求不定积分的若干方法

1浅谈求不定积分的若干方法integralmethodsandcommonlyusedtechniques,discussionandanalysisoftheindefiniteintegralseekingseveralways:directintegralmethod,pointsundeterminedcoefficientmethodfortheindefiniteintegralmethodcanonlybesimpleandaccurate.hodofundeterminedcoefficient2 2直接积分法 6 元积分法 7 5有理函数的不定积分 151有理函数的不定积分的定义和分析 15 31引言数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重2直接积分法分的定义的运用方法=8x33x4+6x51x6+c3563x2584x2(1+x2)x2(1+x2)x21+x2x2(1+x2)x2(1+x2)x21+x2x3换元积分法5xx1+x,1-x1-x21-x21+x1-x1-x1-x21-x21+x1-x1-x(3)变形后“凑”即有些积分通过恰当的变形(加、减、乘、除某些因子)x2x2-1解：利用d()=xx2x-1x21-11-1x2x=xx2-1x2x2x分析：j1dx=-1(2-3x)-d(2-3x)，其中外函数是幕函数.32-3x36uc222222444443620124简单的说，第二类换元积分法的基本步骤：7用第二换元积分法，目的是去掉根号。1+x2t21解：令1+x2=t，则x=t21得dxt211+x2tt213t222222x23==(x22)1+x2+c3(2+cosx)sinxt(3+t2)3t3+t2333232分子分母乘以某个因子，把分母化为sinmx(或cosmx)得单项式，或将分母xa2士x2xx2a2x2x2a21想不到的结果，即令x=。t意的问题如：求jx2+1dx，给出一种解法：x4+1=j1d(x21)(x21)2+2xxx89222222为使上述被积函数在(,)中的原函数是连续的，我们必须考路原函数在x=0点的连续性. {0x21,02x22x214分部积分法(对数函数。反三角函数，初等函数)的不定积分。利用此公式求积分的基本步骤是：法的关键是选择哪个因子当作u，哪个当作v，选择不当不仅不会使积分由复杂单，反而更复杂。4.2分部积分法的几种题型和分部积分法中u和dv的选择kkk2=x=x2lnxx2+c4数”(后面简称“反，对，幂，指，三”)中的任意两个函数的乘积时，按此顺x3=x3lnxx3+c39函数的nnn5有理函数的不定积分及待定系数法的不定积分的定义和分析n那么，有理函数的积分形如jR(x)dx的积分，其中P(x)=axm+axm1+ax+a,Q(x)=bxn+bxn1+bx+b；m和n均为非m01m1mn01n1n01m01n00系数法在不定积分中的运用1s11tt0i,jijAAA+k;AAA+k;对每个形如(x2+px+q)k的因式，它所对应的部分分式是+++Bkx+Ckx2+px+q(x2+px+q)2(x2+px+q)k.把所有部分分式加起来，使之等于R(x)。①当分母Q(x)含有单因式x-a时，分解式中应有一项AA为待定系数；xa，③当分母Q(x)中含有质因式x2+px+q时，部分分式中相应的有一项x+px+q然后再把上面真分式化成部分分式之和，利用待定系数法，令故3用待定系数法将其复杂的有理函数变为有理真分式的代数和，然后用前面的方法逐项积分。该方法的基本步骤：真分式，则进行第2)(步;②在实数范围内把分母多项式分解成若干个一次因式和二次因式之;积⑤对多项式(如果有理函数是假分式)和各部分分式分别进行积分并求和。9小结1补项法即将被积函数f(x)的某部分“加一项，减一项“后，使不定积分例17：求j1dxx(x3+1).x(x3+1)x3(x3+1)3x3x3+133=j(x1)2+(x2+1)dx(x1)(x2+1)xdxj1dx+j1dxx2+