.0C.1 D.2A.－1 B.0C.1 D.2根据定积分的几何意义知，故选A.解析答案思维升华A.－1 B.0C.1 D.2A解析答案思维升华对函数图象和与圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解.A.－1 B.0C.1 D.2A解析答案思维升华B解析由题意得f(1)＝lg1＝0，1题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2

如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2

如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.解由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率是k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2

如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2

如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.因此，所求的图形的面积是题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2

如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.思维升华对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间.跟踪训练2

(1)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为(

)解析根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)·(x－1)(a<0).因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1.所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.跟踪训练2

(1)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为(

)B故图中阴影部分的面积答案D例3

(1)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为(

)解析答案思维升华题型三定积分在物理中的应用例3

(1)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为(

)题型三定积分在物理中的应用解析答案思维升华例3

(1)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为(

)题型三定积分在物理中的应用解析答案思维升华C定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃv(t)dt.例3

(1)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为(

)题型三定积分在物理中的应用解析答案思维升华C(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ʃF(x)dx.例3

(1)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为(

)题型三定积分在物理中的应用解析答案思维升华C解析答案思维升华(2)一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在s～6s间的运动路程为__________.由题图可知，(2)一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在s～6s间的运动路程为__________.解析答案思维升华(2)一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在s～6s间的运动路程为__________.解析答案思维升华(2)一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在s～6s间的运动路程为__________.解析答案思维升华定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃv(t)dt.(2)一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在s～6s间的运动路程为__________.解析答案思维升华(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ʃF(x)dx.(2)一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在s～6s间的运动路程为__________.解析答案思维升华跟踪训练3设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为____.解析变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为即变力F(x)对质点M所做的功为342.342典例：(12分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值.思想与方法系列4函数思想、数形结合思想在定积分

中的应用思维点拨规范解答温馨提醒(1)题目要求是求S1与S2之和最小，所以要先构造S＝S1＋S2的函数，利用函数思想求解.(2)S1、S2的面积只能通过定积分求解，要搞清面积与定积分的关系.思维点拨规范解答温馨提醒解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，2分

S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，4分

思维点拨规范解答温馨提醒所以阴影部分的面积6分

8分

10分

12分

思维点拨规范解答温馨提醒(1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识.(2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间.思维点拨规范解答温馨提醒返回方法与技巧1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强.(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a).(3)利用定积分的几何意义求定积分2.求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.方法与技巧(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4)计算定积分.3.利用定积分可解决物理中的变力做功，变速运动的位移等问题.失误与防范1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.失误与防范4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.返回2345678911023456789101＝－a＋1＝2，a＝－1.A2.(2014·山东)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(

)34567891102解析令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2，D3.图中阴影部分的面积是(

)24567891103A.16 B.18C.20 D.22B23567891104A.0 B.0或－1 C.0或1 D.－123567891104化简得k2＋k＝0，解得k＝0或k＝－1.答案BA.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1D.S3<S2<S123467891105所以S2<S1<S3.23467891105答案B234578911062345689110723456791108解析因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1).所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.所以f(x)＝x3－3x2.－4234567811092345678110910.汽车以54km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？23456789110解由题意，得v0＝54km/h＝15m/s.所以v(t)＝v0＋at＝15－3t.令v(t)＝0，得15－3t＝0.解得t＝5.所以开始刹车5s后，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为23456